Lernzettel: Cahier de vacances de mathématiques

📋 Plan du Cours

1. Nombres complexes et signaux sinusoïdaux
2. Fonctions et propriétés élémentaires
3. Calcul différentiel et intégral
4. Développements et intégrales généralisées
5. Séries et intégrales multiples
6. Algèbre linéaire et matrices
7. Équations différentielles
8. Convolution et géométrie vectorielle
9. Transformations et réduction linéaire
10. Probabilités et variables aléatoires

📖 1. Nombres complexes et signaux sinusoïdaux

🔑 Notions clés & Définitions

• Nombre complexe : Tout nombre complexe s’écrit sous forme algébrique z=a+ib et sous forme trigonométrique ou exponentielle z=re^{iθ}=r cos θ+i r sin θ.

📝 Points essentiels

★ À maîtriser

📐 Formule — Pour z=a+ib, le module vaut |z|=√(a²+b²) et un argument de z est θ dans l’écriture z=|z|e^{iθ}.

📐 Formule — Pour tout entier n, (e^{iθ})^n=e^{inθ}.

📌 Dans A sin(ωt−ϕ) ou A cos(ωt−ϕ), A est l’amplitude, ω la pulsation, T=2π/ω la période, f=1/T la fréquence, ϕ le déphasage et Δt=ϕ/ω le décalage temporel.

Compléments

📐 Formule — Les formules d’Euler sont cos θ=(e^{iθ}+e^{-iθ})/2 et sin θ=(e^{iθ}-e^{-iθ})/(2i).

💡 Astuce mémo

Algébrique → trigonométrique → exponentielle

📖 2. Fonctions et propriétés élémentaires

🔑 Notions clés & Définitions

• Fonction paire : Vérifie f(−x)=f(x) et sa courbe est symétrique par rapport à l’axe des ordonnées.
• Fonction impaire : Vérifie f(−x)=−f(x) et sa courbe est symétrique par rapport à l’origine.
• Fonction périodique : Une fonction est périodique de période T si f(x+T)=f(x) pour tout x de son domaine.
• Fonction de Heaviside : La fonction échelon U vérifie U(t)=1 si t≥0 et U(t)=0 si t<0.

📝 Points essentiels

★ À maîtriser

• Une fonction causale vaut zéro pour tout t<0.

Compléments

📌 La somme de deux fonctions périodiques est périodique lorsque leurs périodes admettent un plus petit multiple commun, tandis que sin x+sin(√2x) n’est pas périodique.

💡 Astuce mémo

Domaine, symétrie, période

📖 3. Calcul différentiel et intégral

🔑 Notions clés & Définitions

• Fraction rationnelle : Se décompose en une partie entière et des fractions associées aux puissances des facteurs irréductibles du dénominateur.

📝 Points essentiels

📐 Formule — Si f est continue sur un intervalle contenant a, alors F(x)=∫_a^x f(t)dt est l’unique primitive de f qui s’annule en a et ∫_a^b f(t)dt=F(b)−F(a).

📐 Formule — Pour deux fonctions C1, ∫_a^b f′(t)g(t)dt=[f(t)g(t)]_a^b−∫_a^b f(t)g′(t)dt.

📐 Formule — Si φ est C1 et f continue, alors ∫_{φ(a)}^{φ(b)}f(t)dt=∫_a^b f(φ(t))φ′(t)dt.

💡 Astuce mémo

Dériver pour étudier, intégrer pour calculer

📖 4. Développements et intégrales généralisées

🔑 Notions clés & Définitions

• Intégrale généralisée : On définit ∫a^{+∞}f(x)dx comme lim{A→+∞}∫_a^A f(x)dx et ∫0^b f(x)dx comme lim{ε→0}∫_ε^b f(x)dx.
• Fonction Gamma : Définie par Γ(x)=∫_0^{+∞}e^{-t}t^{x−1}dt pour x>0 et vérifie Γ(x+1)=xΓ(x), donc Γ(n+1)=n!.

📝 Points essentiels

📐 Formule — Au voisinage de zéro, e^x=1+x+x²/2!+⋯+x^n/n!+o(x^n).

📌 Si f(x)∼1/x^α à l’infini, son intégrale converge si α>1, et si f(x)∼1/x^α au voisinage de zéro, elle converge si α<1.

💡 Astuce mémo

Comportement local et comportement à l’infini

📖 5. Séries et intégrales multiples

🔑 Notions clés & Définitions

• Série numérique : Une série de terme général u_n converge lorsque la suite de ses sommes partielles S_n=∑_{k=0}^n u_k admet une limite finie.

📝 Points essentiels

📌 La série ∑_{k=0}^{∞}r^k converge vers 1/(1−r) si |r|<1 et diverge sinon.

📌 La série ∑_{k=1}^{∞}1/k^α converge si α>1 et diverge si α≤1.

📌 Si |u_{n+1}/u_n| tend vers ℓ, la série converge si ℓ<1 et diverge si ℓ>1.

📐 Formule — Pour une fonction continue sur un rectangle, l’intégrale double peut être calculée par intégrations successives dans l’un ou l’autre ordre.

📐 Formule — Sous un C1-difféomorphisme, ∫∫_V f(x,y)dxdy=∫∫_U f(φ(u,v))|det Jφ(u,v)|dudv.

📖 6. Algèbre linéaire et matrices

🔑 Notions clés & Définitions

• Système linéaire : S’écrit sous forme matricielle AX=B.

📝 Points essentiels

★ À maîtriser

📐 Formule — Si det(A)≠0, alors A^{-1}=Comt(A)/det(A) et la solution de AX=B est X=A^{-1}B.

📐 Formule — Pour un système carré avec Δ=det(A)≠0, chaque inconnue est obtenue comme le quotient du déterminant où sa colonne est remplacée par B par Δ.

Compléments

🔄 Processus — Un système linéaire peut être résolu par substitution, combinaisons linéaires, inversion matricielle ou méthode de Cramer.

🔄 Processus — Un système multiplicatif en variables positives peut être transformé en système linéaire en posant X=ln x, Y=ln y et ainsi de suite.

💡 Astuce mémo

Système → matrice → valeurs propres

📖 7. Équations différentielles

🔑 Notions clés & Définitions

• Équation différentielle linéaire : Du premier ordre s’écrit a(x)y′+b(x)y=f(x).

📝 Points essentiels

★ À maîtriser

📐 Formule — La solution homogène de a(x)y′+b(x)y=0 est y(x)=λe^{-∫b(x)/a(x)dx}.

🔄 Processus — La solution générale d’une équation différentielle linéaire du premier ordre s’obtient en ajoutant à la solution homogène une solution particulière trouvée par variation de la constante.

📐 Formule — Pour y″+ay′+by=0, les solutions sont construites à partir des racines r_1 et r_2 de l’équation caractéristique r²+ar+b=0.

Compléments

📐 Formule — Si A=PDP^{-1} avec D=diag(λ_1,…,λ_n), alors les solutions de X′=AX s’écrivent X=P(α_1e^{λ_1t},…,α_ne^{λ_nt})^T.

💡 Astuce mémo

Homogène puis particulière

📖 8. Convolution et géométrie vectorielle

🔑 Notions clés & Définitions

• Produit de convolution : De f et g est défini par (f∗g)(x)=∫_{−∞}^{+∞}f(x−t)g(t)dt.

📝 Points essentiels

★ À maîtriser

📐 Formule — Pour deux vecteurs u et v, u·v=||u||||v||cos(u,v), et u·v=0 caractérise l’orthogonalité.

📐 Formule — La norme ||u∧v|| donne l’aire du parallélogramme construit sur u et v.

Compléments

• La convolution de deux fonctions portes identiques valant 1 sur [−1/2,1/2] est triangulaire, avec (f∗g)(x)=x+1 sur [−1/2,0], 1−x sur [0,1/2], et zéro ailleurs.

📐 Formule — Pour deux vecteurs de l’espace, ||u∧v||²+(u·v)²=||u||²||v||².

🔄 Processus — L’orthonormalisation construit successivement des vecteurs orthogonaux puis les normalise afin d’obtenir une base orthonormée.

📖 9. Transformations et réduction linéaire

🔑 Notions clés & Définitions

• Valeur propre : Un scalaire λ est une valeur propre de A s’il existe un vecteur non nul v tel que Av=λv.
• Sous-espace propre : Associé à λ est l’ensemble des vecteurs vérifiant (A−λI)v=0.

📝 Points essentiels

★ À maîtriser

📐 Formule — Les valeurs propres de A sont les racines du polynôme caractéristique χ_A(λ)=det(A−λI).

📌 Une matrice carrée de taille n est diagonalisable si la somme des dimensions de ses sous-espaces propres vaut n.

Compléments

📐 Formule — Si A=PDP^{-1}, alors A^n=PD^nP^{-1}.

💡 Astuce mémo

Valeurs propres → diagonalisation

📖 10. Probabilités et variables aléatoires

🔑 Notions clés & Définitions

• Probabilité conditionnelle : La probabilité de B sachant A est P(B|A)=P(A∩B)/P(A) lorsque P(A)≠0.

📝 Points essentiels

★ À maîtriser

📐 Formule — Pour des événements formant une partition, P(A_i|B)=P(B|A_i)P(A_i)/∑_j P(B|A_j)P(A_j).

📐 Formule — Si X compte les succès de n épreuves indépendantes de probabilité p, alors X suit B(n,p) et P(X=k)=C(n,k)p^k(1−p)^{n−k}.

📐 Formule — Pour X suivant B(n,p), E[X]=np et son écart-type vaut √(np(1−p)).

Compléments

• Le nombre de tiercés ordonnés parmi 20 chevaux est 6840, tandis que le nombre de tiercés non ordonnés est 1140.

• Dans un groupe de 30 personnes et une année de 365 jours équiprobables, la probabilité qu’au moins deux personnes aient le même anniversaire est approximativement 0,71.

💡 Astuce mémo

Dénombrer, conditionner, modéliser

📊 Tableaux de synthèse

Critères de convergence

Objet	Condition de convergence	Condition de divergence
Série géométrique ∑r^n	|r|<1	|r|≥1
Série de Riemann ∑1/n^α	α>1	α≤1
Intégrale à l’infini ∫1/x^α	α>1	α≤1
Intégrale près de zéro ∫1/x^α	α<1	α≥1

⚠️ Pièges & confusions fréquents

1. La forme algébrique ne donne pas directement le module et l’argument.
2. Une fonction impaire est symétrique par rapport à l’origine.
3. Le terme de bord doit être évalué aux deux bornes.
4. Une intégrale généralisée converge seulement si la limite correspondante est finie.
5. La condition u_n→0 est nécessaire mais pas suffisante.
6. Une matrice n’est inversible que si son déterminant est non nul.
7. La forme de la solution dépend de la nature et de la multiplicité des racines.