Lernzettel: Calcul littéral

📋 Plan du Cours

1. Distributivités simple et double
2. Identités remarquables
3. Factorisation par facteur commun
4. Égalité des expressions littérales

📖 1. Distributivités simple et double

📝 Points essentiels

★ À maîtriser

🧮 Formule — La simple distributivité vérifie k(c+d)=kc+kd et k(c−d)=kc−kd.

🧮 Formule — La double distributivité vérifie (a+b)(c+d)=ac+ad+bc+bd.

🔄 Processus — Pour développer et réduire une expression, on distribue chaque facteur puis on regroupe les termes de même degré.

Compléments

• Le développement de −3x(4−7x) donne −12x+21x².

• Le développement de (4+3x)(2+5x) donne 15x²+26x+8.

💡 Astuce mémo

Distribuer puis réduire

📖 2. Identités remarquables

📝 Points essentiels

★ À maîtriser

🧮 Formule — L'identité (a+b)²=a²+2ab+b² permet de développer le carré d'une somme.

🧮 Formule — L'identité (a−b)²=a²−2ab+b² permet de développer le carré d'une différence.

🧮 Formule — L'identité (a+b)(a−b)=a²−b² permet de développer un produit de conjugués.

Compléments

• Le développement de (3x+5)² donne 9x²+30x+25.

• Le développement de (7x−2)² donne 49x²−28x+4.

• Le développement de (6x−9)(6x+9) donne 36x²−81.

💡 Astuce mémo

Carré, carré, différence

📖 3. Factorisation par facteur commun

🔑 Notions clés & Définitions

• Factorisation : Transforme une somme ou une différence en produit.

📝 Points essentiels

★ À maîtriser

🧮 Formule — La mise en facteur commune vérifie ka+kb=k(a+b).

🧮 Formule — La factorisation par regroupement vérifie (a+b)(c+d)+(e+f)(a+b)=(a+b)((c+d)+(e+f)).

Compléments

🔄 Processus — Pour factoriser, on repère le facteur commun, on l'écrit devant une parenthèse, puis on place dans la parenthèse les quotients des termes par ce facteur.

• L'expression (3x+5)−(4x+2)(3x+5) se factorise en (3x+5)(−4x−1).

• L'expression 4x²+12x+9 se factorise en (2x+3)² grâce à l'identité du carré d'une somme.

• L'expression 81x²−90x+25 se factorise en (9x−5)² grâce à l'identité du carré d'une différence.

• L'expression 49−36x² se factorise en (7−6x)(7+6x) grâce à la différence de deux carrés.

💡 Astuce mémo

Repérer le facteur commun

📖 4. Égalité des expressions littérales

🔑 Notions clés & Définitions

• Expressions littérales égales : Deux expressions littérales sont égales lorsqu'elles ont la même valeur pour toutes les valeurs de x.

📝 Points essentiels

★ À maîtriser

🔄 Processus — Pour démontrer que deux expressions littérales sont égales, on développe et réduit séparément les deux expressions, puis on compare les termes obtenus.

📌 Pour démontrer que deux expressions littérales ne sont pas égales, il suffit de trouver une valeur de x pour laquelle leurs résultats sont différents.

Compléments

• Pour A=(2x+3)(5−x)+10 et B=47+x(7−2x)−22, le développement donne dans les deux cas −2x²+7x+25, donc A=B pour toute valeur de x.

• Pour K=(x−1)(2x+5) et L=(−x+1)(x−1), la valeur x=0 donne K=−5 et L=−1, donc K et L ne sont pas égales.

💡 Astuce mémo

Égalité pour tout x, contre-exemple sinon

📊 Tableaux de synthèse

Les trois identités remarquables

Identité	Forme développée	Usage
Carré d'une somme	(a+b)²=a²+2ab+b²	Développer ou factoriser un carré de somme
Carré d'une différence	(a−b)²=a²−2ab+b²	Développer ou factoriser un carré de différence
Différence de deux carrés	(a+b)(a−b)=a²−b²	Développer ou factoriser un produit de conjugués

⚠️ Pièges & confusions fréquents

1. La soustraction distribue aussi le facteur sur le terme négatif.
2. Le terme central est 2ab, pas ab.
3. Développer transforme un produit en somme, tandis que factoriser fait l'inverse.
4. Une égalité vérifiée pour une seule valeur de x ne suffit pas.
5. Le dernier terme b² reste positif.
6. Le facteur commun doit être présent dans chacun des termes.
7. Un seul contre-exemple suffit à réfuter l'égalité.