Lernzettel: Bases des nombres et opérations fondamentales

📋 Plan du Cours

1. Ensembles de nombres
2. Fractions, puissances et notation scientifique
3. Arithmétique et nombres premiers

📖 1. Ensembles de nombres

🔑 Notions clés & Définitions

• Entiers naturels : Ensemble $\mathbb{N}$ formé de $0,1,2,3,\dots$.
• Entiers relatifs : Ensemble $\mathbb{Z}$ contenant les nombres positifs, nuls et négatifs, écrit aussi $\dots,-2,-1,0,1,2,\dots$.
• Nombres rationnels : Ensemble $\mathbb{Q}$ des fractions de deux entiers, c’est-à-dire $\frac{p}{q}$ avec $p,q\in\mathbb{Z}$ et $q\neq 0$.

📝 Points essentiels

• Les naturels $\mathbb{N}$ sont une partie des relatifs $\mathbb{Z}$, et les rationnels $\mathbb{Q}$ regroupent les fractions d’entiers.
• Les irrationnels incluent des valeurs classiques comme $\sqrt{2}$ et $\pi$ qui ne s’écrivent pas en fraction.
• Les ensembles $\mathbb{N},\mathbb{Z},\mathbb{Q}$ se distinguent par la forme d’écriture autorisée, tandis que $\mathbb{Q}$ exclut les irrationnels.

📖 2. Fractions, puissances et notation scientifique

🔑 Notions clés & Définitions

• Addition et soustraction de fractions : Pour additionner ou soustraire des fractions, on met d’abord au même dénominateur puis on combine les numérateurs.
• Puissances de même base : Pour $a^n$ et $a^m$, les règles relient multiplication, division et puissances de puissance via les exposants.
• Notation scientifique : Écriture d’un nombre sous la forme $a\times 10^n$ avec $1\le a<10$, utile pour manipuler de grands ou petits nombres.

📝 Points essentiels

• $a^n\times a^m=a^{n+m}$ et $a^n\div a^m=a^{n-m}$.
• $(a^n)^m=a^{n\times m}$ et $a^0=1$ pour $a\neq 0$.
• La division par une fraction revient à multiplier par son inverse : $\frac{p}{q}\div\frac{r}{s}=\frac{p}{q}\times\frac{s}{r}$.
• $0,00045=4,5\times 10^{-4}$.

📖 3. Arithmétique et nombres premiers

🔑 Notions clés & Définitions

• Divisibilité par 2, 3, 5 et 9 : On utilise des tests simples sur la parité, la somme des chiffres ou le dernier chiffre pour décider si un nombre est divisible.
• Décomposition en facteurs premiers : Écriture d’un nombre comme produit de nombres premiers, servant de base pour déterminer le PGCD et le PPCM.
• Nombres premiers : Nombres entiers positifs ayant exactement deux diviseurs : $1$ et eux-mêmes, comme $2,3,5,7,\dots$.

📝 Points essentiels

• Divisible par 2 si le nombre est pair, par 3 si la somme de ses chiffres est divisible par 3, par 5 s’il finit par 0 ou 5, et par 9 si la somme des chiffres est divisible par 9.
• Le PGCD et le PPCM de deux nombres se calculent à partir de leur décomposition en facteurs premiers.
• Nombres premiers à connaître : $2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,31$.

⚠️ Pièges & confusions fréquents

1. Oublier de mettre au même dénominateur lors d’une addition ou soustraction de fractions donne une somme fausse.
2. Confondre la division de fractions avec la multiplication : diviser par $\frac{4}{5}$ revient à multiplier par $\frac{5}{4}$.
3. Se tromper de règle sur les exposants (par exemple écrire $a^n\div a^m=a^{n+m}$ au lieu de $a^{n-m}$.
4. Utiliser $a^0=0$ au lieu de $a^0=1$ pour $a\neq 0$.
5. Penser que $\sqrt{2}$ est rationnel : c’est un irrationnel car il ne s’écrit pas en fraction d’entiers.
6. Croire que tous les nombres ont une liste finie de diviseurs simples : seules les décompositions en facteurs premiers permettent d’extraire PGCD et PPCM.
7. Mélanger le critère de divisibilité par 3 (somme des chiffres) avec celui par 9 (même idée mais par 9).

✅ Checklist Examen

1. Identifier correctement l’ensemble de nombres d’un entier, d’une fraction et de valeurs comme $\sqrt{2}$ ou $\pi$.
2. Écrire $\mathbb{N}$, $\mathbb{Z}$, $\mathbb{Q}$ en comprenant la forme autorisée de leurs éléments.
3. Additionner et soustraire deux fractions en utilisant le même dénominateur puis en combinant les numérateurs.
4. Multiplier deux fractions en multipliant numérateurs et dénominateurs séparément.
5. Diviser deux fractions en multipliant par l’inverse de la seconde fraction.
6. Appliquer $a^n\times a^m=a^{n+m}$ et $a^n\div a^m=a^{n-m}$ sans confusion.
7. Appliquer $(a^n)^m=a^{n\times m}$ et utiliser $a^0=1$ pour $a\neq 0$.
8. Utiliser la propriété $a^{-n}=\frac{1}{a^n}$ pour transformer des puissances négatives.
9. Mettre un nombre sous forme de notation scientifique $a\times 10^n$ avec $1\le a<10$.
10. Reconnaître et utiliser $0,00045=4,5\times 10^{-4}$ comme exemple de conversion.
11. Déterminer si un nombre est divisible par 2, 3, 5 ou 9 avec les tests donnés (pair/somme des chiffres/dernier chiffre).
12. Effectuer une décomposition en facteurs premiers pour préparer le calcul du PGCD et du PPCM de deux nombres.
13. Citer et reconnaître comme nombres premiers ceux de la liste : $2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,31$.