Calcul des variations et extrema

📋 Plan du Cours

1. Exemple de calcul de la dérivée
2. Dérivabilité et fonction dérivée
3. Formules de dérivation des fonctions usuelles
4. Opérations sur les fonctions dérivées
5. Méthode de calcul des dérivées
6. Lien entre signe de la dérivée et variations
7. Extremum via annulation et changement de signe

📖 1. Exemple de calcul de la dérivée

🔑 Notions clés & Définitions

• Nombre dérivé : Le nombre dérivé est la limite du taux d’accroissement quand $h$ tend vers 0, si elle existe.
• Fonction dérivée : La fonction dérivée associe à chaque $x$ le nombre dérivé de la fonction en $x$.
• Taux d’accroissement : Le taux d’accroissement mesure la variation de $f$ sur un petit déplacement $h$, divisé par $h$.
• Limite en $h\to 0$ : La dérivation repose sur une limite qui transforme un quotient en une valeur instantanée.

📝 Points essentiels

• Pour $f(x)=x^2$, on calcule $\dfrac{f(a+h)-f(a)}{h}$ puis on simplifie avant de passer à la limite.
• On obtient $\dfrac{(a+h)^2-a^2}{h}=2a+h$ pour $h\neq 0$.
• En faisant tendre $h$ vers 0, on trouve $\lim_{h\to 0}(2a+h)=2a$.
• Pour tout $a$, le nombre dérivé de $x^2$ en $a$ vaut $2a$, donc $f'(x)=2x$.
• Le mot « dérivé » vient du latin « derivare » et a été introduit par Joseph Louis Lagrange pour l’idée de « provenir » d’une autre fonction.

💡 Astuce mémo

Taux d’accroissement → limite : $\dfrac{f(a+h)-f(a)}{h}$ devient la pente instantanée.

📖 2. Dérivabilité et fonction dérivée