Lernzettel: Caractéristiques des cercles et racines n-ièmes

📋 Plan du Cours

1. Caractérisation d’un cercle
2. Racines n-ièmes de l’unité

📖 1. Caractérisation d’un cercle

🔑 Notions clés & Définitions

• Cercle E(Ω, R) : En géométrie euclidienne, le cercle E(Ω, R) est l’ensemble des points M tels que la distance ΩM vaut R.
• Équation du cercle : L’équation (x - x0)² + (y - y0)² = R² décrit le cercle dans le repère considéré en reliant les coordonnées de M à celles du centre.
• Apt complexe : Un ensemble de points du plan peut s’écrire avec l’apt complexe |z - ω| = R, ce qui revient à caractériser un cercle de centre ω et de rayon R.

📝 Points essentiels

• Un cercle de centre Ω et de rayon R est l’ensemble des points M vérifiant ΩM = R pour R ∈ R⁺*.
• Dans un repère avec Ω de coordonnées (x0, y0), le cercle est défini par (x - x0)² + (y - y0)² = R².
• Dans l’écriture avec affixes, l’ensemble du cercle vérifie aussi |z - ω| = R.
• Un cercle est entièrement déterminé par son centre et son rayon (via l’apt dans un repère orthonormé ou l’apt complexe).
• L’exemple |z - i| = 3 correspond à un cercle de centre ayant pour affixe i et de rayon 3, ici indiqué comme cercle de centre (1, -i).

💡 Astuce mémo

Distance = rayon : ΩM = R ⇔ (x-x0)²+(y-y0)²=R² ⇔ |z-ω|=R.

📖 2. Racines n-ièmes de l’unité

🔑 Notions clés & Définitions

• Racines n-ièmes de l’unité : Les racines n-ièmes de l’unité sont les solutions complexes de la forme ω vérifiant ωⁿ = 1, notées ici ωn.
• Forme exponentielle des racines : Chaque racine n-ième de l’unité s’écrit sous la forme ωn = e^(2iπ/n), avec n pris dans les entiers naturels ou selon l’énoncé.
• Somme des racines n-ièmes distinctes : La somme de toutes les racines n-ièmes distinctes de l’unité (pour n ≥ 2) s’annule.

📝 Points essentiels

• Les racines n-ièmes de l’unité sont données par ωn = e^(2iπ/n).
• Pour un entier h, on a e^(2iπh/n) = e^(2iπ(h mod n)/n) (formule de Moivre).
• Toutes les racines s’obtiennent en prenant n indices successifs, avec ω0 = 1, puis ω1, ..., ωn.
• La somme Σ_(h=0)^(n-1) e^(2iπh/n) vaut 0 pour tout n ≥ 2.
• Pour tout entier p, la somme Σ_(h=p)^(p+n-1) e^(2iπh/n) vaut 0.

💡 Astuce mémo

Géométrie en cercle trigonométrique : les n racines tournent en pas égaux, elles se compensent donc en somme.

⚠️ Pièges & confusions fréquents

1. Confondre Ω, ω et leurs rôles : Ω est le centre en géométrie (distance ΩM), ω est le centre en écriture complexe (|z-ω|).
2. Écrire le cercle avec une inégalité : l’énoncé caractérise des points M pour lesquels la distance vaut exactement R, pas ≤ R ou ≥ R.
3. Oublier le lien coordonné/complexe : (x-x0)²+(y-y0)²=R² et |z-ω|=R décrivent le même cercle, selon le repère choisi.
4. Prendre n=1 : la propriété de somme à 0 est donnée pour tout n ≥ 2.
5. Se tromper sur l’indice dans la formule de Moivre : e^(2iπh/n) dépend de h mod n dans l’exponentielle.
6. Penser que toutes les valeurs ωn^h donnent n racines distinctes même si h n’est pas pris comme dans la suite ; l’unicité est liée aux indices successifs modulo n.

✅ Checklist Examen

1. Savoir définir le cercle E(Ω, R) comme l’ensemble des points M tels que ΩM = R pour R ∈ R⁺*.
2. Savoir écrire l’équation cartésienne d’un cercle de centre (x0, y0) et de rayon R : (x - x0)² + (y - y0)² = R².
3. Savoir exprimer un cercle par son apt complexe : M appartient au cercle si et seulement si |z - ω| = R.
4. Savoir rappeler que le centre et le rayon déterminent entièrement un cercle (par apt dans un repère orthonormé ou apt complexe).
5. Savoir relier l’affixe ω du centre et l’expression |z - ω| = R à l’écriture du cercle.
6. Savoir définir les racines n-ièmes de l’unité comme ωn = e^(2iπ/n) et les caractériser comme solutions n-ièmes de l’unité.
7. Savoir utiliser la formule de Moivre pour réduire un exposant : e^(2iπh/n)=e^(2iπ(h mod n)/n).
8. Savoir écrire la liste des n racines via les indices successifs (avec ω0 = 1) comme dans l’énoncé.
9. Savoir prouver/reciter la propriété : la somme Σ_(h=0)^(n-1) e^(2iπh/n)=0 pour tout n ≥ 2.
10. Savoir étendre la somme à un intervalle translaté Σ_(h=p)^(p+n-1) e^(2iπh/n)=0 pour tout p ∈ ℤ.