Flashcards: Cahier de vacances de mathématiques — 70 cards

Comment s'écrit un nombre complexe en forme algébrique ?

z = a + ib.

Quelle est la forme trigonométrique d'un nombre complexe z ?

z = r cos θ + i r sin θ.

Quelle est la forme exponentielle d'un nombre complexe z ?

z = r e^{iθ}.

Comment calcule-t-on le module d'un nombre complexe z = a + ib ?

|z| = √(a² + b²).

Quelle est la relation entre (e^{iθ})^n et e^{inθ} ?

(e^{iθ})^n = e^{inθ}.

Quelle est la formule d'Euler pour cos θ ?

cos θ = (e^{iθ} + e^{-iθ}) / 2.

Quelle est la formule d'Euler pour sin θ ?

sin θ = (e^{iθ} - e^{-iθ}) / (2i).

Que représente A dans A sin(ωt−ϕ) ?

L'amplitude.

Quelle propriété vérifie une fonction paire concernant f(−x) ?

f(−x)=f(x).

Quelle symétrie possède la courbe d'une fonction paire ?

Elle est symétrique par rapport à l’axe des ordonnées.

Quelle propriété vérifie une fonction impaire concernant f(−x) ?

f(−x)=−f(x).

Quelle symétrie possède la courbe d'une fonction impaire ?

Elle est symétrique par rapport à l’origine.

Quelle condition caractérise une fonction périodique de période T ?

f(x+T)=f(x) pour tout x de son domaine.

Quand la somme de deux fonctions périodiques est-elle périodique ?

Lorsque leurs périodes ont un plus petit multiple commun.

Que vaut une fonction causale pour tout t<0 ?

Elle vaut zéro.

Quelle est la valeur de la fonction échelon U(t) pour t≥0 ?

U(t)=1.

Quelle est la primitive unique de f qui s'annule en a ?

F(x)=∫_a^x f(t)dt est cette primitive unique.

Comment s'exprime l'intégrale ∫_a^b f(t)dt via une primitive F ?

∫_a^b f(t)dt=F(b)−F(a).

Quelle formule relie ∫_a^b f′(t)g(t)dt à f et g ?

∫_a^b f′(t)g(t)dt=[f(t)g(t)]_a^b−∫_a^b f(t)g′(t)dt.

Quelle est la formule de changement de variable pour ∫_{φ(a)}^{φ(b)}f(t)dt ?

∫_{φ(a)}^{φ(b)}f(t)dt=∫_a^b f(φ(t))φ′(t)dt.

Comment se décompose une fraction rationnelle ?

En une partie entière et des fractions liées aux puissances des facteurs irréductibles du dénominateur.

Quelle est l'expression du développement de e^x près de zéro ?

e^x=1+x+x²/2!+⋯+x^n/n!+o(x^n)

Comment définit-on l'intégrale impropre ∫_a^{+∞} f(x) dx ?

C'est la limite quand A→+∞ de ∫_a^A f(x) dx.

Comment définit-on l'intégrale impropre ∫_0^b f(x) dx ?

C'est la limite quand ε→0 de ∫_ε^b f(x) dx.

Quelle condition sur α assure la convergence de ∫ f(x) dx à l'infini si f(x)∼1/x^α ?

L'intégrale converge si α>1.

Quelle condition sur α assure la convergence de ∫ f(x) dx près de zéro si f(x)∼1/x^α ?

L'intégrale converge si α<1.

Comment est définie la fonction Gamma Γ(x) pour x>0 ?

Γ(x)=∫_0^{+∞} e^{-t} t^{x−1} dt.

Quelle relation fonctionnelle vérifie Γ(x) ?

Γ(x+1)=xΓ(x).

Quelle valeur prend Γ(n+1) pour un entier n ?

Γ(n+1)=n!

Quand une série de terme général u_n converge-t-elle ?

Quand la suite de ses sommes partielles admet une limite finie.

Quelle est la condition de convergence de la série géométrique ∑ r^k ?

Elle converge si la valeur absolue de r est inférieure à 1.

Que vaut la somme de la série géométrique ∑ r^k quand elle converge ?

Elle vaut 1 divisé par (1 moins r).

Pour quelle valeur de α la série ∑ 1/k^α converge-t-elle ?

Elle converge si α est strictement supérieur à 1.

Que dit le critère du rapport sur la convergence d'une série ?

Si le rapport des termes tend vers ℓ, la série converge si ℓ<1 et diverge si ℓ>1.

Comment calcule-t-on une intégrale double d'une fonction continue sur un rectangle ?

Par intégrations successives dans l’un ou l’autre ordre.

Quelle formule relie l’intégrale double sous un C1-difféomorphisme ?

L’intégrale sur V de f(x,y) dxdy égale l’intégrale sur U de f(φ(u,v)) fois le module du déterminant jacobien.

Comment s'écrit un système linéaire sous forme matricielle ?

Un système linéaire s'écrit AX=B.

Quelle est la formule de l'inverse d'une matrice A si det(A)≠0 ?

A^{-1} = Comt(A) / det(A).

Comment s'exprime la solution de AX=B quand det(A)≠0 ?

La solution est X = A^{-1}B.

Quelles méthodes permettent de résoudre un système linéaire ?

Substitution, combinaisons linéaires, inversion matricielle ou méthode de Cramer.

Comment calcule-t-on chaque inconnue dans un système carré avec Δ=det(A)≠0 ?

Chaque inconnue est le quotient d'un déterminant modifié par Δ.

Comment transforme-t-on un système multiplicatif en variables positives en système linéaire ?

En posant X=ln x, Y=ln y, etc.

Quelle forme a une équation différentielle linéaire du premier ordre ?

Elle s'écrit a(x)y′+b(x)y=f(x).

Quelle est la solution homogène de a(x)y′+b(x)y=0 ?

y(x)=λe^{-∫b(x)/a(x)dx}.

Comment obtient-on la solution générale d'une équation différentielle linéaire du premier ordre ?

En ajoutant une solution particulière à la solution homogène.

Quelle méthode permet de trouver une solution particulière pour une équation différentielle linéaire ?

La variation de la constante.

Sur quoi reposent les solutions de y″+ay′+by=0 ?

Sur les racines r_1 et r_2 de l’équation caractéristique r²+ar+b=0.

Quelle est l'équation caractéristique associée à y″+ay′+by=0 ?

r²+ar+b=0.

Comment s'écrivent les solutions de X′=AX si A=PDP^{-1} avec D diagonal ?

X=P(α_1e^{λ_1t},…,α_ne^{λ_nt})^T.

Comment se définit le produit de convolution de f et g ?

(f∗g)(x)=∫_{−∞}^{+∞}f(x−t)g(t)dt.

Quelle forme prend la convolution de deux fonctions portes identiques sur [−1/2,1/2] ?

Elle est triangulaire.

Quelle est l'expression du produit scalaire u·v en fonction des normes et de l'angle ?

u·v=||u||||v||cos(u,v).

Que caractérise le produit scalaire nul u·v=0 ?

L’orthogonalité des vecteurs.

Que représente la norme ||u∧v|| pour deux vecteurs u et v ?

L’aire du parallélogramme construit sur u et v.

Quelle relation lie ||u∧v||², (u·v)², et les normes de u et v ?

||u∧v||²+(u·v)²=||u||²||v||².

Quel est le but de l’orthonormalisation ?

Obtenir une base orthonormée.

Comment procède l’orthonormalisation pour construire une base orthonormée ?

Elle construit d'abord des vecteurs orthogonaux puis les normalise.

Qu'est-ce qu'une valeur propre λ de A ?

Un scalaire λ tel qu'il existe un vecteur non nul v avec Av=λv.

Que définit le sous-espace propre associé à λ ?

L'ensemble des vecteurs v vérifiant (A−λI)v=0.

Comment obtient-on les valeurs propres de A ?

Elles sont les racines du polynôme caractéristique χ_A(λ)=det(A−λI).

Quelle condition rend une matrice carrée diagonalisable ?

La somme des dimensions de ses sous-espaces propres vaut n.

Quelle formule exprime A^n si A=PDP^{-1} ?

A^n=PD^nP^{-1}.

Comment se calcule P(B|A) quand P(A)≠0 ?

P(B|A) = P(A∩B) / P(A).

Quelle formule donne P(A_i|B) pour une partition d'événements ?

P(A_i|B) = P(B|A_i)P(A_i) / ∑_j P(B|A_j)P(A_j).

Combien y a-t-il de tiercés ordonnés parmi 20 chevaux ?

Il y a 6840 tiercés ordonnés.

Combien y a-t-il de tiercés non ordonnés parmi 20 chevaux ?

Il y a 1140 tiercés non ordonnés.

Quelle loi suit X si X compte les succès de n épreuves indépendantes de probabilité p ?

X suit la loi binomiale B(n,p).

Quelle est la formule de P(X=k) pour X suivant B(n,p) ?

P(X=k) = C(n,k) p^k (1−p)^{n−k}.

Quelle est l'espérance de X suivant B(n,p) ?

E[X] = np.

Quelle est la probabilité qu’au moins deux personnes partagent un anniversaire dans un groupe de 30 ?

Cette probabilité est environ 0,71.