Quiz: Bases et intuition des probabilités — 28 Fragen

1. Une variable aléatoire discrète possède un support de cardinal fini ou au plus dénombrable : quelle caractéristique cela décrit-il précisément ?

A. Son support est un intervalle de R et les probabilités ponctuelles sont positives

B. Son support est inclus dans R et a un cardinal infini non dénombrable

C. Son support est inclus dans R et a un cardinal fini ou dénombrable mais aucune valeur ne peut être attribuée à la probabilité

D. Son support est constitué des valeurs possibles, avec un cardinal fini ou au plus dénombrable

Answer: (D)

Erklärung

Pour une variable discrète, les valeurs possibles forment un support de cardinal fini ou au plus dénombrable. Le cas continu correspond au support de cardinal infini.

2. Comment caractériser le support d’une variable aléatoire continue ?

A. Son support est inclus dans R et de cardinal non dénombrable

B. Son support est inclus dans R et de cardinal infini

C. Son support est inclus dans R mais de cardinal fini

D. Son support n’est pas inclus dans R mais dans un ensemble fini

Answer: (B)

Erklärung

Une variable aléatoire continue a un support inclus dans R de cardinal infini. Cela la distingue d’une variable discrète qui a un support fini ou dénombrable.

3. Si X est une variable aléatoire continue, que vaut la probabilité ponctuelle P(X = x) pour un x du support ?

A. P(X = x) = 1

B. P(X = x) = 0

C. P(X = x) dépend uniquement de x et peut dépasser 1

D. P(X = x) est toujours strictement positive

Answer: (B)

Erklärung

Pour une variable continue, les probabilités ponctuelles sont nulles : pour tout x du support, P(X = x) = 0. Dire cela ne signifie pas que la valeur x est impossible.

4. Quelle propriété caractérise la distribution de probabilité d’une variable aléatoire discrète ?

A. La somme des probabilités est seulement vraie sur une partie du support

B. Chaque P(X=x) vérifie f(x) ≥ 0 et l’intégrale de f sur R vaut 1

C. La somme des probabilités sur le support vaut 1 et chaque P(X=x) vérifie 0 < P(X=x) ≤ 1

D. Chaque P(X=x) est une densité et peut dépasser 1

Answer: (C)

Erklärung

Pour une variable discrète, on a une distribution : chaque probabilité ponctuelle est dans ]0,1] et la somme sur le support vaut 1. La condition par intégrale concerne la densité du cas continu.

5. Pour une loi de Bernoulli B(p) sur {0,1}, quelle est la valeur de P(X = 1) ?

A. e^(-p)

B. 1 − p

C. p

D. p²

Answer: (C)

Erklärung

Sous B(p) sur {0,1}, on a P(X = 1) = p et P(X = 0) = 1 − p. Les autres expressions ne correspondent pas à la définition.

6. Pour une loi binomiale Bin(n,p) sur {0, …, n}, quelle expression donne P(X = k) ?

A. (n+1)p^k(1 − p)^(n−k)

B. C(k,n)p^k(1 − p)^(n−k)

C. p^k(1 − p)^(n−k)/n

D. C(n,k)p^k(1 − p)^(n−k)

Answer: (D)

Erklärung

Pour X ∼ Bin(n,p), la probabilité s’écrit P(X = k) = C(n,k)p^k(1 − p)^(n−k). Cette formule est spécifique au nombre d’essais n.

7. Pour une loi de Poisson P(λ) sur N, quelle relation relie l’espérance et la variance ?

A. E[X] = 0 et V[X] = λ

B. E[X] = λ et V[X] = λ²

C. E[X] = λ et V[X] = λ

D. E[X] = 1/λ et V[X] = 1/λ

Answer: (C)

Erklärung

Pour la loi de Poisson P(λ), on a E[X] = λ et V[X] = λ. L’égalité entre espérance et variance est un point clé du modèle.

8. La loi exponentielle E(λ) a une densité proportionnelle à e^{-λx}. Que vaut l’espérance en fonction de λ ?

A. 1/λ

B. 1/λ²

C. λ²

D. λ

Answer: (A)

Erklärung

Pour une loi exponentielle E(λ), l’espérance vaut 1/λ. Ici, le paramètre λ correspond à un taux, pas à une moyenne.

9. Comment définit-on la fonction de répartition F d’une variable aléatoire X ?

A. F(t) = P(X ≥ t)

B. F(t) = P(X ≤ t)

C. F(t) = P(|X| ≤ t)

D. F(t) = P(X < t)

Answer: (B)

Erklärung

La fonction de répartition est définie par F(t) = P(X ≤ t). Elle ne correspond pas à une densité de probabilité.

10. Quelle propriété générale vérifie la fonction de répartition F d’une variable aléatoire ?

A. F est décroissante et peut dépasser 1

B. F est à valeurs strictement positives

C. F est constante sur R sauf aux points entiers

D. F est croissante, définie sur R et prend des valeurs dans [0,1]

Answer: (D)

Erklärung

F est croissante, définie sur R et à valeurs dans [0,1]. Une densité, elle, peut dépasser 1 mais une fonction de répartition reste bornée.

11. Quel lien caractérise la régularité de la fonction de répartition F selon que X est discrète ou continue ?

A. Dans tous les cas, F est en escalier et sa dérivée vaut 0 partout

B. Si X est discrète, F est en escalier ; si X est continue, F est continue et sa dérivée est la densité f

C. Si X est discrète, F est linéaire ; si X est continue, F a des sauts

D. Si X est discrète, F est continue ; si X est continue, F est en escalier

Answer: (B)

Erklärung

Pour X discrète, la fonction de répartition est en escalier, tandis que pour X continue, F est continue et sa dérivée donne la densité f. L’inverse contredit cette distinction.

12. Que désigne la loi jointe d’un couple discret (X,Y) ?

A. La famille des probabilités P(X=x, Y=y) pour (x,y) du produit SuppX×SuppY

B. La liste des valeurs possibles de Y seulement, avec P(Y=y)

C. La liste des valeurs possibles de X seulement, avec P(X=x)

D. La somme des marges P(X=x)+P(Y=y) pour chaque (x,y)

Answer: (A)

Erklärung

La loi jointe est la famille des probabilités P(X=x, Y=y) sur SuppX×SuppY. Elle traite simultanément X et Y, pas une variable seule.

13. Pour une loi jointe discrète, quelle propriété de normalisation doit vérifier les probabilités P(X=x,Y=y) ?

A. Elles appartiennent à [0,1] et leur somme sur tous les couples du support vaut 1

B. Elles valent toujours 1 quand (x,y) est dans le support

C. Elles appartiennent à [0,1] et leur somme sur une seule ligne vaut 1

D. Elles appartiennent à [−1,1] et leur produit sur tous les couples vaut 1

Answer: (A)

Erklärung

Dans le cas discret, chaque probabilité est entre 0 et 1 et la somme sur tous les couples du support vaut 1. Ne sommer que sur une ligne ou une colonne ne donne qu’une marginale.

14. Comment obtenir la loi marginale de X à partir de la loi jointe ?

A. En sommant sur toutes les valeurs de X : P(X=x)=∑x P(X=x,Y=y)

B. En sommant sur toutes les valeurs de Y : P(X=x)=∑y P(X=x,Y=y)

C. En prenant P(X=x)=P(Y=x)

D. En différenciant la loi jointe par rapport à x

Answer: (B)

Erklärung

La marginale de X se déduit en sommant la loi jointe sur toutes les valeurs possibles de Y : P(X=x)=∑y P(X=x,Y=y). La somme doit porter sur Y pour isoler X.

15. Comment obtient-on la loi marginale de X à partir d’une loi jointe discrète de (X,Y) ?

A. En sommant les probabilités jointes sur toutes les valeurs possibles de Y : P(X=x)=∑_y P(X=x,Y=y)

B. En normalisant la somme des probabilités jointes d’une seule ligne pour obtenir directement P(Y)

C. En prenant P(X=x)=P(X=x,Y=y) pour une seule valeur de y

D. En sommant sur toutes les valeurs possibles de X : P(X=x)=∑_x P(X=x,Y=y)

Answer: (A)

Erklärung

La marginale de X se calcule en sommant la loi jointe sur toutes les valeurs de Y. Les autres choix correspondent soit à une somme sur la mauvaise variable, soit à une prise ponctuelle qui ne donne pas une marginale.

16. Quelle condition caractérise l’indépendance de X et Y pour une loi jointe discrète ?

A. X et Y sont indépendantes si E[X·Y]=E[X]E[Y] sans hypothèse

B. Pour tout x,y du support : P(X=x,Y=y)=P(X=x)P(Y=y)

C. X et Y sont indépendantes si P(X=x)=P(X=x,Y=y) pour un seul x

D. Pour tout x,y du support : P(X=x,Y=y)=P(X=x)+P(Y=y)

Answer: (B)

Erklärung

L’indépendance est équivalente à la relation P(X=x,Y=y)=P(X=x)P(Y=y) pour tout x et tout y. Une covariance nulle n’est pas un critère direct ici, et l’additivité proposée est fausse.

17. Que représente la loi conditionnelle de Y sachant X = x ?

A. La famille des valeurs possibles de X quand X = x

B. La famille des probabilités P(Y=y | X=x) pour y appartenant au support de Y

C. La densité conditionnelle de X sachant Y = x

D. La famille des probabilités P(Y=y) pour y dans le support de Y

Answer: (B)

Erklärung

La loi conditionnelle de Y sachant X=x est définie par les probabilités P(Y=y | X=x) pour les y du support de Y. Elle ne se confond pas avec la marginale P(Y=y).

18. Pour une variable Y et une loi jointe discrète, quelle est la bonne formule pour calculer P(Y=y | X=x) ?

A. P(Y=y | X=x) = P(X=x)−P(Y=y, X=x)

B. P(Y=y | X=x) = P(Y=y, X=x)/P(Y=y)

C. P(Y=y | X=x) = P(X=x)/P(Y=y, X=x)

D. P(Y=y | X=x) = P(Y=y, X=x)/P(X=x)

Answer: (D)

Erklärung

La formule correcte utilise au dénominateur la probabilité P(X=x). Le dénominateur proposé comme P(Y=y) donnerait un calcul incorrect.

19. Pour deux variables aléatoires X et Y d’espérances finies et de variances finies non nulles, quelle expression donne la covariance Cov(X,Y) ?

A. Cov(X,Y)=E[X]E[Y]−E[XY]

B. Cov(X,Y)=∑x∑y (x−E[X])(y−E[Y])P(X=x,Y=y)

C. Cov(X,Y)=∑x∑y x·y·P(X=x,Y=y)

D. Cov(X,Y)=∑x∑y (x−y)^2 P(X=x,Y=y)

Answer: (B)

Erklärung

La covariance mesure la co-variation centrée : (x−E[X]) et (y−E[Y]) multipliés puis pondérés par la probabilité conjointe. Les autres formules correspondent à des quantités différentes (produit brut, différence d’espérances, carré des écarts).

20. Si deux variables aléatoires X et Y sont indépendantes, que peut-on conclure sur Cov(X,Y) ?

A. Cov(X,Y) est strictement positif

B. Cov(X,Y)=√(V(X)V(Y))

C. Cov(X,Y)=0

D. Cov(X,Y) dépend uniquement de V(X)

Answer: (C)

Erklärung

L’indépendance entraîne Cov(X,Y)=0. En revanche, Cov(X,Y)=0 ne garantit pas en général l’indépendance (sauf cas particulier comme un vecteur gaussien).

21. Quel est le rôle du coefficient de corrélation linéaire ρ(X,Y) par rapport à la covariance ?

A. Il normalise la covariance par les écarts types

B. Il calcule une somme des écarts au carré indépendamment de la covariance

C. Il remplace directement la covariance par une quantité en unités carrées

D. Il soustrait les espérances E[X] et E[Y] puis multiplie

Answer: (A)

Erklärung

Le coefficient ρ(X,Y)=Cov(X,Y)/(√V(X)√V(Y)) normalise la covariance via les écarts types. Les autres choix ne correspondent pas à cette formule de normalisation.

22. Quel énoncé est vrai concernant le coefficient de corrélation linéaire ρ(X,Y) ?

A. On a |ρ(X,Y)| ≤ 1 et |ρ(X,Y)|=1 implique un lien linéaire entre X et Y

B. |ρ(X,Y)|≥1 pour toute relation statistique entre X et Y

C. Une corrélation proche de 0 garantit qu’il n’existe aucune relation non linéaire

D. ρ(X,Y)=0 implique une indépendance toujours vérifiée

Answer: (A)

Erklärung

Le coefficient de corrélation vérifie toujours |ρ(X,Y)|≤1 et atteindre ±1 traduit une dépendance linéaire. Un ρ proche de 0 n’exclut pas une relation non linéaire, et ρ=0 n’implique pas l’indépendance en général.

23. Si X1, X2, … sont i.i.d. et ont une espérance finie m, vers quelle grandeur converge la moyenne empirique (1/n)∑_{i=1}^n Xi lorsque n augmente ?

A. Vers 0 indépendamment de m

B. Vers la somme brute ∑_{i=1}^n Xi

C. Vers m en moyenne quadratique

D. Vers m en probabilité

Answer: (D)

Erklärung

Le théorème de convergence (loi des grands nombres) dit que la moyenne empirique converge en probabilité vers l’espérance commune m. Il ne s’agit pas de la convergence de la somme brute ni vers 0 par défaut.

24. Quelle affirmation décrit correctement le résultat de la loi des grands nombres sur les Xi i.i.d. ?

A. La moyenne empirique converge presque sûrement vers 0

B. Chaque Xi converge en probabilité vers m

C. La moyenne empirique (1/n)∑ Xi converge en probabilité vers m

D. La somme ∑ Xi converge en probabilité vers m

Answer: (C)

Erklärung

Le résultat porte sur la moyenne empirique (1/n)∑ Xi, qui converge en probabilité vers m. Les autres propositions portent sur la mauvaise grandeur (somme brute, Xi individuels) ou contredisent la cible.

25. Parmi les commandes suivantes, laquelle calcule l’écart type d’un vecteur numérique en R ?

A. sort()

B. sd()

C. mean()

D. cor()

Answer: (B)

Erklärung

En R, sd() calcule l’écart type alors que cor() calcule une corrélation. mean() renvoie une moyenne et sort() trie les valeurs.

26. Pour rendre les résultats reproductibles lors d’une simulation en R, que fait la commande set.seed(1234) ?

A. Elle calcule une probabilité sans tirer d’échantillon

B. Elle transforme automatiquement les données en distribution normale

C. Elle fixe la graine du générateur aléatoire

D. Elle impose la loi réelle des variables aléatoires

Answer: (C)

Erklärung

Fixer la graine fige l’état du générateur aléatoire, ce qui permet de reproduire les mêmes tirages. Cela ne choisit pas la loi des variables : la loi est fixée par la fonction de tirage (rnorm, runif, etc.).

27. Pour effectuer un tirage de n=5 réalisations selon une loi normale de moyenne 10 et d’écart type 2 en R, quelle commande convient ?

A. dnorm(5,10,2)

B. qnorm(5,10,2)

C. rnorm(5,10,2)

D. pnorm(5,10,2)

Answer: (C)

Erklärung

rnorm(5,10,2) génère des réalisations d’une normale de moyenne 10 et d’écart type 2. pnorm, qnorm et dnorm calculent respectivement des probabilités, des quantiles et une densité plutôt que des tirages.

28. Pour une loi normale de moyenne 10 et d’écart type 2, la probabilité P(X ≤ 12) se calcule avec quelle commande et vaut 0.8413447 ?

A. mean(12,10,2)

B. dnorm(12,10,2)

C. qnorm(12,10,2)

D. pnorm(12,10,2)

Answer: (D)

Erklärung

pnorm(12,10,2) fournit la probabilité cumulée P(X≤12). dnorm donnerait une densité en 12, tandis que qnorm calcule un quantile et mean() ne correspond pas à cette fonction.