Lernzettel: Calcul des dérivées et variations

📋 Plan du Cours

1. Fonction dérivée et définition
2. Dérivées des fonctions usuelles
3. Somme, produit et quotient
4. Variations et signe de la dérivée
5. Extremum et changement de signe

📖 1. Fonction dérivée et définition

🔑 Notions clés & Définitions

• Fonction dérivée : La fonction dérivée associe à chaque réel x le nombre dérivé de f en x, noté f'(x).
• Dérivabilité : Une fonction est dérivable sur un intervalle I si elle est dérivable en tout réel x de I.
• Dérivé d'une fonction : Le dérivé en x mesure la limite du taux d’accroissement de f quand h tend vers 0.

📝 Points essentiels

• Pour calculer le dérivé en a, on étudie le quotient (f(a+h)-f(a))/h pour h≠0 puis on prend la limite quand h→0.
• Si f(x)=x^2 sur ℝ, alors f'(x)=2x et plus précisément f'(a)=2a pour tout a.
• Si f est dérivable sur I, la fonction x↦f'(x) est bien définie sur I et s’appelle la fonction dérivée de f.
• La dérivée f' dérive au sens « provient » d’une fonction : le terme « dérivé » est lié au latin derivare.

📖 2. Dérivées des fonctions usuelles

🔑 Notions clés & Définitions

• Constante : Une fonction constante a une dérivée nulle sur son ensemble de définition.
• Monôme x^n : La dérivée d’un monôme x^n (n entier ≥ 1) s’obtient en multipliant par n et en diminuant l’exposant.
• Fonction affine ax : La dérivée d’une fonction affine ax est la constante a.
• Inverse 1/x : La dérivée de la fonction inverse 1/x est une fonction en 1/x^2 avec un signe négatif.

📝 Points essentiels

• Pour f(x)=a (a∈ℝ), on a f'(x)=0.
• Pour f(x)=ax (a∈ℝ), on a f'(x)=a.
• Pour f(x)=x^n (n entier ≥1), on a f'(x)=n x^{n-1}.
• Pour f(x)=1/x^n (n entier ≥1, x≠0), on a f'(x)= -n/x^{n+1}.
• Pour f(x)=1/x^5 sur ℝ{0}, on obtient f'(x)= -5/x^6.
• Pour f(x)=x^4, on a f'(x)=4x^3.

📖 3. Somme, produit et quotient

🔑 Notions clés & Définitions

• Dérivée d'une somme : La dérivée d’une somme de deux fonctions est la somme des dérivées de chaque terme.
• Dérivée d'un produit : La dérivée d’un produit de deux fonctions se calcule avec la règle du produit en combinant les dérivées croisées.
• Dérivée d'un quotient : La dérivée d’un quotient se calcule avec une formule qui fait intervenir le produit des dérivées et une division par le carré du dénominateur.

📝 Points essentiels

• Si u et v sont dérivables sur I, alors (u+v)'(x)=u'(x)+v'(x).
• Si k est une constante et u dérivable sur I, alors (ku)'(x)=k u'(x).
• Si u et v sont dérivables sur I, alors (uv)'(x)=u'(x)v(x)+u(x)v'(x).
• Si v(x) ne s’annule pas sur I, alors (u/v)'(x)= (u'(x)v(x)-u(x)v'(x))/[v(x)]^2.
• En exemple, pour f(x)=x+x^2, on pose u(x)=x et v(x)=x^2 et on obtient f'(x)=1+2x.
• En exemple, pour f4'(x) avec u(x)=3x^2+4x et v(x)=5x-1, on applique la formule du produit pour obtenir une combinaison des termes.

📖 4. Variations et signe de la dérivée

🔑 Notions clés & Définitions

• Croissance d'une fonction : Une fonction est dite croissante sur un intervalle si sa valeur augmente quand x augmente.
• Décroissance d'une fonction : Une fonction est dite décroissante sur un intervalle si sa valeur diminue quand x augmente.
• Signe de la dérivée : Le signe de f'(x) indique le sens de variation de f autour de x.

📝 Points essentiels

• Si f'(x)≤0 sur l’intervalle I, alors f est décroissante sur I.
• Si f'(x)≥0 sur l’intervalle I, alors f est croissante sur I.
• Pour f(x)=x^3+9/2 x^2-12x+5, on a f'(x)=3x^2+9x-12.
• Résoudre f'(x)=0 donne deux zéros x=-4 et x=1.
• Le tableau des variations se déduit du signe de f'(x) autour des points -4 et 1 : décroissance puis croissance ou l’inverse selon les signes indiqués.

📖 5. Extremum et changement de signe

🔑 Notions clés & Définitions

• Extremum : Un extremum est une valeur particulière de f atteinte en un point de l’intervalle.
• Changement de signe : Un changement de signe de f'(x) au voisinage d’un point indique un passage de décroissance à croissance ou inversement.
• Point critique : Un point c est un point critique si f'(c)=0.

📝 Points essentiels

• Si f est dérivable sur un intervalle ouvert I et si f'(c)=0 avec un changement de signe de f' en c, alors f admet un extremum en x=c.
• Pour f(x)=5x^2-3x+4, on a f'(x)=10x-3.
• On obtient f'(x)=0 pour x=3/10.
• Le signe de f'(x) change en x=3/10, donc f admet un extremum en x=3/10.
• Dans l’exemple, f(3/10)=71/20 et c’est un minimum.

⚠️ Pièges & confusions fréquents

1. Confondre f dérivable sur I avec f'(x) définie sur I : la dérivabilité exige l’existence du dérivé en chaque réel de I.
2. Appliquer la formule du quotient (u/v)' alors que v s’annule : la règle donnée nécessite v(x) non nul sur l’intervalle.
3. Oublier que la règle de changement de signe concerne f' : f'(c)=0 seul ne suffit pas pour garantir un extremum.
4. Mélanger le sens des variations quand f'(x)=0 : sur des intervalles, le théorème utilise f'(x)≤0 pour décroître et f'(x)≥0 pour croître.
5. Se tromper dans la dérivée de 1/x^n : le signe est négatif et l’exposant augmente (…x^{n+1} au dénominateur).
6. Calculer f'(x)=n x^{n-1} en oubliant que n doit être entier ≥1 dans la formule fournie pour x^n.

✅ Checklist Examen

1. Savoir définir f'(a) comme limite du taux d’accroissement (f(a+h)-f(a))/h lorsque h→0.
2. Reconnaître si une fonction est dérivable sur un intervalle I (dérivable en tout réel de I).
3. Calculer rapidement la dérivée d’une constante, d’une fonction affine ax, et de x^n (n entier ≥1).
4. Calculer la dérivée de 1/x^n (n entier ≥1) en utilisant la formule donnée et les conditions x≠0.
5. Utiliser la règle de dérivation de la somme : (u+v)'=u'+v'.
6. Utiliser la règle de dérivation du produit : (uv)'=u'v+uv'.
7. Utiliser la règle de dérivation du quotient avec v≠0 : (u/v)'=(u'v-uv')/v^2.
8. Dresser le tableau de variations à partir du signe de f'(x) avec les seuils où f'(x)=0.
9. Trouver les points où f'(x)=0 pour localiser les changements possibles de variation.
10. Déterminer un extremum en vérifiant que f'(c)=0 et que f' change de signe en c, puis conclure minimum ou maximum grâce au tableau.
11. Calculer la valeur de f(c) à partir de l’exemple de méthode (substitution du point critique).