Karteikarten: Calcul algébrique : sommes et produits — 47 Karten

Que désigne la somme ∑_{i∈I} a_i pour une famille finie (a_i)_{i∈I} ?

L'addition de tous ses éléments.

Que désigne le produit ∏_{i∈I} a_i pour une famille finie (a_i)_{i∈I} ?

La multiplication de tous ses éléments.

Comment s'exprime la somme ∑_{i=m}^n a_i si I=⟦m,n⟧ avec m≤n ?

Comme a_m + a_{m+1} + ⋯ + a_n.

Comment s'exprime le produit ∏_{i=m}^n a_i si I=⟦m,n⟧ avec m≤n ?

Comme a_m × a_{m+1} × ⋯ × a_n.

Que peut-on dire de l'indice d'une somme ?

Il est muet et peut être remplacé sans changer la valeur.

Quelle est la formule de la somme des entiers de 1 à n pour n≥1 ?

La somme vaut n(n+1)/2.

Quelle est la formule de la somme des puissances q^k de k=m à n si q≠1 ?

La somme vaut (q^m−q^{n+1})/(1−q).

Combien vaut la somme de n termes constants égaux à c ?

La somme vaut nc.

Quelle est la formule générale de la somme de c de k=m à n ?

La somme vaut (n−m+1)c.

Quelle propriété linéaire vérifie la somme ∑_{i∈I}(a_i+b_i) ?

Elle se décompose en ∑_{i∈I}a_i + ∑_{i∈I}b_i.

Comment se factorise la somme ∑_{i∈I}λa_i ?

Elle vaut λ fois ∑_{i∈I}a_i.

Quelle propriété vérifie le produit ∏_{i∈I}(a_i b_i) ?

Il se décompose en (∏_{i∈I}a_i)(∏_{i∈I}b_i).

Que vaut ∏_{i∈I}λ si I contient n éléments ?

Cela vaut λ^n.

Comment s'exprime ∏_{i∈I}(λa_i) en fonction de λ et ∏_{i∈I}a_i ?

C'est λ^n multiplié par ∏_{i∈I}a_i.

Comment s'exprime exp(∑_{i=1}^n a_i) pour des réels a_i ?

C'est égal à ∏_{i=1}^n e^{a_i}.

Quelle relation lie ln(∏_{i=1}^n b_i) et ∑_{i=1}^n ln(b_i) pour b_i>0 ?

Ils sont égaux.

Quelle formule exprime une somme télescopique ?

∑_{k=m}^n(u_{k+1}−u_k)=u_{n+1}−u_m.

Quelle est la valeur de ∑_{k=1}^n((k+1)^3−k^3) ?

Elle vaut (n+1)^3−1.

Quelle formule exprime un produit télescopique de quotients successifs ?

∏_{k=1}^n e^{(k+1)^2}/e^{k^2}=e^{(n+1)^2}/e.

Qu'impose un changement d'indice dans une somme ?

Il impose de transformer simultanément les bornes et le corps de la somme.

Quelle égalité exprime le changement d'indice i=k−3 dans une somme ?

∑_{k=m}^n a_k=∑_{i=m−3}^{n−3}a_{i+3}.

Quelle condition doit respecter un changement d'indice ?

Il doit établir une bijection entre des intervalles d’entiers consécutifs.

Pourquoi i=2k ou i=k/3 ne conviennent-ils pas comme changement d'indice ?

Ils ne créent pas une bijection entre intervalles d’entiers consécutifs.

Quelle formule donne le changement d'indice i=n−k ?

∑_{k=1}^n a_k=∑_{i=0}^{n−1}a_{n−i}.

En quoi consiste le regroupement de termes dans une somme ?

À décomposer une somme en plusieurs sommes plus simples.

Quand utilise-t-on le regroupement de termes selon l'indice ?

Lorsque l’expression change de forme selon l’indice.

Comment se définit la factorielle n! pour n entier naturel ?

n! est le produit des entiers de 1 à n, avec 0! = 1.

Quelle est la relation de récurrence de la factorielle ?

(n+1)! = (n+1) × n!.

Comment s'exprime le produit des n premiers entiers pairs ?

Le produit vaut 2^n × n!.

Comment s'exprime le produit des entiers impairs de 1 à 2n+1 ?

Ce produit vaut (2n+1)! divisé par (2^n × n!).

Comment se définit le coefficient binomial C(n,p) pour p entre 0 et n ?

C(n,p) = n! / [p! × (n−p)!].

Que vaut C(n,p) si p n'est pas dans l'intervalle [0,n] ?

C(n,p) vaut 0.

Quelles sont les valeurs particulières de C(n,0), C(n,1) et C(n,2) ?

C(n,0)=1, C(n,1)=n, et C(n,2)=n(n−1)/2.

Quelle est la formule de symétrie des coefficients binomiaux ?

C(n,p)=C(n,n−p) pour n∈ℕ et p∈ℤ.

Quelle est la formule de Pascal pour les coefficients binomiaux ?

C(n−1,p−1)+C(n−1,p)=C(n,p) pour n≥1 et p∈ℤ.

Comment se construit le triangle de Pascal ?

Avec des 1 sur la première colonne et la diagonale, puis la somme des deux coefficients au-dessus.

Que permet de démontrer la formule de Pascal par récurrence ?

Que tous les coefficients binomiaux sont des entiers naturels.

Quelle est la formule du binôme de Newton ?

(a+b)^n=∑_{p=0}^n C(n,p)a^p b^{n−p} pour a,b∈ℂ et n∈ℕ.

Quels sont les coefficients du développement de (a+b)^2 ?

1, 2, 1.

Quels sont les coefficients du développement de (a+b)^3 ?

1, 3, 3, 1.

Quels sont les coefficients du développement de (a+b)^4 ?

1, 4, 6, 4, 1.

Qu'est-ce qu'une somme double rectangulaire ?

Une somme double rectangulaire additionne les termes a_{i,j} pour m≤i≤n et p≤j≤q.

Quelle propriété de l'ordre de sommation vaut pour un domaine rectangulaire ?

On peut sommer dans n’importe quel ordre sans changer le résultat.

Comment s'écrit l'égalité des sommes doubles sur un domaine rectangulaire ?

∑_{i=m}^n∑_{j=p}^q a_{i,j} = ∑_{j=p}^q∑_{i=m}^n a_{i,j}.

Qu'est-ce qu'une somme double triangulaire ?

Une somme double triangulaire additionne les termes a_{i,j} pour m≤i≤j≤n.

Sur quel domaine la somme double triangulaire est-elle définie ?

Pour les indices vérifiant m≤i≤j≤n.

Comment s'exprime la somme double sur le domaine m≤i≤j≤n ?

∑_{i=m}^n∑_{j=i}^n a_{i,j} = ∑_{j=m}^n∑_{i=m}^j a_{i,j}.