Lernzettel: Analyse du signe d'une fonction du second degré

📋 Plan du Cours

1. Caractéristiques d’une fonction du second degré
2. Parabole, sommet et zéros
3. Applications graphiques et calculs
4. Forme factorisée et racines
5. Détermination des racines et factorisation
6. Signe d’un polynôme du second degré

📖 1. Caractéristiques d’une fonction du second degré

🔑 Notions clés & Définitions

• Fonction polynôme de degré 2 : Une fonction polynôme de degré 2 s’écrit avec un terme en $x^2$ et prend la forme $f(x)=ax^2+bx+c$ pour tout $x$ réel, avec $a\neq 0$.
• Coefficient directeur $a$ : Le coefficient $a$ est celui de $x^2$ et il détermine l’ouverture de la parabole : vers le haut si $a>0$, vers le bas si $a<0$.
• Coefficients $b$ et $c$ : Les coefficients $b$ et $c$ paramètrent la parabole : $c$ fixe la valeur en $x=0$ et $b$ influence la position du sommet via $-b/(2a)$.
• Ordonnée à l’origine : L’ordonnée à l’origine est la valeur de la fonction pour $x=0$, donc $f(0)=c$.

📝 Points essentiels

• Une fonction polynôme de degré 2 a la forme $f(x)=ax^2+bx+c$ avec $a\neq 0$ et $a,b,c$ réels.
• La représentation graphique est une parabole et son ouverture dépend du signe de $a$ (haut si $a>0$, bas si $a<0$).
• L’axe de symétrie passe par le sommet $S$ de la parabole.
• L’ordonnée à l’origine vaut $f(0)=c$ et dans l’exemple $2x^2-4x-1$, on obtient $f(0)=-1$.
• L’abscisse du sommet est donnée par $x_S=-\dfrac{b}{2a}$ et dans l’exemple $a=2,b=-4$, on trouve $x_S=1$.
• Les solutions de $f(x)=0$ sont les abscisses des intersections entre la courbe et l’axe des abscisses, avec 2, 1 ou 0 solutions possibles.

💡 Astuce mémo

Ouverture = signe de $a$ : $a>0$ comme un bol, $a<0$ comme un chapeau.

📖 2. Parabole, sommet et zéros

🔑 Notions clés & Définitions

• Sommet $S$ : Le sommet $S$ est le point de la parabole où l’on trouve l’abscisse $x_S=-b/(2a)$ et il se situe sur l’axe de symétrie.
• Axe de symétrie : L’axe de symétrie est la droite verticale passant par le sommet et partageant la parabole en deux parties symétriques.
• Zéros de $f$ : Les zéros sont les abscisses des points où la courbe coupe l’axe des abscisses, c’est-à-dire les solutions de $f(x)=0$.
• Nombre de solutions : Le nombre de zéros de $f(x)=0$ correspond au nombre d’intersections avec l’axe des abscisses : 2, 1 ou 0.

📝 Points essentiels

• Si la parabole coupe l’axe des abscisses en deux points, alors $f(x)=0$ admet 2 solutions.
• Si la parabole est tangente à l’axe des abscisses, alors $f(x)=0$ admet 1 solution unique notée $x_0$.
• Si la parabole ne coupe pas l’axe des abscisses, alors $f(x)=0$ admet 0 solution.
• Dans l’exemple du cours, les solutions possibles indiquées sont : 2 solutions avec $x_1=-2$ et $x_2=1$, ou 1 solution avec $x_0=1$.

💡 Astuce mémo

Tangente = 1 zéro ; coupe = 2 zéros ; pas de contact = 0 zéro.

📖 3. Applications graphiques et calculs

🔑 Notions clés & Définitions

• Décalage vertical par $c$ : Le terme constant $c$ décale la parabole verticalement sans modifier son orientation due à $a$.
• Variations inversées par le changement de signe de $a$ : Quand $a$ change de signe, l’ouverture de la parabole s’inverse, ce qui revient à inverser les variations graphiques.
• Solutions via graphe : Sur un intervalle donné, le nombre de solutions de $f(x)=0$ se lit en comptant les intersections de la courbe avec l’axe des abscisses sur cet intervalle.

📝 Points essentiels

• Pour l’exercice 1 : $g(x)=x^2-3$ correspond à la courbe décalée vers le bas car on enlève 3 au terme carré.
• Pour l’exercice 1 : $h(x)=x^2$ correspond à la courbe de coefficient dominant $a>0$ et d’ordonnée à l’origine nulle.
• Pour l’exercice 1 : $f(x)=-0{,}5x^2$ correspond à la courbe ouverte vers le bas car son coefficient $a$ est négatif.
• Pour l’exercice 2 sur $[-2;2]$, le cas « 1 solution » donne $x_0=-0{,}5$ et le cas « pas de solution » correspond à une courbe qui ne coupe pas l’axe des abscisses sur l’intervalle.
• Pour l’exercice 2 sur $[-2;2]$, les cas à 2 solutions donnent soit $x_1=-1$ et $x_2=1$, soit $x_1=-1{,}5$ et $x_2=0{,}5$.
• Dans l’exercice 3, l’ordonnée à l’origine vaut $f(0)=c$ et les sommets se calculent avec $x_S=-b/(2a)$ ; par exemple pour $f_1(x)=5x^2+6x+3$, $x_{S_1}=-0{,}6$.

💡 Astuce mémo

Graphique : ordonnée à l’origine = $c$ ; sommet = $-b/(2a)$ ; ouverture = signe de $a$.

📖 4. Forme factorisée et racines

🔑 Notions clés & Définitions

• Racines : Les racines sont les valeurs de $x$ qui vérifient l’équation $ax^2+bx+c=0$, donc qui annulent le polynôme.
• Forme factorisée à 2 racines : Si un polynôme du second degré admet deux racines $x_1$ et $x_2$, alors il s’écrit $P(x)=a(x-x_1)(x-x_2)$.
• Forme factorisée à 1 racine double : Si le polynôme admet une seule racine $x_0$ (racine double), alors il s’écrit $P(x)=a(x-x_0)^2$.
• Relation entre racines : Pour $P(x)=ax^2+bx+c$ avec deux racines $x_1$ et $x_2$, le produit $x_1x_2$ est lié aux coefficients via $c=a\,x_1x_2$.

📝 Points essentiels

• Si $x_0$ est une racine, alors $P(x_0)=0$ et le cours illustre avec $P(x)=x^2+2x-3$ : $P(1)=0$.
• Si $P(x)$ a deux racines $x_1$ et $x_2$, alors on peut factoriser sous la forme $P(x)=a(x-x_1)(x-x_2)$.
• Si $P(x)$ a une racine double $x_0$, alors la factorisation devient $P(x)=a(x-x_0)^2$.
• Le cours utilise $c=a\,x_1x_2$ pour déduire une deuxième solution à partir de $x_1$.
• Exemple de déduction dans l’exercice 4 : pour $2x^2+5x-3=0$ avec $x_1=-3$, on trouve $x_2=0{,}5$.
• Exemple de déduction dans l’exercice 4 : pour $X^2+7x=0$ avec $x_1=-7$, on trouve $x_2=0$.

💡 Astuce mémo

Factoriser = faire apparaître (x - racine) : deux racines donnent deux facteurs, une racine double donne un carré.

📖 5. Détermination des racines et factorisation

🔑 Notions clés & Définitions

• Factorisation à partir des racines : Quand on connaît les racines, on reconstruit le polynôme en remplaçant chaque racine $x_i$ par un facteur $(x-x_i)$ et en multipliant par $a$.
• Racine double : Une racine double se traduit par le facteur $(x-x_0)^2$ dans la forme factorisée.
• Déduire $P(x)$ avec coefficient $a$ : Le coefficient devant les facteurs reste le coefficient $a$ du terme $x^2$ pour obtenir exactement le polynôme demandé.

📝 Points essentiels

• Exercice 3a : avec $P_7(x)=0{,}5x^2-1{,}5x-5$ et racines $x_1=-2$ et $x_2=5$, on obtient $P_7(x)=0{,}5(x+2)(x-5)$.
• Exercice 3b : avec $P_8(x)=3x^2-12x+12$ et racine $x_0=2$, on obtient $P_8(x)=3(x-2)^2$.
• Exercice 3c : avec $P_9(x)=-x^2-2{,}5x-1{,}5$ et racines $x_1=-1{,}5$ et $x_2=-1$, on obtient $P_9(x)=-(x+1{,}5)(x+1)$.
• Exercice 2 : $P_4(x)=6(x-1{,}5)(x+2)$ a pour racines $1{,}5$ et $-2$, $P_5(x)=-0{,}4(x-7)^2$ a pour racine double $7$, et $P_6(x)=2x(x-1)$ a pour racines $0$ et $1$.
• Exercice 4 (racines données) : pour $P_1(x)=2x^2-2{,}8x-1{,}44$ avec $x_1=-0{,}4$ et $x_2=1{,}8$, on obtient $P_1(x)=2(x-1{,}8)(x+0{,}4)$.

💡 Astuce mémo

Racines connues → écrire $(x-$racine$)$ ; même racine deux fois → carré.

📖 6. Signe d’un polynôme du second degré

🔑 Notions clés & Définitions

• Tableau de signes : Un tableau de signes recense le signe d’un polynôme sur les intervalles séparés par ses racines.
• Factorisation pour le signe : Pour étudier le signe, on s’appuie sur la factorisation en facteurs $(x-x_1)$, $(x-x_2)$ ou $(x-x_0)^2$ et sur le signe du coefficient $a$.
• Racine simple : Quand une racine est simple (facteur unique $(x-x_i)$), le polynôme change de signe en traversant cette racine.

📝 Points essentiels

• Le signe peut être déterminé en utilisant le signe du coefficient $a$ et la forme factorisée du polynôme.
• Pour un polynôme de la forme $a(x-x_1)(x-x_2)$, le tableau de signes s’obtient en combinant les signes des facteurs et ceux de $a$.
• Pour un polynôme de la forme $a(x-x_0)^2$, le signe est celui de $a$ pour tout $x\neq x_0$ et le polynôme vaut 0 en $x_0$.
• Exercice 1a : pour $P_1(x)=4(x+1)(x-2)$, on obtient un signe positif sur l’intervalle $(−1,2)$ et le cours affiche les zéros en $x=-1$ et $x=2$.
• Exercice 1b : pour $P_2(x)=2{,}5(x-1{,}5)^2$, le cours indique $a>0$ donc $P_2(x)$ est positif partout sauf en $x=1{,}5$ où il vaut 0.
• Exercice 1c : pour $P_3(x)=-(x+3)(x+0{,}5)$, le cours indique un changement de signe autour des racines $-3$ et $-0{,}5$ et des signes négatifs/positifs correspondant aux intervalles.

💡 Astuce mémo

Racine double → pas de changement de signe ; racine simple → changement de signe.

⚠️ Pièges & confusions fréquents

1. Confondre l’ouverture et l’axe : l’axe passe par le sommet, mais l’ouverture dépend uniquement du signe de $a$.
2. Prendre $c$ pour l’abscisse du sommet : $c$ donne $f(0)$, alors que $x_S=-b/(2a)$ dépend de $a$ et $b$.
3. Oublier que $a\neq 0$ : une expression avec coefficient $a=0$ ne définit plus une fonction du second degré.
4. Croire qu’on a toujours 2 solutions à $f(x)=0 : le cours distingue 2, 1 ou 0 solutions selon la position de la parabole par rapport à l’axe des abscisses.
5. Mélanger les racines et les zéros : les racines sont précisément les solutions de $f(x)=0$.
6. Déduire un signe avec une racine double comme s’il s’agissait d’une racine simple : avec $(x-x_0)^2$, il n’y a pas de changement de signe.
7. Se tromper dans la factorisation quand la racine est double : il faut écrire $(x-x_0)^2$ et non $(x-x_0)(x-x_0)$ traité autrement.

✅ Checklist Examen

1. Écrire la forme générale $f(x)=ax^2+bx+c$ et préciser que $a\neq 0$.
2. Déterminer l’ouverture de la parabole à partir du signe de $a$.
3. Donner la valeur de l’ordonnée à l’origine $f(0)=c$.
4. Calculer l’abscisse du sommet $x_S=-b/(2a)$ à partir de $a$ et $b$.
5. Relier les solutions de $f(x)=0$ aux intersections avec l’axe des abscisses sur un graphe.
6. Reconnaître les 3 cas : 2 solutions, 1 solution (tangence), 0 solution (pas d’intersection).
7. Définir une racine comme une valeur de $x$ annulant le polynôme.
8. Factoriser un polynôme connaissant 2 racines sous la forme $a(x-x_1)(x-x_2)$.
9. Factoriser un polynôme connaissant une racine double sous la forme $a(x-x_0)^2$.
10. Déduire $x_2$ connaissant $x_1$ via la relation $c=a\,x_1x_2$.
11. Reconstruire un polynôme à partir de ses racines dans les exemples du cours (au moins savoir appliquer le procédé).
12. Établir un tableau de signes à partir de la factorisation et des racines.
13. Utiliser la règle qualitative : racine double ne change pas le signe, racine simple change le signe.