Karteikarten: Calcul intégral — 53 Karten

Quelle est l'aire du rectangle unité 1 sur 1 ?

Elle est égale à 1 unité d'aire.

Qu'est-ce que l'intégrale d'une fonction continue positive sur [a ; b] ?

C'est l'aire sous la courbe entre x = a et x = b.

Que permet de faire la connaissance des longueurs unitaires pour une aire ?

Elle permet de convertir l'aire en unités comme le cm².

Comment se note l’intégrale de f sur [a ; b] ?

∫ₐᵇ f(x) dx

Comment lit-on ∫ₐᵇ f(x) dx ?

Intégrale de a à b de f(x) dx

Quelles sont les bornes d’intégration dans ∫ₐᵇ f(x) dx ?

Les nombres a et b

Que sont a et b dans l’intégrale ∫ₐᵇ f(x) dx ?

Les bornes d’intégration

Quelle est la variable d’intégration dans ∫ₐᵇ f(x) dx ?

x

Peut-on remplacer la variable d’intégration x dans ∫ₐᵇ f(x) dx ?

Oui, par une autre lettre qui n’intervient pas ailleurs

Donnez un exemple de remplacement de la variable d’intégration x.

∫ₐᵇ f(t) dt

Quelle est la première étape pour déterminer une intégrale par calcul d’aire ?

Tracer la courbe de la fonction.

Que fait-on après avoir tracé la courbe pour calculer une intégrale par aires ?

On repère les surfaces délimitées par la courbe et les axes.

Quelle est la dernière étape du calcul graphique d’une intégrale par aires ?

Calculer et additionner les aires géométriques correspondantes.

Quel est le résultat du calcul graphique de ∫₋₁⁵ (x/2 + 3) dx ?

24 unités d’aire.

Sur quel intervalle la droite y = 3 − x est-elle positive ?

Sur l’intervalle [2 ; 3].

Sur quel intervalle la droite y = 3 − x est-elle négative ?

Sur l’intervalle [3 ; 5].

Que faut-il faire pour calculer l’intégrale de y = 3 − x sur [2 ; 5] ?

Séparer l’intégrale en deux aires.

Quelle est la formule de l'amplitude l pour un partage en n intervalles ?

l = (b − a)/n.

Entre quelles aires est comprise l'aire sous la courbe sur [x ; x + l] ?

Entre les rectangles d’aires l f(x) et l f(x + l).

Que fait l'algorithme d'encadrement après calcul des aires des rectangles ?

Il affiche les deux sommes des aires inférieures et supérieures.

Que se passe-t-il quand on augmente le nombre de sous-intervalles pour f(x) = x² sur [1 ; 2] ?

L’encadrement se resserre autour de la valeur de l’intégrale.

Quel encadrement est donné pour l’intégrale de x² sur [1 ; 2] ?

2,31 < ∫₁² x² dx < 2,35.

Que vaut l'aire géométrique si f est continue et négative sur [a ; b] ?

Elle vaut −∫ₐᵇ f(x) dx.

Quelle est la valeur de ∫ₐᵃ f(x) dx pour toute fonction intégrable ?

Elle vaut 0.

Que donne l'inversion des bornes dans une intégrale ?

∫ᵦᵃ f(x) dx = −∫ₐᵇ f(x) dx.

Quelle est la relation de Chasles pour les intégrales ?

∫ₐᵇ f(x) dx + ∫ᵦᶜ f(x) dx = ∫ₐᶜ f(x) dx.

Qu'implique une intégrale nulle sur la fonction ?

Elle n'implique pas que la fonction soit nulle.

Pourquoi une intégrale nulle peut-elle se produire ?

Les contributions positives et négatives peuvent se compenser.

Pourquoi ∫₋₁¹ x³ dx = 0 pour la fonction cube ?

Parce que sa courbe est symétrique par rapport à l’origine.

Qu'est-ce que la fonction F définie par F(x) = ∫ₐˣ f(t) dt si f est continue ?

C'est la primitive de f qui s'annule en a.

Quelle est la dérivée de F(x) = ∫ₐˣ f(t) dt ?

La dérivée F′(x) est égale à f(x).

Qu'impose la continuité d'une fonction sur un intervalle ?

Elle admet des primitives sur cet intervalle.

Quelle méthode utilise-t-on pour étudier les variations de F(x) = ∫ₐˣ f(t) dt ?

On utilise F′(x) = f(x) puis le signe de f.

Comment varie F(x) = ∫₀ˣ t² dt sur [0 ; 10] ?

F est croissante sur cet intervalle.

Quelle est la valeur de F(10) pour F(x) = ∫₀ˣ t² dt ?

F(10) = 25 unités arbitraires.

Quelle formule relie une primitive F de f et l'intégrale de f sur [a ; b] ?

∫ₐᵇ f(x) dx = F(b) − F(a) = [F(x)]ₐᵇ.

Qu'exprime l'intégrale de f sur [a ; b] avec une primitive F ?

La différence F(b) − F(a).

Quelle est la première étape pour calculer une intégrale par primitive ?

Reconnaître une primitive de l’intégrande.

Que fait-on après avoir évalué la primitive en b pour calculer l'intégrale ?

On évalue la primitive en a.

Quelle opération finale donne la valeur de l'intégrale après évaluations en a et b ?

Soustraire F(a) de F(b).

Quelle est une primitive de 3/x² ?

−3/x.

Quelle est la valeur de ∫₁⁴ 3/x² dx ?

9/4.

Quelle est la formule pour l'intégrale de k fois f(x) ?

∫ₐᵇ kf(x) dx = k∫ₐᵇ f(x) dx.

Comment s'exprime la linéarité de l'intégrale par rapport à la somme ?

∫ₐᵇ (f(x) + g(x)) dx = ∫ₐᵇ f(x) dx + ∫ₐᵇ g(x) dx.

Quelle identité relie cos²(x) et sin²(x) dans l'exemple avec A et B ?

cos²(x) + sin²(x) = 1.

Quelle autre identité est utilisée avec cos²(x) et sin²(x) dans l'exemple ?

cos²(x) − sin²(x) = cos(2x).

Quelle est la valeur de A + B dans l'exemple avec A et B ?

A + B = 2π.

Quelles sont les valeurs de A et B dans l'exemple final ?

A = B = π.

Qu'impose f(x) ≥ 0 sur [a ; b] à l'intégrale ∫ₐᵇ f(x) dx ?

L'intégrale est supérieure ou égale à zéro.

Quelle est la première étape pour encadrer une intégrale ?

Encadrer l'intégrande par deux fonctions.

Quelle méthode utilise-t-on pour intégrer une inégalité d'après la positivité et la comparaison ?

On intègre l'inégalité entre les fonctions encadrantes.

Pourquoi 0 ≤ e^(−x²) ≤ e^(−x) sur [0 ; 1] ?

Parce que x² ≤ x et l'exponentielle est croissante et positive.

Quel encadrement donne 0 ≤ e^(−x²) ≤ e^(−x) sur [0 ; 1] pour l'intégrale ?

0 ≤ ∫₀¹ e^(−x²) dx ≤ e − 1.