Flashcards: Bases et intuition des probabilités — 53 cards

Quel est le support d'une variable aléatoire discrète ?

L'ensemble de ses valeurs possibles.

Quel est le cardinal du support discret ?

Il est fini ou dénombrable.

Quel est le support d'une variable aléatoire continue ?

Un sous-ensemble de \(\mathbb{R}\).

Quelles sont les probabilités ponctuelles d'une variable continue ?

Elles sont nulles.

Quelle condition vérifie chaque probabilité discrète ?

Elle est strictement positive au plus égale à 1.

Que vaut la somme des probabilités discrètes ?

Elle vaut 1.

Quelle condition vérifie la densité d'une variable continue ?

Elle est positive ou nulle sur \(\mathbb{R}\).

Que vaut l'intégrale de la densité sur \(\mathbb{R}\) ?

Elle vaut 1.

Quelle est la probabilité d'une valeur donnée en loi uniforme discrète ?

Elle vaut 1/n.

Quelle est l'espérance de la loi uniforme discrète sur {1,…,n} ?

Elle vaut (n+1)/2.

Quelle est la variance de la loi uniforme discrète sur {1,…,n} ?

Elle vaut (n+1)(n-1)/12.

Quelle est l'espérance d'une variable de loi de Bernoulli ?

Elle vaut p.

Quelle est la variance d'une variable de loi de Bernoulli ?

Elle vaut p(1-p).

Quelle est la probabilité P(X = k) en loi binomiale ?

Elle vaut C(n,k)p^k(1-p)^(n-k).

Quelle est l'espérance d'une loi binomiale Bin(n,p) ?

Elle vaut np.

Quelle est la variance d'une loi binomiale Bin(n,p) ?

Elle vaut np(1-p).

Qu'est-ce que la fonction de répartition de X ?

La fonction F telle que F(t)=P(X≤t).

Quelle propriété de variation a F ?

Elle est croissante.

Dans quel intervalle F prend-elle ses valeurs ?

Dans [0,1].

Quelle forme a F si X est discrète ?

Une fonction en escalier.

Que devient F si X est continue ?

Elle est continue.

Que représente la dérivée de F si X est continue ?

La densité f.

Qu'est-ce que la loi jointe d’un couple discret (X,Y) ?

La famille des probabilités P(X = x, Y = y).

Qu'impose chaque probabilité d'une loi jointe discrète ?

Elle appartient à l’intervalle [0,1].

Quelle est la somme des probabilités d'une loi jointe discrète ?

Elle vaut 1.

Comment obtient-on la loi marginale de X ?

En sommant la loi jointe sur toutes les valeurs de Y.

Quelle formule donne la loi marginale de Y ?

P(Y = y) = ∑x P(X = x, Y = y).

Quelle est la valeur de P(X = 0) dans l'exemple ?

0,3.

Quelle est la valeur de P(X = 2) dans l'exemple ?

0,6.

Quelle est la valeur de P(Y = 1) dans l'exemple ?

0,6.

Quand X et Y sont-elles indépendantes ?

Pour tout x et y, P(X=x, Y=y)=P(X=x)P(Y=y).

Qu'est-ce que la loi conditionnelle de Y sachant X=x ?

C'est la famille des probabilités P(Y=y \mid X=x).

Quelle est la formule de P(Y=y \mid X=x) ?

P(Y=y \mid X=x)=\frac{P(Y=y, X=x)}{P(X=x)}.

Que vaut la somme des probabilités conditionnelles pour un x fixé ?

Elle vaut 1.

Quelle borne vérifie P(Y=y \mid X=x) ?

Elle appartient à l'intervalle [0,1].

Que vaut P(Y=1 \mid X=0) dans l'exemple ?

Elle vaut 1/3.

Quelle propriété a Cov(X,Y) ?

Elle est symétrique.

Que vaut Cov(X,X) ?

La variance de X.

Que vaut Cov(X,Y) si X et Y sont indépendantes ?

Elle est nulle.

Quand la covariance nulle n'implique-t-elle pas l'indépendance ?

Sauf pour un vecteur gaussien.

Quelle est la formule de ρ(X,Y) ?

Cov(X,Y) divisé par √V(X)√V(Y).

Quelle borne vérifie |ρ(X,Y)| ?

Il est inférieur ou égal à 1.

Que signifie |ρ(X,Y)| = 1 ?

X et Y sont liés linéairement.

Quelle est la formule de Cov(X,Y) ?

Somme sur x et y de (x−E[X])(y−E[Y])P(X=x,Y=y).

Que vaut la moyenne empirique quand n tend vers l'infini ?

Elle converge en probabilité vers m.

Quel est l’avantage multi-plateforme cité pour R et RStudio ?

Leur caractère multi-plateforme.

Avec quelle commande installe-t-on tidyverse ?

install.packages("tidyverse").

Quelle commande calcule la moyenne ?

mean().

Quelles fonctions citées donnent des lois continues ou discrètes ?

unif(), geom(), norm(), binom(), exp(), pois(), beta(), t(), chisq(), f() et gamma().

Quelle commande fixe la graine aléatoire ?

set.seed(1234).

Quelle commande tire 5 valeurs normales de moyenne 10 et écart type 2 ?

rnorm(5,10,2).

Quelle commande donne le premier quartile d’une normale N(10,2) ?

qnorm(0.25,10,2).

Quelle commande calcule P(X ≤ 12) pour N(10,2) ?

pnorm(12,10,2).