Lernzettel: Cours de Mathématiques : Fonctions, Suites et Probabilités

📋 Plan du Cours

1. Trinôme du second degré
2. Suites numériques et géométriques
3. Tangentes et dérivée
4. Probabilités conditionnelles
5. Variables aléatoires
6. Variations et optimisation
7. Fonction exponentielle
8. Droites et cercles

📖 1. Trinôme du second degré

🔑 Notions clés & Définitions

• Trinôme du second degré : Un trinôme du second degré est une fonction polynôme de la forme $A(x)=ax^2+bx+c$ avec $a\neq 0$.
• Forme canonique : La forme canonique d’un trinôme s’écrit $A(x)=a(x-\alpha)^2+\beta$ avec $\alpha=-\dfrac{b}{2a}$ et $\beta=f(\alpha)$.
• Discriminant : Le discriminant d’un trinôme $ax^2+bx+c$ est le nombre $\Delta=b^2-4ac$.

📝 Points essentiels

• $\alpha=-\dfrac{b}{2a}$ et $\beta=f(\alpha)$ donnent le sommet $S(\alpha,\beta)$ de la parabole.
• Si $\Delta<0$, le trinôme n’a aucune racine réelle et $A(x)$ garde toujours le signe de $a$.
• Si $\Delta=0$, il a une unique racine réelle $\alpha$ et $A(x)=a(x-\alpha)^2$, donc $A(x)$ garde toujours le signe de $a$.
• Si $\Delta>0$, il a deux racines $x_1=\dfrac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}$ et $x_2=\dfrac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}$, avec $A(x)=a(x-x_1)(x-x_2)$.
• Si $\Delta>0$, $A(x)$ est de même signe que $a$ en dehors des racines et de signe opposé entre $x_1$ et $x_2$.
• Quand $a>0$, $\beta$ est la valeur minimale du trinôme, et quand $a<0$, c’est la valeur maximale.

💡 Astuce mémo

Delta-bilan : $\Delta=b^2-4ac$ ; <0 aucun réel, =0 double racine, >0 deux racines + factorisation.

📖 2. Suites numériques et géométriques

🔑 Notions clés & Définitions

• Suite numérique : Une suite numérique est une fonction qui associe à chaque entier naturel n un terme u(n) noté souvent u_n.
• Suite arithmétique : Une suite arithmétique vérifie qu’on obtient le terme suivant en ajoutant toujours la même raison r, donc u_{n+1}=u_n+r.
• Suite géométrique : Une suite géométrique vérifie qu’on obtient le terme suivant en multipliant toujours par la même raison q, donc u_{n+1}=q\times u_n.

📝 Points essentiels

• Si une suite (u_n) est arithmétique de raison r, alors u_n=u_p+(n-p)r pour tous indices n et p, et en particulier u_n=u_0+nr.
• Si une suite (u_n) est géométrique de raison q, alors u_n=u_p\times q^{n-p} pour tous indices n et p, et en particulier u_n=u_0\times q^n.
• Si q\neq 1, alors la somme des termes géométriques S_n=1+q+q^2+\cdots+q^n vaut S_n=\dfrac{1-q^{n+1}}{1-q}.
• Une suite est croissante à partir de p si, pour tout n>p, u_{n+1}>u_n, et décroissante si, pour tout n>p, u_{n+1}\le u_n.

💡 Astuce mémo

Arithmétique = +r (addition), Géométrique = ×q (multiplication).

📖 3. Tangentes et dérivée

🔑 Notions clés & Définitions

• Taux d’accroissement : Le taux d’accroissement mesure la variation moyenne de f entre a et a+h en divisant f(a+h)−f(a) par h.
• Nombre dérivé : Le nombre dérivé en a est la limite du taux d’accroissement quand h tend vers 0 si cette limite existe.
• Tangente : La tangente en a est la droite passant par (a,f(a)) dont le coefficient directeur vaut f'(a) lorsque f est dérivable en a.
• Fonction dérivée : La fonction dérivée associe à chaque x le nombre dérivé f'(x) lorsque f est dérivable sur son ensemble de définition.

📝 Points essentiels

• Si f est dérivable en a, alors f'(a)=\lim_{h\to 0}\dfrac{f(a+h)-f(a)}{h}.
• L’équation réduite de la tangente en a s’écrit y=f'(a)(x-a)+f(a).
• Si f est dérivable sur I, alors f'(x) est défini pour tout x∈I et donne le coefficient directeur de la tangente en x.
• Pour k réel : (k·u)'=k·u' et (u+v)'=u'+v'.
• Pour le produit et le carré : (u·v)'=u'v+uv' et (u^2)'=2u·u'.
• Pour la dérivée de 1/x, √x et e^x : (1/x)'=−1/x^2, (√x)'=1/(2√x) sur ]0;+∞[ et (e^x)'=e^x sur ℝ.

💡 Astuce mémo

Tangente : coefficient directeur = dérivée, équation y = dérivée(x−a) + valeur en a.

📖 4. Probabilités conditionnelles

🔑 Notions clés & Définitions

• Probabilité sachant A : La probabilité conditionnelle PA(B) mesure la chance de B sachant que A est réalisé, avec P(A) non nul.
• Indépendance de deux événements : Deux événements A et B sont indépendants si la probabilité conjointe vérifie P(A∩B)=P(A)×P(B).
• Arbre pondéré : Un arbre pondéré organise les probabilités conditionnelles le long de plusieurs tirages en reliant chaque branche à une probabilité.
• Partition de l’univers : Une partition de E est un découpage de l’univers en événements disjoints qui recouvrent tout E.

📝 Points essentiels

• Si P(A)≠0 alors PA(B)=P(A∩B)/P(A) et donc P(A∩B)=P(A)×PA(B).
• Si A et B sont indépendants et P(A)≠0 alors PA(B)=P(B).
• Sur l’arbre, pour obtenir P(A∩D) on multiplie P(A) par la probabilité conditionnelle associée à D après A.
• Si A,B,C forment une partition de E alors P(D)=P(A)PA(D)+P(B)PB(D)+P(C)PC(D).
• Dans l’exercice urne (2 blanches, 3 noires, sans remise), P(N1)(B2)=1/2.
• Dans cet exercice, P(B1∩B2)=P(B1)×PB1(B2)=0,4×0,25=0,1 et donc P(B2)=P(N1∩B2)+P(B1∩B2)=0,3+0,1=0,4.

💡 Astuce mémo

Conditionnel = Conjoint / Condition : PA(B)=P(A∩B)/P(A).

📖 5. Variables aléatoires

🔑 Notions clés & Définitions

• Variable aléatoire réelle : Une variable aléatoire réelle associe à chaque issue d’une expérience aléatoire une valeur réelle.
• Loi de probabilité discrète : La loi de probabilité discrète liste les valeurs possibles de la variable et leur probabilité.
• Espérance mathématique : L’espérance d’une variable aléatoire discrète est la moyenne pondérée de ses valeurs par leurs probabilités.
• Variance et écart-type : La variance mesure la dispersion autour de l’espérance et l’écart-type est sa racine.

📝 Points essentiels

• Si les issues sont {e1,e2,e3} et que X prend {x1,x2,x3}, alors la loi est donnée par P(X=x1), P(X=x2) et P(X=x3).
• Pour une variable discrète, l’espérance vaut E(X)=p1x1+p2x2+p3x3.
• Pour une variable discrète, la variance vaut V(X)=p1(x1−E(X))^2+p2(x2−E(X))^2+p3(x3−E(X))^2.
• L’écart-type vaut σ(X)=√V(X).
• Pour le nombre de jours d’un mois choisi au hasard en 2021 (28,30,31) : E(X)≈30,42, V(X)≈0,743 et σ(X)≈0,862.

💡 Astuce mémo

E = somme des valeurs × probabilités ; V = somme des carrés des écarts à E × probabilités ; σ = √V.

📖 6. Variations et optimisation

🔑 Notions clés & Définitions

• Tableau de variations : Un tableau de variations synthétise le signe de la dérivée et les sens de variation d’une fonction sur un intervalle.
• Signe de la dérivée : Le signe de la dérivée $f'$ indique si la fonction $f$ monte ou descend sur chaque intervalle étudié.
• Extrema d’une fonction : Un maximum ou un minimum correspond aux valeurs atteintes par une fonction là où ses variations changent.

📝 Points essentiels

• Si $f'$ est strictement positive sur $I$ (hors zéros isolés), alors $f$ est strictement croissante sur $I$.
• Si $f'$ est strictement négative sur $I$ (hors zéros isolés), alors $f$ est strictement décroissante sur $I$.
• Si $f'(x)=0$ pour tout $x\in I$, alors $f$ est constante sur $I$.
• Pour optimiser $B$, on étudie le signe de $B'(x)$ et on repère le point où il change de signe pour conclure au maximum.

💡 Astuce mémo

Signe de $f'$ = direction: plus ($+$) monte, moins ($-$) descend, zéro partout
9 constant.

📖 7. Fonction exponentielle

🔑 Notions clés & Définitions

• Fonction exponentielle : La fonction exponentielle est l’unique fonction dérivable sur ℝ telle que sa dérivée soit elle-même et qu’elle vaut 1 en 0.
• Notations $e$ et $e^x$ : La constante $e$ est la valeur de l’exponentielle en 1, et $e^x$ désigne l’exponentielle au réel $x$.
• Variation de $e^x$ : La fonction exponentielle $x\mapsto e^x$ est strictement croissante sur ℝ car sa dérivée vaut toujours $e^x>0$.

📝 Points essentiels

• Pour tout réel $x$, on a $(e^x)'=e^x$ et donc $e^x>0$ pour tout $x$, ce qui fixe le sens de variation.
• Pour tous réels $x$ et $y$, $e^{x+y}=e^x\times e^y$ et $e^{x-y}=\dfrac{e^x}{e^y}$ et $e^{-x}=\dfrac1{e^x}$.
• Pour tout $n\in\mathbb N$, on a $(e^x)^n=e^{nx}$.
• On a $e^a=e^b\iff a=b$ et $e^a<e^b\iff a<b$ pour tous réels $a$ et $b$.
• Si $a\,e^{ax+b}$ est une fonction de la forme $x\mapsto e^{ax+b}$, alors sa dérivée vaut $(e^{ax+b})'=a\,e^{ax+b}$, et elle est croissante si $a>0$ et décroissante si $a<0$.
• Si $u$ est dérivable sur un intervalle, alors $(e^{u(x)})'=u'(x)\,e^{u(x)}$.

📖 8. Droites et cercles

🔑 Notions clés & Définitions

• Vecteur normal à une droite : Un vecteur normal à une droite est un vecteur non nul orthogonal à un vecteur directeur de cette droite.
• Équation cartésienne d’une droite : Une droite du plan admet pour vecteur normal un vecteur n non nul si et seulement si elle possède une équation de la forme ax + by + c = 0.
• Équation de cercle : Pour un cercle de centre Ω(a ; b) et de rayon R, une équation cartésienne s’écrit (x − a)² + (y − b)² = R².
• Théorème d’Al-Kashi : Le théorème d’Al-Kashi relie les longueurs de deux côtés d’un triangle et le cosinus de l’angle compris à l’aide de la relation a² = b² + c² − 2bc cos A.

📝 Points essentiels

• Si une droite a pour vecteur normal (a b) non nul, alors son équation cartésienne s’écrit ax + by + c = 0 avec c réel.
• Deux droites sont perpendiculaires si les vecteurs normaux de leurs équations vérifient n·n' = 0.
• Pour un cercle de centre (a ; b) et de rayon R, l’équation cartésienne est (x − a)² + (y − b)² = R².
• Le cercle d’équation x² + y² − 2x + 4y + 1 = 0 a pour centre (1 ; −2) et pour rayon 2 car on obtient (x − 1)² + (y + 2)² = 4.
• Pour un triangle avec côtés b et c autour de l’angle A, on a a² = b² + c² − 2bc cos A avec cos A calculé sur l’angle A.

💡 Astuce mémo

Cercle : « centre → (x−a)² et (y−b)², rayon → R² ».

📅 Repères chronologiques

Date	Événement
19-7-2019	Publication au Bulletin Officiel spécial n° 8 du 25 juillet 2019 (référence des arrêtés) mentionnée dans le document
25 juillet 2019	Date de publication au Bulletin Officiel spécial n° 8 mentionnée dans le document
2021	Exemple de calcul de l’espérance/variance pour un mois choisi au hasard en 2021

📊 Tableaux de synthèse

Cas du discriminant (second degré)

Condition sur Δ	Racines	Factorisation / forme	Signe de A
Δ<0	Aucune racine réelle	Ne se factorise pas dans R	Toujours du signe de a
Δ=0	Une racine double α	A(x)=a(x−α)²	Toujours du signe de a
Δ>0	Deux racines x1 et x2	A(x)=a(x−x1)(x−x2)	Signe de a en dehors des racines

Suites : arithmétique vs géométrique

Nature	Relation	Terme général	Somme (si q≠1)
Arithmétique	u_{n+1}=u_n+r	u_n=u_0+nr	—
Géométrique	u_{n+1}=q·u_n	u_n=u_0·q^n	S_n=(1−q^{n+1})/(1−q)

⚠️ Pièges & confusions fréquents

1. Confondre discriminant Δ=b²−4ac et β : α=−b/(2a) et β=f(α) (β n’est pas −Δ).
2. Inverser les formules des racines quand a<0 : x1=(−b−√Δ)/(2a) et x2=(−b+√Δ)/(2a) restent celles du cours.
3. Penser que Δ>0 implique “toujours des valeurs positives” : le signe dépend de a et de la position par rapport à x1 et x2.
4. Pour les suites géométriques, confondre q et r (addition vs multiplication) ou utiliser q=1 dans la formule de somme S_n.
5. Utiliser la formule de somme géométrique quand q=1 : le cours donne S_n=(1−q^{n+1})/(1−q) seulement si q≠1.
6. Se tromper sur le signe de la tangente : l’équation réduite est y=f'(a)(x−a)+f(a) (pas f(a)(x−a)).
7. En probabilités conditionnelles, oublier P(A)≠0 : PA(B)=P(A∩B)/P(A) et donc P(A∩B)=P(A)·PA(B).

✅ Checklist Examen

1. Identifier A(x)=ax²+bx+c et calculer α=−b/(2a), puis β=f(α) pour la forme canonique a(x−α)²+β.
2. Calculer le discriminant Δ=b²−4ac et traiter Δ<0, Δ=0, Δ>0 pour conclure sur le nombre de racines et le signe de A.
3. Donner les racines x1=(−b−√Δ)/(2a) et x2=(−b+√Δ)/(2a) et écrire la factorisation A(x)=a(x−x1)(x−x2) si Δ>0.
4. Pour une suite arithmétique de raison r, écrire u_n=u_0+nr et utiliser u_n=u_p+(n−p)r si on change d’indice.
5. Pour une suite géométrique de raison q, écrire u_n=u_0·q^n (ou u_n=u_p·q^{n−p}) et reconnaître q≠1 pour la somme S_n=(1−q^{n+1})/(1−q).
6. Savoir dériver les fonctions du cours : (1/x)'=−1/x², (√x)'=1/(2√x), (e^x)'=e^x, et appliquer (k·u)'=k·u' et (u+v)'=u'+v'.
7. Écrire l’équation réduite de la tangente en a : y=f'(a)(x−a)+f(a) et calculer f'(a) via la limite du taux d’accroissement si demandé.
8. Déduire les variations à partir du signe de f' : f' >0 implique croissante, f' <0 implique décroissante, et f'(x)=0 sur I implique constante.
9. Résoudre un problème de probabilités conditionnelles : construire/relire PA(B)=P(A∩B)/P(A), relier conditionnel et conjoint, et utiliser indépendance quand P(A∩B)=P(A)P(B).
10. En variables aléatoires discrètes, écrire E(X)=Σ p_i x_i et V(X)=Σ p_i(x_i−E(X))² puis σ(X)=√V(X).
11. Pour un arbre pondéré/partition, multiplier les probabilités le long du chemin pour obtenir P(A∩D) et appliquer P(D)=Σ P(part)·P(part)(D) si {A,B,C} est une partition.