Lernzettel: Analyse Spectrale et Formes Canonique

📋 Plan du Cours

1. Endomorphismes & spectre
2. Valeurs propres & noyau
3. Diagonalisation & conjugaison
4. Polynômes caractéristiques & spectre
5. Forme de Jordan & blocs
6. Applications polynomiales & annihilateurs
7. Base de Jordan & vecteurs propres généralisés
8. Matrices semblables & invariants
9. Décomposition spectrale & projecteurs
10. Forme canonique & classification

📖 1. Endomorphismes & spectre

🔑 Notions clés & Définitions

• Endomorphisme : Application linéaire d’un espace vectoriel dans lui-même, notée $f \in L(E)$.
• Spectre ($\operatorname{Sp}(f)$ ou $\operatorname{Sp}(A)$) : Ensemble des valeurs $\lambda$ pour lesquelles $f - \lambda \operatorname{Id}$ (ou $A - \lambda I$) n’est pas inversible, c’est-à-dire que $\operatorname{Ker}(f - \lambda \operatorname{Id}) \neq \{0\}$.
• Espace propre ($E_\lambda(f)$ ou $E_\lambda(A)$) : Sous-espace associé à $\lambda$, défini par $\operatorname{Ker}(f - \lambda \operatorname{Id})$.
• Polynôme minimal ($m_f$ ou $m_A$) : Plus petit polynôme monique annulant $f$ ou $A$, avec $m_f$ divise tout polynôme annulant $f$.
• Diagonalisation : $A$ est diagonalisable s'il existe une base de vecteurs propres, équivalent à $A$ étant semblable à une matrice diagonale.

📝 Points essentiels

• Spectre et inversibilité : $\lambda \in \operatorname{Sp}(f)$ si et seulement si $f - \lambda \operatorname{Id}$ n’est pas inversible.
• Valeurs propres et sous-espaces propres : $\operatorname{dim} E_\lambda(f)$ est la multiplicité géométrique de $\lambda$.
• Relation avec la diagonalisation : $A$ est diagonalisable si $\operatorname{dim} E_\lambda(A)$ pour $\lambda \in \operatorname{Sp}(A)$ satisfont $\sum_{\lambda} \operatorname{dim} E_\lambda(A) = n$.
• Polynôme caractéristique : $P_A(x) = \det(A - xI)$, ses racines sont les valeurs propres.
• Polynôme minimal : $m_A$ divise le polynôme caractéristique et s’écrit en facteurs linéaires correspondant aux valeurs propres.
• Similitude : Deux matrices $A$ et $B$ sont semblables si $A = PBP^{-1}$, ce qui conserve le spectre.

💡 À retenir

L’étude du spectre permet de caractériser la structure d’un endomorphisme ou d’une matrice, notamment par la diagonalisation, la décomposition en valeurs propres, et la relation avec ses polynômes caractéristiques et minimaux. La connaissance du spectre est essentielle pour comprendre la stabilité et le comportement dynamique des systèmes linéaires.

📖 2. Valeurs propres & noyau

🔑 Notions clés & Définitions

• Valeur propre (λ) : Scalaire λ tel qu'il existe un vecteur non nul x ∈ E vérifiant f(x) = λx pour une application linéaire f.
• Espace propre (Eλ(f)) : Ensemble des vecteurs propres associés à λ, défini par Eλ(f) = Ker(f - λId).
• Noyau (Ker) : Ensemble des vecteurs x tels que f(x) = 0 pour une application linéaire f.
• Spectre (Sp(f) ou Sp(A)) : Ensemble des valeurs propres d'une application linéaire f ou d'une matrice A.
• Diagonalisation : La matrice A est diagonalisable si elle existe une matrice inversible P telle que A = P D P⁻¹, où D est une matrice diagonale contenant les valeurs propres.
• Polynôme caractéristique (P(x)) : Polynôme défini par P(x) = det(A - xI), dont les racines sont les valeurs propres de A.

📝 Points essentiels

• Relation entre valeurs propres et noyau : λ est une valeur propre de f (ou A) si et seulement si Ker(f - λId) ≠ {0}.
• Espace propre : Eλ(A) = Ker(A - λI). La dimension de cet espace est appelée la multiplicité géométrique de λ.
• Multiplicité algébrique : La multiplicité de λ comme racine du polynôme caractéristique. La somme des dimensions des espaces propres pour toutes valeurs propres est égale à la dimension de l'espace (n).
• Diagonalisation : A est diagonalisable si et seulement si la somme des dimensions de ses espaces propres est égale à n, c'est-à-dire que la somme des dimensions des Eλ(A) couvre tout l'espace.
• Polynôme minimal (m(x)) : Plus petit polynôme monique tel que m(A) = 0. Il divise le polynôme caractéristique et permet d'établir la diagonalisation.
• Propriétés du spectre : Sp(A) ⊂ ℂ, et pour tout λ ∈ Sp(A), (A - λI) n'est pas inversible.

💡 À retenir

Les valeurs propres et leurs espaces propres déterminent la diagonalisation d'une matrice ou d'une application linéaire. La connaissance du spectre permet d'analyser la structure et le comportement de l'opérateur, notamment par le biais du polynôme caractéristique et du polynôme minimal.

📖 3. Diagonalisation & conjugaison

🔑 Notions clés & Définitions

• Diagonalisation : Processus de transformation d'une matrice ou d'un opérateur en une forme diagonale via une base adaptée, généralement en utilisant une matrice de passage P : $A = P D P^{-1}$, où D est une matrice diagonale contenant les valeurs propres.

• Valeurs propres (λ) : Scalaire λ tel qu'il existe un vecteur non nul x vérifiant $f(x) = \lambda x$ pour un opérateur linéaire f. Elles appartiennent au spectre de f, noté $Sp(f)$.

• Espace propre (Eλ(f)) : Ensemble des vecteurs x tels que $f(x) = \lambda x$, c'est-à-dire $E_\lambda(f) = \ker(f - \lambda \operatorname{Id})$. C'est un sous-espace vectoriel associé à λ.

• Spectre (Sp(A)) : Ensemble des valeurs propres d'une matrice ou d'un opérateur A. Pour une matrice diagonalisable, la somme des dimensions des espaces propres associés à chaque valeur propre est égale à la dimension totale.

• Conjugaison : Transformation d'une matrice A en une autre matrice B par une transformation de la forme $B = P^{-1} A P$, avec P inversible. Deux matrices sont conjugées si elles représentent le même opérateur dans des bases différentes.

• Polynôme minimal (m(x)) : Plus petit polynôme non nul P(x) tel que $P(A) = 0$. Il divise tout polynôme annulateur de A et est lié à la diagonalisation : A est diagonalisable si et seulement si son polynôme minimal se décompose en facteurs linéaires distincts.

📝 Points essentiels

• La diagonalisation est possible si et seulement si l'opérateur ou la matrice possède une base formée de vecteurs propres, ce qui équivaut à ce que la somme des dimensions des espaces propres soit égale à la dimension de l'espace.

• La diagonalisation d'une matrice A implique l'existence d'une matrice P inversible telle que $A = P D P^{-1}$, avec D diagonale.

• La conjugaison permet de classer les matrices selon leur forme canonique, notamment par leur spectre et leur décomposition en blocs.

• La relation entre spectre et diagonalisation : $A$ est diagonalisable si et seulement si le polynôme minimal se décompose en facteurs linéaires distincts, c'est-à-dire que chaque valeur propre a une multiplicité géométrique égale à sa multiplicité algébrique.

• La diagonalisation est un outil clé pour simplifier la puissance d'une matrice ou résoudre des systèmes différentiels linéaires.

💡 À retenir

La diagonalisation permet de simplifier l'étude d'un opérateur ou d'une matrice en la ramenant à une forme diagonale via une conjugaison, à condition que ses valeurs propres aient des espaces propres de dimension suffisante. Elle est essentielle pour comprendre la structure spectrale et faciliter le calcul de puissances ou d'exponentielles de matrices.

📖 4. Polynômes caractéristiques & spectre

🔑 Notions clés & Définitions

• Polynôme caractéristique : Pour une matrice $A \in M_n(\mathbb{C})$, il est défini par $P_A(x) = \det(A - xI)$. Ses racines sont les valeurs propres de $A$.

• Valeur propre (λ) : Scalaire $\lambda$ tel qu'il existe un vecteur non nul $x$ vérifiant $A x = \lambda x$. $\lambda \in Sp(A)$.

• Espace propre associé à λ ($E_\lambda(A)$) : Ensemble des vecteurs $x$ tels que $(A - \lambda I) x = 0$. C’est le noyau de $(A - \lambda I)$.

• Spectre ($Sp(A)$) : Ensemble des valeurs propres de $A$. $Sp(A) = \{\lambda \in \mathbb{C} \mid \det(A - \lambda I) = 0\}$.

• Décomposition spectrale : Toute matrice diagonalisable $A$ peut s’écrire $A = P D P^{-1}$, où $D$ est une matrice diagonale contenant ses valeurs propres, et $P$ une matrice inversible.

• Polynôme minimal : Plus petit polynôme monique $m_A(x)$ tel que $m_A(A) = 0$. Il divise le polynôme caractéristique.

📝 Points essentiels

• Lien entre valeurs propres et spectre : $\lambda$ est valeur propre si et seulement si $\det(A - \lambda I) = 0$, c’est-à-dire $\lambda \in Sp(A)$.

• Espace propre et noyau : $E_\lambda(A) = \ker(A - \lambda I)$. La dimension de cet espace est la multiplicité géométrique de $\lambda$.

• Multiplicité algébrique et géométrique : La multiplicité algébrique de $\lambda$ est la multiplicité de $\lambda$ comme racine de $P_A(x)$. La multiplicité géométrique est $\dim E_\lambda(A)$.

• Diagonalisation : $A$ est diagonalisable si et seulement si la somme des dimensions des espaces propres $E_\lambda(A)$ est égale à $n$, et chaque espace propre possède une base de vecteurs propres.

• Polynôme minimal et décomposition : $A$ est diagonalisable si et seulement si son polynôme minimal est produit de facteurs distincts $\prod (\lambda_i - x)$.

• Conjugaison et spectre : Si $A = P D P^{-1}$, alors $Sp(A) = Sp(D)$, c’est-à-dire que le spectre est invariant par conjugaison.

• Calcul du spectre : Le spectre d’une matrice est constitué des racines du polynôme caractéristique.

💡 À retenir

Le spectre d’une matrice est l’ensemble de ses valeurs propres, qui déterminent sa diagonalisation et ses propriétés spectrales. La décomposition en vecteurs propres et la factorisation du polynôme caractéristique sont essentielles pour analyser le comportement de la matrice.

📖 5. Forme de Jordan & blocs

🔑 Notions clés & Définitions

• Forme de Jordan : Une matrice est en forme de Jordan si elle est une somme directe de blocs de Jordan, ce qui facilite l’étude de ses propriétés spectrales et de ses vecteurs propres.
• Bloc de Jordan : Matrice carrée associée à un seul valeur propre λ, de la forme $J_m(\lambda) = \begin{bmatrix} \lambda & 1 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & \lambda & 1 & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & 0 & \cdots & \lambda \end{bmatrix}$ d’ordre m.
• Décomposition de Jordan : Représentation d’une matrice en une somme directe de blocs de Jordan, permettant d’étudier ses valeurs propres, ses vecteurs propres généralisés, et sa structure.
• Valeur propre λ : Scalaire tel que $(A - \lambda I)$ n’est pas inversible, c’est-à-dire que $\det(A - \lambda I) = 0$.
• Espace propre généralisé $E_\lambda$ : Ensemble des vecteurs $v$ tels que $(A - \lambda I)^k v = 0$ pour un certain entier k, incluant vecteurs propres et vecteurs généralisés.

📝 Points essentiels

• La forme de Jordan d’une matrice est une forme canonique qui simplifie son étude, notamment pour la diagonalisation ou la compréhension de ses vecteurs propres et vecteurs généralisés.
• La décomposition en blocs de Jordan est unique à permutation près, et chaque bloc correspond à une chaîne de vecteurs généralisés associée à une valeur propre.
• La structure spectrale : La somme des dimensions des espaces propres généralisés $E_\lambda$ pour toutes valeurs propres λ est égale à la dimension de l’espace.
• La relation entre matrices et polynômes : Pour tout polynôme $P$, $P(A) = 0$ si et seulement si $P$ s’annule sur le spectre de $A$.
• La conjugaison par une matrice inversible conserve la forme de Jordan, permettant de classer les matrices selon leur forme canonique.

💡 À retenir

La forme de Jordan permet de représenter toute matrice dans une structure simplifiée, facilitant l’étude de ses propriétés spectrales et de ses vecteurs propres, tout en étant unique à permutation près.

📖 6. Applications polynomiales & annihilateurs

🔑 Notions clés & Définitions

• Annulateur d’un vecteur ou d’un opérateur : Polynoméme $P$ tel que $P(f) = 0$ ou $P(A) = 0$, où $f \in L(E)$ ou $A \in M_n(\mathbb{C})$. Il annule l’opérateur ou le vecteur.
• Spectre (Sp) : Ensemble des valeurs propres $\lambda$ d’un opérateur $A$ ou $f$, c’est-à-dire $\{\lambda \mid \det(A - \lambda I) = 0\}$.
• Espace propre généralisé $E_\lambda$ : Ensemble $\{X \mid (A - \lambda I)^k X = 0, k \geq 1\}$, associé à la valeur propre $\lambda$.
• Polynôme minimal $m_A$ ou $m_f$ : Plus petit polynôme monique annulant $A$ ou $f$. Il divise tout polynôme annulant.
• Diagonalisation : $A$ est diagonalisable si $A = P D P^{-1}$ avec $D$ diagonale, et la somme des dimensions des espaces propres égale la dimension de $E$.

📝 Points essentiels

• Relation entre spectre et espace propre : $\lambda \in Sp(A)$ si et seulement si $E_\lambda(A) \neq \{0\}$.
• Annulateurs et polynômes : Tout polynôme $P$ tel que $P(A) = 0$ est un annihilateur de $A$. Le polynôme minimal est le plus petit degré.
• Décomposition spectrale : Si $A$ est diagonalisable, alors $A$ peut s’écrire comme la somme de projecteurs sur ses espaces propres.
• Polynômes annulateurs : $P(A) = 0 \Rightarrow P$ est divisible par le polynôme minimal $m_A$.
• Spectre et polynômes : $Sp(A) \subseteq \{\lambda \mid P(\lambda) = 0, \text{ pour tout } P \text{ annulant } A\}$.
• Applications polynomiales : Si $P$ est un polynôme, alors $P(A)$ est un opérateur dont le spectre est $P(Sp(A))$.

💡 À retenir

L’étude des annihilateurs et des polynômes associés permet de caractériser complètement la structure spectrale d’un opérateur, notamment sa diagonalisation et ses espaces propres, en reliant algebraicement ses valeurs propres à ses propriétés polynomiales.

📖 7. Base de Jordan & vecteurs propres généralisés

🔑 Notions clés & Définitions

• Vecteur propre (Eigenvector) : Un vecteur non nul $x$ tel que $f(x) = \lambda x$, où $\lambda$ est la valeur propre associée.
• Valeur propre (Valeur propre, λ) : Scalaire $\lambda$ pour lequel il existe un vecteur propre non nul $x$ vérifiant $f(x) = \lambda x$.
• Espace propre (Eλ(f)) : Sous-espace $\operatorname{Ker}(f - \lambda \operatorname{Id})$, constitué des vecteurs propres associés à $\lambda$.
• Vecteurs propres généralisés : Vecteurs $x$ tels que $(f - \lambda \operatorname{Id})^k x = 0$ pour un entier $k \geq 1$, permettant de compléter la base en cas de matrices non diagonalisables.
• Base de Jordan : Base formée de vecteurs propres et de vecteurs propres généralisés, permettant de représenter une matrice sous forme de blocs de Jordan.
• Forme de Jordan : Matrice quasi-diagonale composée de blocs de Jordan, simplifiant l'étude des matrices non diagonalisables.

📝 Points essentiels

• Diagonalisation : Une matrice $A$ est diagonalisable si et seulement si la somme des dimensions de ses espaces propres $E_\lambda(A)$ est égale à la dimension totale $n$, c’est-à-dire $\sum_{\lambda} \dim E_\lambda(A) = n$.
• Forme de Jordan : Toute matrice $A$ peut être transformée par une conjugaison $P$ en une matrice de Jordan $J$, composée de blocs de Jordan $J_{k}(\lambda)$, où chaque bloc correspond à une valeur propre $\lambda$ et à sa multiplicité.
• Vecteurs propres généralisés : Utilisés lorsque $A$ n’est pas diagonalisable, ils permettent de construire une base de Jordan en complétant les vecteurs propres.
• Polynôme minimal : $P_A$ est le plus petit polynôme annulant $A$. La décomposition en facteurs linéaires indique la présence ou absence de blocs de Jordan non diagonaux.
• Relation entre valeurs propres et spectre : $\operatorname{Sp}(A) = \{ \lambda \in \mathbb{C} \mid \det(A - \lambda I) = 0 \}$. La somme des dimensions des espaces propres est égale à la dimension de l’espace si et seulement si la matrice est diagonalisable.
• Forme de Jordan et changement de base : La transformation par une matrice inversible $P$ permet de passer d’une matrice $A$ à sa forme de Jordan $J$.

💡 À retenir

La forme de Jordan offre une représentation canonique pour toute matrice, permettant d’étudier ses propriétés spectrales même lorsqu’elle n’est pas diagonalisable, en utilisant vecteurs propres et vecteurs propres généralisés.

📖 8. Matrices semblables & invariants

🔑 Notions clés & Définitions

• Matrices semblables : Deux matrices $A, B \in M_n(\mathbb{C})$ sont semblables s'il existe une matrice inversible $P$ telle que $A = PBP^{-1}$. Cela signifie qu'elles représentent la même transformation dans des bases différentes.
• Invariants : Quantités ou propriétés d'une matrice qui ne changent pas par conjugaison, notamment le spectre ($\operatorname{Sp}(A)$), la dimension des espaces propres ($\dim E_\lambda(A)$), et le polynôme caractéristique.
• Espace propre associé à $\lambda$ : $E_\lambda(A) = \operatorname{Ker}(A - \lambda I)$, espace vectoriel des vecteurs propres de valeur propre $\lambda$.
• Polynôme minimal : Le plus petit polynôme monique de degré minimal annihilant la matrice, partageant ses racines avec le polynôme caractéristique.
• Décomposition spectrale : La décomposition d'une matrice en blocs diagonaux correspondant à ses valeurs propres, notamment dans le cas diagonalisable.

📝 Points essentiels

• Similarité et invariants : La similarité conserve le spectre ($\operatorname{Sp}(A) = \operatorname{Sp}(B)$ si $A$ et $B$ sont semblables) et la dimension des espaces propres ($\dim E_\lambda(A) = \dim E_\lambda(B)$).
• Forme canonique : Toute matrice peut être transformée par une conjugaison en une forme plus simple (diagonale ou Jordanienne), tout en conservant ses invariants.
• Polynôme caractéristique et minimal :
  • $\operatorname{Sp}(A) \subset \mathbb{C}$ est l'ensemble des racines du polynôme caractéristique $\det(A - \lambda I) = 0$.
  • Le polynôme minimal $m_A(x)$ divise le polynôme caractéristique et a pour racines les valeurs propres, avec des multiplicités correspondant à la taille des blocs dans la forme de Jordan.
• Décomposition spectrale : Si $A$ est diagonalisable, alors $A = P D P^{-1}$ avec $D$ diagonale, et $\operatorname{Sp}(A)$ est l'ensemble de ses valeurs propres.
• Théorème de diagonalisation : $A$ est diagonalisable si et seulement si pour chaque valeur propre $\lambda$, $\dim E_\lambda(A)$ est égal à la multiplicité algébrique.

💡 À retenir

La similarité permet d'étudier une matrice à travers ses invariants, notamment le spectre et la structure de ses espaces propres, qui restent inchangés par changement de base. La diagonalisabilité et la forme de Jordan sont essentielles pour simplifier l'étude des matrices et leurs propriétés.

📖 9. Décomposition spectrale & projecteurs

🔑 Notions clés & Définitions

• Spectre (Sp(f) ou Sp(A)) : Ensemble des valeurs propres d'un opérateur linéaire $f$ ou $A$.
• Espace propre associé à $\lambda$ (E_$\lambda$) : Sous-espace vectoriel constitué des vecteurs $x$ tels que $f(x) = \lambda x$ ou $A(x) = \lambda x$.
• Projecteur spectral (E_$\lambda$, P_$\lambda$)) : Opérateur idempotent ( P_\lambda^2 = P_\lambda$) ) qui projette sur l'espace propre associé à$\lambda$.
• Décomposition spectrale : Expression d'un opérateur $A$ ou $f$ en somme de ses projecteurs associés à ses valeurs propres, souvent sous la forme A = \sum \lambda P_\lambda$).
• Polynôme annulateur (P) : Polynôme tel que $P(f) = 0$ ou $P(A) = 0$, permettant de caractériser l'opérateur via ses valeurs propres.

📝 Points essentiels

• Relation entre valeurs propres et noyaux : $\lambda \in Sp(A)$ si et seulement si $\operatorname{Ker}(A - \lambda I) \neq \{0\}$.
• Espace propre : E_\lambda$= \operatorname{Ker}(A - \lambda I)$, de dimension appelée multiplicité algébrique ou géométrique.
• Décomposition spectrale : Si $A$ est diagonalisable, alors A = \sum_{\lambda \in Sp(A)} \lambda P_\lambda, où chaque projecteur $P_$\lambda est associé à un espace propre.
• Projecteurs et diagonalisation : La famille \{P_\lambda$\}$ forme une famille de projecteurs orthogonaux (si $A$ est hermitien), vérifiant \sum P_\lambda$= I$.
• Polynômes de l'opérateur : Si $P$ est un polynôme annulant $A$, alors $A$ peut être exprimé en fonction de ses valeurs propres via $P(A) = 0$.
• Conjugaison et invariance : La décomposition spectrale est stable par conjugaison par une matrice inversible $P$, c’est-à-dire $A = P D P^{-1}$ avec $D$ diagonale.

💡 À retenir

La décomposition spectrale permet de représenter un opérateur comme la somme de ses valeurs propres pondérées par leurs projecteurs, facilitant ainsi l’analyse de ses propriétés et la résolution d’équations polynomiales associées.

📖 10. Forme canonique & classification

🔑 Notions clés & Définitions

• Espace vectoriel (E) : Ensemble de vecteurs avec addition et multiplication par un scalaire, respectant certaines propriétés (commutativité, associativité, etc.).
• Application linéaire (f ∈ L(E)) : Fonction entre deux espaces vectoriels respectant la linéarité (f(x + y) = f(x) + f(y), f(αx) = αf(x)).
• Valeur propre (λ) : Scalaire tel qu'il existe un vecteur non nul x pour lequel f(x) = λx.
• Espace propre (Eλ(f)) : Ensemble des vecteurs x tels que f(x) = λx, c'est-à-dire Ker(f - λId).
• Spectre (Sp(f) ou Sp(A)) : Ensemble des valeurs propres d'une application ou d'une matrice.
• Forme canonique : Représentation simplifiée d'une matrice ou d'une application, souvent par diagonalisation ou forme de Jordan, permettant d'étudier facilement ses propriétés.

📝 Points essentiels

• Diagonalisation : Une application ou une matrice est diagonalisable si elle possède une base d'espaces propres, c'est-à-dire si la somme des dimensions de ses espaces propres est égale à la dimension totale.
• Forme canonique : Toute matrice ou application peut être transformée par changement de base en une forme simplifiée (diagonale ou de Jordan), facilitant l'étude de ses valeurs propres et de ses vecteurs propres.
• Polynôme minimal (P) : Polynôme de degré minimal annulant la matrice ou l'application, dont les racines sont les valeurs propres.
• Décomposition spectrale : La matrice ou l'application peut s'écrire en fonction de ses projecteurs associés à ses valeurs propres, via la décomposition en somme de projecteurs multipliés par leurs valeurs propres.
• Classification : La matrice est classifiée selon ses valeurs propres, leur multiplicité, et la structure de ses espaces propres, permettant de distinguer entre matrices diagonalisables, nilpotentes, ou de Jordan.

💡 À retenir

La forme canonique d'une application ou matrice permet de la simplifier en révélant ses valeurs propres et la structure de ses espaces propres, ce qui est essentiel pour sa classification et pour comprendre ses propriétés spectrales.

📊 Tableaux de Synthèse

Thème	Concepts clés	Propriétés principales	Conditions importantes
Spectre & Valeurs propres	Spectre ($\operatorname{Sp}(A)$), valeurs propres ($\lambda$), espaces propres ($E_\lambda$)	$\lambda \in \operatorname{Sp}(A)$ si $\det(A - \lambda I) = 0$; $E_\lambda = \ker(A - \lambda I)$	$\dim E_\lambda$ = multiplicité géométrique; somme des $\dim E_\lambda$ = dimension de l’espace
Diagonalisation & conjugaison	Diagonalisation ($A = P D P^{-1}$), conjugaison ($A = P B P^{-1}$)	$A$ diagonalisable si et seulement si la somme des dimensions des espaces propres = dimension de l’espace	$A$ diagonalisable si polynôme minimal se décompose en facteurs linéaires distincts
Polynôme caractéristique & spectre	$P_A(x) = \det(A - xI)$, racines = valeurs propres	Racines de $P_A$ = valeurs propres; $Sp(A) \subset \mathbb{C}$	$A$ diagonalisable si et seulement si $P_A$ se décompose en facteurs linéaires distincts

⚠️ Pièges & Confusions Fréquentes

1. Confondre multiplicité algébrique et multiplicité géométrique.
2. Supposer qu’un spectre réduit à des valeurs distinctes implique automatiquement la diagonalisation.
3. Confondre la diagonalisation avec la conjugaison (qui ne garantit pas la diagonalisation).
4. Croire que le polynôme minimal est toujours égal au polynôme caractéristique.
5. Oublier que la diagonalisation nécessite une base composée de vecteurs propres.
6. Confondre espace propre et noyau d’une application.
7. Penser que tout endomorphisme est diagonalisable sans vérifier la décomposition du polynôme minimal.
8. Confondre la notion de spectre avec celle de valeurs propres dans des contextes différents (ex. opérateurs compacts vs matrices).
9. Ignorer que la conjugaison ne modifie pas le spectre mais peut changer la forme de la matrice.
10. Négliger que la décomposition spectrale s’applique uniquement aux matrices diagonalisables.

✅ Checklist Examen

• Définir un endomorphisme et expliquer la notion de spectre.
• Expliquer la relation entre valeurs propres, espace propre et noyau.
• Décrire la procédure pour diagonaliser une matrice.
• Énoncer la condition pour qu’une matrice soit diagonalisable.
• Définir le polynôme caractéristique et son lien avec le spectre.
• Expliquer la différence entre multiplicité algébrique et géométrique.
• Décrire la notion de conjugaison et son impact sur le spectre.
• Donner la définition du polynôme minimal et son rôle dans la diagonalisation.
• Expliquer la décomposition spectrale pour une matrice diagonalisable.
• Identifier si une matrice est diagonalisable à partir de ses valeurs propres.
• Rappeler la formule du polynôme caractéristique.
• Vérifier si une matrice est semblable à une matrice diagonale.
• Déterminer le spectre d’une matrice à partir de son polynôme caractéristique.