Lernzettel: Critique des suites et fonctions

📋 Plan du Cours

1. Suites arithmétiques : définition, raison, expression générale et somme des termes
2. Suites géométriques : définition, raison, premier terme et expression générale
3. Calculs de probabilités avec tirages simultanés et successifs sans remise
4. Étude de fonctions : domaine de définition, limites et interprétations géométriques
5. Dérivation, équations de tangentes et points d’inflexion des fonctions
6. Calcul de primitives et d’aires sous la courbe entre deux bornes
7. Résolution d’équations impliquant logarithmes et exponentielles
8. Analyse des asymptotes, intersections avec les axes et tracé de courbes
9. Utilisation des suites dans des contextes combinatoires et probabilistes
10. Calculs de sommes partielles et limites de suites arithmétiques et géométriques
11. Application des dérivées secondes pour déterminer les points d’inflexion et le comportement des fonctions
12. Équations de droites d’ajustement et calculs statistiques simples

📖 1. Suites arithmétiques : définition, raison, expression générale et somme des termes

🔑 Notions clés & Définitions

• Est une suite géométrique de raison q : Lne=−Un Ainsi Un
• On prend : 3 j ou 3 b La probabilité de A est : 120 11 C CC )A(p 3 10 3 5 3 3 = + = B : "Parmi les trois jetons tirés, deux et deux seulement sont de même couleur" On note j l'événement contraire de j.
• Wondershare PDFelement Série A – session 2010 : 3 – note de natation x correspondant à la note de danse y = 10,5 Pour y = 10,5 , on a 1,0625 x +2,0375 = 10,5 D'où 96,7x 1,0625 2,0375-10,5
• Suite arithmétique : 8 = 520 donc 63801)11275(S 2 52016 =+−

📝 Points essentiels

• La variation d'une suite arithmétique dépend du signe de sa raison r : croissante si r > 0, décroissante si r < 0, constante si r = 0.
• Ainsi, la suite (Vn) est une suite arithmétique de raison r = - ln 2.

💡 À retenir

Comprendre la structure linéaire des suites arithmétiques permet de calculer facilement leurs termes et sommes, base essentielle pour résoudre des problèmes numériques et algébriques.

📖 2. Suites géométriques : définition, raison, premier terme et expression générale

🔑 Notions clés & Définitions

• ICE 1 105 ppints) : On clonne v{n
• PDFelement Série A – session 2009 : 3 – Le nombre y de téléphones D'où 22 2 12 cm2cm4cm4]F(1)-F(e)[A =×=×
• Conclusion : Alors 2 e e V V e )n1(2 n2 n 1n −

📝 Points essentiels

• D'où : (vn) est une suite géométrique de raison q = 4 1 et de premier terme v1 = 3.
• Une suite (V_n) est géométrique si et seulement si il existe une raison q telle que V_{n+1} = q V_n pour tout n.

💡 À retenir

Maîtriser les suites géométriques permet de modéliser des phénomènes multiplicatifs et de déterminer rapidement tout terme à partir du premier et de la raison.

📖 3. Calculs de probabilités avec tirages simultanés et successifs sans remise

🔑 Notions clés & Définitions

• Résultat : La réalisation concrète observée à l'issue d'une expérience aléatoire, correspondant à un cas particulier parmi tous les cas possibles.
• Tirage successif sans remise : Une suite d'extractions d'éléments où chaque élément tiré n'est pas remis dans l'ensemble, ce qui réduit le nombre d'éléments disponibles pour les tirages suivants.
• Par f (x) : D : « Avoir le mot ENS » : Puisque l’on a deux E, un N et deux S, le nombre de cas favorables est 2⋅1⋅2=4 Ainsi p(D)= 4 336

📝 Points essentiels

• Le nombre de cas possibles pour un tirage simultané sans remise correspond au nombre de combinaisons sans répétition.
• La probabilité d'un événement est calculée comme le rapport du nombre de cas favorables au nombre total de cas possibles.
• Dans un tirage successif sans remise, le nombre de cas possibles diminue à chaque tirage car les éléments ne sont pas remis dans l'urne.
• N’obtenir aucune noire signifie obtenir 3 boules blanches : le nombre de cas favorables à cet événement est C3 6= 6!

💡 À retenir

Le nombre de cas possibles pour un tirage simultané sans remise correspond au nombre de combinaisons sans répétition.

📖 4. Étude de fonctions : domaine de définition, limites et interprétations géométriques

🔑 Notions clés & Définitions

• Interprétation : Analyse graphique ou géométrique d'une fonction, notamment à travers ses limites, asymptotes et comportement aux bornes de son domaine.
• 0x alors +∞ : On a −∞= + → )xln(lim 0x et −∞
• Domaine de définition : Ensemble des valeurs réelles de x pour lesquelles la fonction est définie et prend une valeur réelle.
• Aire du domaine : [ 2 lnx x − 2 x ]−1=(lnx)2−2lnx+ 2+2 lnx−2−1 F'(x )=(lnx)2−1

📝 Points essentiels

• La limite d'une fonction en +∞ ou -∞ permet de déterminer son comportement asymptotique.
• Une asymptote verticale correspond à une valeur de x où la fonction tend vers +∞ ou -∞.
• Une asymptote horizontale correspond à une valeur y = L vers laquelle la fonction tend quand x tend vers +∞ ou -∞.
• La fonction ln est définie pour x > 0.

💡 À retenir

Analyser le domaine et les limites d'une fonction est la clé pour comprendre son comportement global et ses caractéristiques graphiques.

📖 5. Dérivation, équations de tangentes et points d’inflexion des fonctions

🔑 Notions clés & Définitions

• Est y : F’’(x)= 0 si et seulement si x
• Signe de f’’(x) : D’où 3 x 2x (x)''f +−
• Point d'inflexion : Un point sur la courbe d'une fonction où la dérivée seconde s'annule et change de signe, indiquant un changement de concavité de la courbe.

📝 Points essentiels

• La dérivée f'(x_0) en un point x_0 donne la pente de la tangente à la courbe en ce point.
• L'équation de la tangente en x_0 est y = f'(x_0)(x - x_0) + f(x_0).
• Un point d'inflexion est un point où la courbe change de concavité, caractérisé par un changement de signe de la dérivée seconde f''(x).
• Tableau de signe f’’ s’annule est change de signe en e, donc le point B est un poins d’inflexion.
• L'équation de la droite (G1G2) est : y = 1,0625 x +2,0375.

💡 À retenir

La dérivée première permet de déterminer la pente locale de la courbe et l'équation de la tangente, tandis que la dérivée seconde identifie les points d'inflexion où la concavité de la courbe change.

📖 6. Calcul de primitives et d’aires sous la courbe entre deux bornes

🔑 Notions clés & Définitions

• Unité graphique : L'unité de mesure sur un graphique, utilisée pour convertir une longueur en une valeur numérique ou une aire en une unité de surface.

📝 Points essentiels

• Une primitive F de f sur un intervalle est une fonction telle que F' = f.
• L'aire sous la courbe de f entre a et b est donnée par l'intégrale de f(x) de a à b, soit F(b) - F(a), où F est une primitive de f.
• Le calcul d'aire utilise l'unité graphique pour obtenir une valeur en cm^2 ou autre unité.

💡 À retenir

Le calcul des primitives et des aires permet de quantifier des grandeurs accumulées, fondamental en analyse et applications pratiques.

📖 7. Résolution d’équations impliquant logarithmes et exponentielles

🔑 Notions clés & Définitions

• Ainsi x : Terme utilisé pour introduire une conclusion ou un résultat dans le cadre de la résolution d'une équation.

📝 Points essentiels

• L'équation ln x = A se résout par x = e^A, avec x > 0.
• L'équation e^x = B se résout par x = ln B, avec B > 0.

💡 À retenir

L'équation ln x = A se résout par x = e^A, avec x > 0.

📖 8. Analyse des asymptotes, intersections avec les axes et tracé de courbes

🔑 Notions clés & Définitions

• Lim x→−∞ ex : Valeur que tend la fonction exponentielle lorsque x approche moins l'infini, qui est 0.
• Asymptote verticale : On a ( ) +∞= + → x 1 0x lim et −∞= + → xlnlim 0x Alors −∞=    
• Asymptote horizontale : On a 0lim)x(flim x xln xx

📝 Points essentiels

• Les intersections avec les axes sont les points où f(x) = 0 pour l'axe des abscisses et où x = 0 pour l'axe des ordonnées.
• Le tracé de la courbe s'appuie sur l'analyse des limites, des variations et des points remarquables.

💡 À retenir

L'analyse combinée des asymptotes, intersections et variations permet un tracé précis et complet des courbes de fonctions.

📖 9. Utilisation des suites dans des contextes combinatoires et probabilistes

🔑 Notions clés & Définitions

📝 Points essentiels

• Les suites arithmétiques modélisent des progressions dans des contextes combinatoires simples, notamment par leur raison constante permettant de déterminer la somme ou le terme général.
• Les suites géométriques modélisent des phénomènes multiplicatifs, comme dans le cas des tirages successifs avec remise, en utilisant leur raison multiplicative pour calculer des probabilités ou des valeurs associées.
• Le calcul des probabilités peut s'appuyer sur l'expression générale des suites, notamment pour déterminer la probabilité d'événements composés ou successifs, en utilisant la formule du produit ou la somme des termes.

💡 À retenir

Les suites arithmétiques modélisent des progressions dans des contextes combinatoires simples, notamment par leur raison constante permettant de déterminer la somme ou le terme général.

📖 10. Calculs de sommes partielles et limites de suites arithmétiques et géométriques

🔑 Notions clés & Définitions

📝 Points essentiels

• La somme partielle d'une suite arithmétique est donnée par S_n = (n+1)(U_0 + U_n)/2, permettant de calculer la somme des termes jusqu'à n.
• La limite d'une suite arithmétique est infinie si la raison est non nulle, indiquant une croissance ou décroissance sans limite.
• La limite d'une suite géométrique est 0 si |q| < 1, sinon elle diverge, ce qui permet d'analyser son comportement asymptotique.

💡 À retenir

Comprendre les sommes partielles et limites des suites arithmétiques et géométriques permet d'analyser leur comportement global et d'appliquer ces résultats à des problèmes concrets.

📖 11. Application des dérivées secondes pour déterminer les points d’inflexion et le comportement des fonctions

🔑 Notions clés & Définitions

• Point d’inflexion : Un point d'inflexion est un point du domaine de la fonction où la dérivée seconde s'annule et change de signe, ce qui correspond à un changement de concavité de la courbe.

📝 Points essentiels

• La dérivée seconde f''(x) indique la concavité de la fonction : f''(x) > 0 signifie que la courbe est concave vers le haut, f''(x) < 0 signifie qu'elle est concave vers le bas.
• Comme 02 x 2 > sur ] 0 ; +∞ [ , alors sg (f"(x)) = sg (3 – 2ln x) f "(x) s'annule et change de signe en 2 3 e , donc le point I d'abscisse 2 3 ex = est un point d'inflexion. On a 2 3 2 3 2 3 )1(2)1)e(ln()eln(2)e(f 2 3 2 3 2 3 =−××=−= Les coordonnées du point I sont 2 3 exI = et 2 3 Iy = . 3 - a) Etude des branches infinies de (C ) On a +∞= + → )x(flim 0x , donc (
• Tableau de signe f’’ s’annule est change de signe en e, donc le point B est un poins d’inflexion.

💡 À retenir

L'analyse de la dérivée seconde est essentielle pour déterminer la forme locale de la courbe et identifier les points où la concavité change, c'est-à-dire les points d'inflexion.

📖 12. Équations de droites d’ajustement et calculs statistiques simples

🔑 Notions clés & Définitions

• Wondershare PDFelement Série A – session 2002 : (Vn) est une suite géométrique dont la raison q est telle 0 < q < 1, donc lim Vn
• Droite d'ajustement : L'équation de la droite (G1G2) est : y

📝 Points essentiels

• La régression linéaire permet de déterminer l'équation de la droite d'ajustement par la méthode des moindres carrés.
• La droite d'ajustement est une droite qui modélise la tendance centrale d'un nuage de points.

💡 À retenir

Les outils statistiques et les droites d'ajustement permettent d'interpréter et de modéliser quantitativement des données expérimentales.

🧩 Compléments de couverture

1. Détail source à réviser : matière : 009 Coefficients : A1 = 2 ; A2 = 3 C.S.J.M ============================================= ************************************************************ BACCALAUREAT DE L’ENSEIGNEMENT GENERAL SESSION 2000 MINISTER (Source: "matière : 009 Coefficients : A1 = 2 ; A2 = 3 C.S.J.M ============================================= ************************************************************ BACCALAUREAT DE L’ENSEIGNEMENT GENERAL SESSION 2000 MINISTERE DE L’ENSEIGNEMENT SUPERIEUR ET DE LA RECHERCHE SCIENTIFIQUE SECRETARIAT GENERAL DIRECTION GENERALE DE L’ENSEIGNEMENT SUPERIEUR PUBLIC")
2. Détail source à réviser : BACCALAUREAT DE L’ENSEIGNEMENT GENERAL SESSION 2003 MINISTERE DE L’ENSEIGNEMENT SUPERIEUR ET DE LA RECHERCHE SCIENTIFIQUE SECRETARIAT GENERAL DIRECTION GENERALE DE L’ENSEIGNEMENT SUPERIEUR PUBLIC et PRIVE Service d’Appui (Source: "BACCALAUREAT DE L’ENSEIGNEMENT GENERAL SESSION 2003 MINISTERE DE L’ENSEIGNEMENT SUPERIEUR ET DE LA RECHERCHE SCIENTIFIQUE SECRETARIAT GENERAL DIRECTION GENERALE DE L’ENSEIGNEMENT SUPERIEUR PUBLIC et PRIVE Service d’Appui au Baccalauréat Série : A ATerminaScientifique Epreuve de : MATHEMATIQUES Durée : 02 heures 15 minutes")
3. Détail source à réviser : Série : A ATerminaScientifique Epreuve de : MATHEMATIQUES Durée : 02 heures 15 minutes ============================================================================== Code matière : 009 Coefficients : A1 = 1 ; A2 = 3 C.S. (Source: "Série : A ATerminaScientifique Epreuve de : MATHEMATIQUES Durée : 02 heures 15 minutes ============================================================================== Code matière : 009 Coefficients : A1 = 1 ; A2 = 3 C.S.J.M ============================================= ************************************************************ BACCALAUREAT DE")
4. Détail source à réviser : C.S.J.M ============================================= ************************************************************ BACCALAUREAT DE L’ENSEIGNEMENT GENERAL SESSION 2010 MINISTERE DE L’ENSEIGNEMENT SUPERIEUR ET DE LA RECHER (Source: "C.S.J.M ============================================= ************************************************************ BACCALAUREAT DE L’ENSEIGNEMENT GENERAL SESSION 2010 MINISTERE DE L’ENSEIGNEMENT SUPERIEUR ET DE LA RECHERCHE SCIENTIFIQUE SECRETARIAT GENERAL DIRECTION GENERALE DE L’ENSEIGNEMENT SUPERIEUR PUBLIC et PRIVE Service d’Appui au Baccalauréat Série :")
5. Détail source à réviser : d'APPtli au Baccalauréat d>ed+edre#eêée §érie : A Code matière : Û09 Epreuve de : IU-{THEMATIQUES Durée : 02 heurss 15 minutes Coefficient: A 1: I A2 :3 §& ; -Lrutilisation drune calculntrice scientifique notr progrâmmab (Source: "d'APPtli au Baccalauréat d>ed+edre#eêée §érie : A Code matière : Û09 Epreuve de : IU-{THEMATIQUES Durée : 02 heurss 15 minutes Coefficient: A 1: I A2 :3 §& ; -Lrutilisation drune calculntrice scientifique notr progrâmmable est autorisée' -Les deux exercices et le problème sont obligatoires' EXERCICEl:{05Points) Soit (Ur,)r,.ry la suite numérique")
6. Détail source à réviser : géométriquement le résultat' b) Vérilier quo, p(-"iï.]r tout x e l, f (x) peut s'écrire solls 1a forme : f (x) = 3 + (2 - tnx) lnx c) En clédui.re la limite de / en *oo 2) Montreï que, pour tout x de I, f' {x) -= ?L-fL) (Source: "géométriquement le résultat' b) Vérilier quo, p(-"iï.]r tout x e l, f (x) peut s'écrire solls 1a forme : f (x) = 3 + (2 - tnx) lnx c) En clédui.re la limite de / en *oo 2) Montreï que, pour tout x de I, f' {x) -= ?L-fL) 3) a) Résoudre dans I l'équation L - lnx = A b) En déduire le signe de f' (x) et dresser le tableau de variation de f 4) Calculer f C")
7. Détail source à réviser : raison. c) Calculer ,lgv,. d) Exprirner en fonction de z la somme So:% +I +...+V,_r" 2. (U,),. x ôst une suite arithméüque telle que Uro = U,, + 57. a) Vérifier que la raison de la suite (U, ), . * est égale à 3. b) Sach _(Source: "raison. c) Calculer ,lgv,. d) Exprirner en fonction de z la somme So:% +I +...+V,r" 2. (U,),. x ôst une suite arithméüque telle que Uro = U,, + 57. a) Vérifier que la raison de la suite (U, ), . * est égale à 3. b) Sachant que Ur, = 65. Calculer Uro et U,r, c) En déduire S=U,, + U,u +...+ U.o. : IvIATHEIIATIOUES :02 h 15 mn :41=1;42=3 EXCERICE 2: (5")
8. Détail source à réviser : xo = 1. c) Calculer /(O)et {Q)à 10-rprÈs. 5. Tracer /?/ avec les asymptotes. Pour Ar seulement 6. soit Flafonctiondéfinies"r ]-t;3[ par:F(x)=(xl)ln(x+l)-(x-3)ln(3-x). a) Pour tout .f, e ]-t;:[ ; calculer F'(x) . eue peu _(Source: "xo = 1. c) Calculer /(O)et {Q)à 10-rprÈs. 5. Tracer /?/ avec les asymptotes. Pour Ar seulement 6. soit Flafonctiondéfinies"r ]-t;3[ par:F(x)=(xl)ln(x+l)-(x-3)ln(3-x). a) Pour tout .f, e ]-t;:[ ; calculer F'(x) . eue peut-on en conclurc? b) Caleuler, en cm2, l'aire.ÿdudomaine plan limité par Ia courbe /?/ l'axe (x'or) et les droites d'équations")_
9. Détail source à réviser : ta probabil,ité de chacun des événements suivants : D : * obtenir deux jetons noirs aux deux premiers tirages et un btanc au dernier,. E : " Obtenir exactement un jeton bianc .. NB : Donner les résuttats sous forme de fr (Source: "ta probabil,ité de chacun des événements suivants : D : * obtenir deux jetons noirs aux deux premiers tirages et un btanc au dernier,. E : " Obtenir exactement un jeton bianc .. NB : Donner les résuttats sous forme de fractions irréductibLes. PRSBLEIÂE {10 points} : On cansidère [a fonction numérique f définie par f (x) = x i2+ e-* . on note (Ç) sa")
10. Détail source à réviser : obligatoires. Machine à calculer scientifique non programmable autorisée. EXERCICE 1(05 points) On considère 1a s.uite flumérique (Ur)rreru définie par : Uo=-l Un+r ='ru* + t ,pourtoutn€ N 1. Calculer Ut et {1, 2. §oitla (Source: "obligatoires. Machine à calculer scientifique non programmable autorisée. EXERCICE 1(05 points) On considère 1a s.uite flumérique (Ur)rreru définie par : Uo=-l Un+r ='ru* + t ,pourtoutn€ N 1. Calculer Ut et {1, 2. §oitlasuitenumérique ([rr),.Ery ciéfiniepar:pourtcutn € N: Vn= Ur.- 4 a) Montrer que (lz,r)rrur.i est ifne suite géométrique dont on précisera")
11. Détail source à réviser : résultat 4. Montrer que pour tout x e ]0, +oo[ : f '(x) = '# où /' désigne la fonction dérivqe cle / 5. a) Résoudre sur l'intervalle ]0, +co[ i'équation : lnx - 1 = 0 b) Dresser le tableau de variation de f 6. Ecrire une (Source: "résultat 4. Montrer que pour tout x e ]0, +oo[ : f '(x) = '# où /' désigne la fonction dérivqe cle / 5. a) Résoudre sur l'intervalle ]0, +co[ i'équation : lnx - 1 = 0 b) Dresser le tableau de variation de f 6. Ecrire une équation de la tangente (T) à a4 au point d'abscisse xo : L 7. Tracer (4; ('T) ainsi que ses asymptotes dans le mêne repère Four A2")
12. Détail source à réviser : on tire au hasard et simuttanément 3 jetons cie ta boîte. catcuter ta probabitité de chacun des événements suivants : A : * Obtenir 3 jetons de même couleur ." B : . Obtenir exactement deux jetons noirs ,. C : * Obtenir (Source: "on tire au hasard et simuttanément 3 jetons cie ta boîte. catcuter ta probabitité de chacun des événements suivants : A : * Obtenir 3 jetons de même couleur ." B : . Obtenir exactement deux jetons noirs ,. C : * Obtenir au moins un jeton btanc .. 2' on tire successivement et sans remise 3 ietons de ta boîte. calcuter ta probabil,ité de chacun des événements")
13. Détail source à réviser : B = blanche 1- Expérience : tirer au hasard et simultanément 3 boules de l’urne. Résultat : {b1, b2, b3 } non ordonnée Choix possibles : 56 123 678 = ×× ×× a) - Détermination du nombre de tirages possibles : Il y a 56 ti (Source: "B = blanche 1- Expérience : tirer au hasard et simultanément 3 boules de l’urne. Résultat : {b1, b2, b3 } non ordonnée Choix possibles : 56 123 678 = ×× ×× a) - Détermination du nombre de tirages possibles : Il y a 56 tirages possibles b) - Calcul de la probabilité de A « avoir 3 blanches: » A= {B, B, B} donc 4 123 234 ACard = ×× ×× = ainsi 14 1 (A)p =")
14. Détail source à réviser : de G1 : 2x 3 321 1 == ++ et 133y 3 147132120 1 == ++ Détermination des coordonnées de G2 5x 3 654 1 == ++ et 182y 3 2011811264 1 == ++ b) Traçage de la droite (G1G2). (Voir figure) Cette droite représente la droite de MA (Source: "de G1 : 2x 3 321 1 == ++ et 133y 3 147132120 1 == ++ Détermination des coordonnées de G2 5x 3 654 1 == ++ et 182y 3 2011811264 1 == ++ b) Traçage de la droite (G1G2). (Voir figure) Cette droite représente la droite de MAYER associée à cette série statistique c) Equation de la droite (G1G2). Soit M(x, y) un point de cette droite, alors, det (G1M,")
15. Détail source à réviser : PDFelement 2 4. Traçage de (T) et de (C) dans un même repère. 5. Soit F la fonction définie sur l’intervalle ] – 4 ; 2 [ par : F (x) = ( x + 4 ) ln ( x + 4 ) – ( x – 2 ) ln ( 2 – x ). a)- Calcul de la fonction dérivée F (Source: "PDFelement 2 4. Traçage de (T) et de (C) dans un même repère. 5. Soit F la fonction définie sur l’intervalle ] – 4 ; 2 [ par : F (x) = ( x + 4 ) ln ( x + 4 ) – ( x – 2 ) ln ( 2 – x ). a)- Calcul de la fonction dérivée F ’ de F : F’ (x) = [ln ( x + 4 )+1] – [ln ( 2 – x ) + 1] = ln ( x + 4 ) – ln ( 2 – x ) = f ( x ) b)- Valeur exacte en cm² de l’aire du")
16. Détail source à réviser : + ∞∞∞∞. (Vn) est une suite géométrique dont la raison q est telle 0 < q < 1, donc lim Vn = 0.Wondershare PDFelement Série A – session 2002 : exercice 2 – corrigé 1 – Représentation graphique des points Mi. - Sur l’axe de (Source: "+ ∞∞∞∞. (Vn) est une suite géométrique dont la raison q est telle 0 < q < 1, donc lim Vn = 0.Wondershare PDFelement Série A – session 2002 : exercice 2 – corrigé 1 – Représentation graphique des points Mi. - Sur l’axe des abscisses, 1 cm pour unité graphique. - Sur l’axe des ordonnées, origine : 350 et1 cm représente 10 élèves. 3 – a) Coordonnées du point")
17. Détail source à réviser : de f. On a f '(x) = 0 lorsque 2 ln x – 1 = 0 C'est-à-dire 2 1xln = , d'où 2 1 ex = On a 2 1 2 1 2 1 2 1 )1(2)1)e(ln()eln(2)(f 2 1 2 1 −=−××=−= 2 – a) Coordonnées des points d’intersection de (C ) avec l’axe des abscisses (Source: "de f. On a f '(x) = 0 lorsque 2 ln x – 1 = 0 C'est-à-dire 2 1xln = , d'où 2 1 ex = On a 2 1 2 1 2 1 2 1 )1(2)1)e(ln()eln(2)(f 2 1 2 1 −=−××=−= 2 – a) Coordonnées des points d’intersection de (C ) avec l’axe des abscisses (x’Ox). On cherche les points d'abscisse x tels que f(x) = 0 On a f(x) = 0 lorsque 2 ln x (ln x – 1) C'est-à-dire ln x = 0 ou ln x")
18. Détail source à réviser : =−= D'où F ' (x) = f(x) Conclusion F est une primitive de f sur Df. b) Calcul de l’aire A du domaine plan limité par (C ), l’axe (x’Ox) et les droites d’équations x = 1 et x = e. unité d'aire = 1 cm2. L'aire 2 cm1)1(F)e( (Source: "=−= D'où F ' (x) = f(x) Conclusion F est une primitive de f sur Df. b) Calcul de l’aire A du domaine plan limité par (C ), l’axe (x’Ox) et les droites d’équations x = 1 et x = e. unité d'aire = 1 cm2. L'aire 2 cm1)1(F)e(FA ×−= Avec F(e) = 2e (ln e)2 – 6e ln e + 6e = 2e. Et F(1) = 2 (ln 1)2 – 6 ln 1 + 6 = 6. Alors 22 cm6e2cm1)1(F)e(FA ×−=×−= D'où A = ( 6 -")
19. Détail source à réviser : - 2 1 C'est-à-dire vn+1 = 4 1 ( un -2 ) = 4 1 vn. D'où : (vn) est une suite géométrique de raison q = 4 1 et de premier terme v1 = 3. 3 – Expression de vn puis de un en fonction de n. On a ( ) 1n 4 1 1n vv − = c'est-à-di (Source: "- 2 1 C'est-à-dire vn+1 = 4 1 ( un -2 ) = 4 1 vn. D'où : (vn) est une suite géométrique de raison q = 4 1 et de premier terme v1 = 3. 3 – Expression de vn puis de un en fonction de n. On a ( ) 1n 4 1 1n vv − = c'est-à-dire ( ) 1n 4 1 n 3v − = D'où un = vn + 2 = ( ) 1n 4 13 − + 2 4 – a) Montrons que (wn) est une suite arithmétique On pose wn = ln vn On a")
20. Détail source à réviser : x xx ++=+ −∞→−∞→ 0)(elim x x == −∞→ Donc, +∞= −∞→ )x(flim x et 01)]2x-(-[f(x)lim x =+ −∞→Wondershare PDFelement 2 D'où , (C) admet une asymptote oblique d'équation y = -2x + 1. b) Branche infinie de (C ) lorsque x tend v (Source: "x xx ++=+ −∞→−∞→ 0)(elim x x == −∞→ Donc, +∞= −∞→ )x(flim x et 01)]2x-(-[f(x)lim x =+ −∞→Wondershare PDFelement 2 D'où , (C) admet une asymptote oblique d'équation y = -2x + 1. b) Branche infinie de (C ) lorsque x tend vers + ∞∞∞∞ On a +∞→x lim x )x(f = + ∞. La courbe (C) admet une branche parabolique de direction (y 'Oy).")
21. Détail source à réviser : : n. Répartition : 3r ; 4v ; 3b ; 2n 1 - Tirage d’un stylo - Calcul de probabilités A : « obtenir 1r » On a p (A) = 4 1 12 3 = B : « Obtenir 1v ou 1n » Il y a 6 (v ou n) d’où p (B) = 2 1 12 6 = 2 - Tirage simultané de 2 (Source: ": n. Répartition : 3r ; 4v ; 3b ; 2n 1 - Tirage d’un stylo - Calcul de probabilités A : « obtenir 1r » On a p (A) = 4 1 12 3 = B : « Obtenir 1v ou 1n » Il y a 6 (v ou n) d’où p (B) = 2 1 12 6 = 2 - Tirage simultané de 2 stylos Le nombre de cas possibles On tire 2 stylos parmi 12 stylos Il y a 66C 2 11x122 12 == tirages possibles Calcul de probabilités C")
22. Détail source à réviser : )((x)''f +−−−− === D’où 3 x 2x (x)''f +− = Signe de f’’(x) : b) Point d’inflexion f’’(x) s’annule et change de signe au point d’abscisse 2 alors I est un point d’inflexion c) Equation de la tangente en I d’abscisse 2x0 = (Source: ")((x)''f +−−−− === D’où 3 x 2x (x)''f +− = Signe de f’’(x) : b) Point d’inflexion f’’(x) s’annule et change de signe au point d’abscisse 2 alors I est un point d’inflexion c) Equation de la tangente en I d’abscisse 2x0 = C’est de la forme )x(f)xx()x('fy 000 +−= Avec 4 1 2 12 2 1 2 )2('fet2ln)2(f ==+−= − D’où l’équation de (T) : 2ln)2x(y 2 1 4 1 +−−=")
23. Détail source à réviser : de n On a Vn = V0 + nr Vn = ln 12 – n ln 2 ou       = nn 2 12 lnV 4- Expression de Un On a ln (Un + 2) = Vn. Remplaçons Vn par son expression, Alors      =+ n 2 12ln2)(Unln i.e n 2 12 n 2U =+ D'où 2U n 2 12 (Source: "de n On a Vn = V0 + nr Vn = ln 12 – n ln 2 ou       = nn 2 12 lnV 4- Expression de Un On a ln (Un + 2) = Vn. Remplaçons Vn par son expression, Alors      =+ n 2 12ln2)(Unln i.e n 2 12 n 2U =+ D'où 2U n 2 12 n −= .Wondershare PDFelement Un programme pour améliorer l’éducation à Madagascar Série A – session 2005 : exercice 2 – corrigé")
24. Détail source à réviser : xx ∞+=== +∞→+∞→+∞→ x2 x x22 xx xe4lim x ex4 lim x )x(f lim b) Interprétation graphique La courbe (C) de f admet une branche infinie parallèle à Oy c) Calcul de la limite de f en -∞ ( ) 00xe2)x(flim 22x x === −∞→ (C) adme (Source: "xx ∞+=== +∞→+∞→+∞→ x2 x x22 xx xe4lim x ex4 lim x )x(f lim b) Interprétation graphique La courbe (C) de f admet une branche infinie parallèle à Oy c) Calcul de la limite de f en -∞ ( ) 00xe2)x(flim 22x x === −∞→ (C) admet une asymptote horizontale d’équation d'équation y = 0 2) a) Dérivée f ‘(x) Posons u = x2 et v = e2x On a u’ = 2x et v’ = 2 e2x Alors")
25. Détail source à réviser : dénominateur, on a )3U(5 1U 4U 15U5 4U 1U 1n n n n n n n V + − + + + − + == on vérifie que Un ≠ - 4 D’où n5 1 1n VV =+ Conclusion : (Vn) est une suite géométrique de raison 5 1 q = de premier terme 3 1 V0 −= b) Expressio (Source: "dénominateur, on a )3U(5 1U 4U 15U5 4U 1U 1n n n n n n n V + − + + + − + == on vérifie que Un ≠ - 4 D’où n5 1 1n VV =+ Conclusion : (Vn) est une suite géométrique de raison 5 1 q = de premier terme 3 1 V0 −= b) Expression de Vn en fonction de n Pour une suite géométrique (Vn) de raison q, le terme général Vn= V0 qn Alors n n 5 1 3 1 V       −= 3- a)")
26. Détail source à réviser : 1 )E(p 3 = 2- Tirage successif sans remise de 3 boules Calcul du nombre de cas possibles On prend 3 boules parmi 10 boules. Il y a possiblescas7208x9x10A 3 10 == Calcul de probabilités F1 = « avoir les lettre B, A, C dan (Source: "1 )E(p 3 = 2- Tirage successif sans remise de 3 boules Calcul du nombre de cas possibles On prend 3 boules parmi 10 boules. Il y a possiblescas7208x9x10A 3 10 == Calcul de probabilités F1 = « avoir les lettre B, A, C dans cet ordre » 1er tirage : avoir 1 B parmi 1 B ; il y a 1 choix 2e tirage : avoir 1 A parmi 3 A ; il y a 3 choix 3e tirage : avoir 1 C")
27. Détail source à réviser : 2 ; 0) b) Equation de la tangente (T) en x0 = ln2 C’est de la forme y = f ‘(x 0) (x- x 0) + f (x0) On a f (x0) = f (ln 2) = 0 f’(x0) = f ‘(ln 2) = e ln2(1- e ln 2)= 2 (1-2) = -2 D’où (T) : y = -2 (x - ln 2) + 0 L’équatio (Source: "2 ; 0) b) Equation de la tangente (T) en x0 = ln2 C’est de la forme y = f ‘(x 0) (x- x 0) + f (x0) On a f (x0) = f (ln 2) = 0 f’(x0) = f ‘(ln 2) = e ln2(1- e ln 2)= 2 (1-2) = -2 D’où (T) : y = -2 (x - ln 2) + 0 L’équation de (T) est y = -2x + 2ln2 5) Calcul de x )x(f lim x ∞+→ On a +∞== +∞→ x e lim x x et −∞=− +∞→ ) 2 e 1(lim x x D'où −∞=−== +∞→+∞→ ) 2 e")
28. Détail source à réviser : Série A – session 2008 : exercice 2 – corrigé 1 – Représentation graphique des points Mi 2 – a) Coordonnées de G1 et G2, points moyens respectifs des nuages partiels Les coordonnées de G1 sont 5,2x 4 4321 1 == +++ et 250 (Source: "Série A – session 2008 : exercice 2 – corrigé 1 – Représentation graphique des points Mi 2 – a) Coordonnées de G1 et G2, points moyens respectifs des nuages partiels Les coordonnées de G1 sont 5,2x 4 4321 1 == +++ et 25042y 4 65000500002800026000 1 == +++ Les coordonnées de G2 sont 5,6x 4 8765 2 == +++ et 250102y 4 1250001200008300081000 2 == +++ b)")
29. Détail source à réviser : )x(f x lnx )x('F == . Donc F est une primitive de f sur ] 0 ; +∞ [ b) Calcul d'aire (unité d'aire = 2 x 2 = 4 cm2) L'aire A du domaine plan délimité par la courbe (C ), l’axe des abscisses et les droites d’équations x = (Source: ")x(f x lnx )x('F == . Donc F est une primitive de f sur ] 0 ; +∞ [ b) Calcul d'aire (unité d'aire = 2 x 2 = 4 cm2) L'aire A du domaine plan délimité par la courbe (C ), l’axe des abscisses et les droites d’équations x = 1 et x = e est : 2e 1 cm4])x(F[A ×= . On a 2 72 2 1 3)eln()e(F =+= et 33)1ln()1(F 2 2 1 =+= D'où 22 2 12 cm2cm4cm4]F(1)-F(e)[A")
30. Détail source à réviser : 1 4 1 1 2 4 =+=××+× cas favorables D'où 42 11 84 22 )B(p == 2- Tirages successifs sans remise de boules a) Nombre de cas possibles 1er tirage: 1 boule parmi 9 boules: il y a 9 choix 2e tirage: 1 boule parmi 8 boules rest (Source: "1 4 1 1 2 4 =+=××+× cas favorables D'où 42 11 84 22 )B(p == 2- Tirages successifs sans remise de boules a) Nombre de cas possibles 1er tirage: 1 boule parmi 9 boules: il y a 9 choix 2e tirage: 1 boule parmi 8 boules restantes: il y a 8 choix 3e tirage: 1 boule parmi 7 boules restantes: il y a 7 choix D'où le nombre de cas possibles est 9 x 8 x 7= 504 b)")
31. Détail source à réviser : est x = 0 b) Dérivée de f On a f ‘(x) = (-x + 3 + ex)’ = - 1 + ex c) Signe de f ‘(x) f ’(x) > 0 si -1 + ex > 0 i .e. si x > 0 et f ‘(x) < 0 si -1 + ex < 0 i .e. si x< 0 d’où le tableau de signe de f ‘(x)Wondershare PDFel (Source: "est x = 0 b) Dérivée de f On a f ‘(x) = (-x + 3 + ex)’ = - 1 + ex c) Signe de f ‘(x) f ’(x) > 0 si -1 + ex > 0 i .e. si x > 0 et f ‘(x) < 0 si -1 + ex < 0 i .e. si x< 0 d’où le tableau de signe de f ‘(x)Wondershare PDFelement 2 d) Tableau de variation On a f(0) = - 0 + 3 + e0 = 4 4- a) Equation de la tangente (T) au point d’abscisse x0= 0 On a f ‘(0)")
32. Détail source à réviser : n par (3n+1), alors on a : 1n3 n3 1n3 1)1n3( 1n3U ++ −+ + == 2 – a) Raison de la suite (Vn) Soit r la raison de la suite arithmétique (Vn) On a Vn = Vk + (n – k)r pour tous entiers n et k Prenons n = 75 et k = 32 , alors (Source: "n par (3n+1), alors on a : 1n3 n3 1n3 1)1n3( 1n3U ++ −+ + == 2 – a) Raison de la suite (Vn) Soit r la raison de la suite arithmétique (Vn) On a Vn = Vk + (n – k)r pour tous entiers n et k Prenons n = 75 et k = 32 , alors V75 = V32 + (75 – 32)r = V32 + 504 D'où (75 – 32)r = 504 ; c'est-à-dire r = 8 b) Calcul de la somme S = U12 + U13 + . . . + U75. La")
33. Détail source à réviser : )x(ulnx a D'où une primitive G de g définie par : G(x) = 7 ln | u(x) | = 7 ln (x2 + 3) b) Calcul d'aire unité d'aire 2 cm325,1ji =×== l'aire 2 cm3)0(G)3(GA ×−= On a 22 cm2ln21cm33ln76ln7A =×−=Wondershare PDFelement Série (Source: ")x(ulnx a D'où une primitive G de g définie par : G(x) = 7 ln | u(x) | = 7 ln (x2 + 3) b) Calcul d'aire unité d'aire 2 cm325,1ji =×== l'aire 2 cm3)0(G)3(GA ×−= On a 22 cm2ln21cm33ln76ln7A =×−=Wondershare PDFelement Série A – session 2011 : exercice 1 – corrigé 1.- Calcul de U1 , V0 et V2 On a 2 1 Vet1V; 2 3 U 101 === 2.-a) Montrons que (Vn) est suite")
34. Détail source à réviser : -"- : 1 b - " - 5 b 3ème -"- : 1 b - " - 4 b La probabilité de C est : 18 1 720 40 A CCC )C(p 3 10 1 4 1 5 1 2 === D : "Les deux jetons rouges sont tirés". Pour { r , r , r }, il y a !2 !3 permutations, alors 15 1 720 48 (Source: "-"- : 1 b - " - 5 b 3ème -"- : 1 b - " - 4 b La probabilité de C est : 18 1 720 40 A CCC )C(p 3 10 1 4 1 5 1 2 === D : "Les deux jetons rouges sont tirés". Pour { r , r , r }, il y a !2 !3 permutations, alors 15 1 720 48 A CCC 3)D(p 3 10 1 8 1 1 1 2 ===Wondershare PDFelement Série A – session 2011 : problème – corrigé 1 - Calcul de )x(flim x −∞→ On a")
35. Détail source à réviser : : 8.- a) Dérivée de F 3e2e2 2 1 )x('F xx2 −−= 3e2e xx2 −−= On a )x(f)x('F = donc F est une primitive de f b) Calcul d'aire Unités d'aire : 1 cm2. On a 2 cm.)0(F)3(lnFA −= D'où A = 3,3 cm2. 0 1 1 x yWondershare PDFelement (Source: ": 8.- a) Dérivée de F 3e2e2 2 1 )x('F xx2 −−= 3e2e xx2 −−= On a )x(f)x('F = donc F est une primitive de f b) Calcul d'aire Unités d'aire : 1 cm2. On a 2 cm.)0(F)3(lnFA −= D'où A = 3,3 cm2. 0 1 1 x yWondershare PDFelement Série A – session 2013 : exercice 1 – corrigé 1- Calcul de U1 et U2 1 0 3 1 4 3 4 1 4 U U= − = − 1 2U = et 2 1 2 3 4 1 2 U U U = =")
36. Détail source à réviser : impair et deux seulement » : C'est « tirer deux boules parmi les 5 boules blanches de numéros impairs et une parmi les 6 autres » : 2 1 5 6 3 11 3. . 4 ( ) 11 A A p D A = =Wondershare PDFelement Série A – session 2013 : (Source: "impair et deux seulement » : C'est « tirer deux boules parmi les 5 boules blanches de numéros impairs et une parmi les 6 autres » : 2 1 5 6 3 11 3. . 4 ( ) 11 A A p D A = =Wondershare PDFelement Série A – session 2013 : problème – corrigé 1.- a ) 4. 4( 1 1) ( ) 1 1 x x x x e e f x e e + − = = + + 1) 1 4 1 1 x x x e e e  + = −  + +  1 ( ) 4 1 1x f x e")
37. Détail source à réviser : (0 ) (0 ) 2.2G x G x G x G x− + = − + + = donc le point I(0,2) est centre de symétrie pour la courbe ( C ) . b) Courbe :Wondershare PDFelement Date de version : Auteur : 1/1 Corrigé exercice 2 série A 2022 Exercice 2 Dét (Source: "(0 ) (0 ) 2.2G x G x G x G x− + = − + + = donc le point I(0,2) est centre de symétrie pour la courbe ( C ) . b) Courbe :Wondershare PDFelement Date de version : Auteur : 1/1 Corrigé exercice 2 série A 2022 Exercice 2 Détails5 9 4 stylos bleus stylos stylos rouges    1. On tire au hasard et simultanément 4 stylos de la trousse Nombre de cas possibles4 9")
38. Détail source à réviser : et (T) 8.G est la fonction définie sur 0;  par :21 ( ) (ln ) 2 G x x x  a. Montrons queG est une primitive def1 1 ln '( ) 1 (2 ln ) 1 ( ) 2 x G x x f x x x      b. Calcul d’aire2 2 2 1 ( ) (1) 1 1, 2 2 1, 2 A (Source: "et (T) 8.G est la fonction définie sur 0;  par :21 ( ) (ln ) 2 G x x x  a. Montrons queG est une primitive def1 1 ln '( ) 1 (2 ln ) 1 ( ) 2 x G x x f x x x      b. Calcul d’aire2 2 2 1 ( ) (1) 1 1, 2 2 1, 2 A G e G ua e cm cm A cm       Wondershare PDFelement Date de version : Auteur : 1/3 Corrigé exercice 1 Bacc A 2014 Exercice 1 (Un) est")
39. Détail source à réviser : 6 654321 x    et5,70 6 817668637065 y    Donc G ( 3,5 ; 70,5) 3.- Équation de la droite d'ajustement par la méthode de Mayer Notons G1 (x1 , y1 ) le point moyen des trois premiers points et G2 ( x2 , y2 ) c (Source: "6 654321 x    et5,70 6 817668637065 y    Donc G ( 3,5 ; 70,5) 3.- Équation de la droite d'ajustement par la méthode de Mayer Notons G1 (x1 , y1 ) le point moyen des trois premiers points et G2 ( x2 , y2 ) celui des trois autres points On a :66 3 637065 yet2 3 321 x 11      Et75 3 817668 yet5 3 654 x 12      Ainsi G1(2 ; 66")
40. Détail source à réviser : de la tangente en x0 est y = f'(x0) (x-x0)+f(x0) Pour x0= 0, on a f '(x0) =112e2)0('f 0 211e0.21)0(f 0  L'équation de la tangente en A est donc y = -x+2 4.- Calcul de)1x2()x(flim x  x x x xx elim))1x2 (Source: "de la tangente en x0 est y = f'(x0) (x-x0)+f(x0) Pour x0= 0, on a f '(x0) =112e2)0('f 0 211e0.21)0(f 0  L'équation de la tangente en A est donc y = -x+2 4.- Calcul de)1x2()x(flim x  x x x xx elim))1x2(ex21(lim)1x2()x(flim   donc0)1x2()x(flim x   Interprétation :)1x2()x(flim x   = 0 donc la droite")
41. Détail source à réviser : A 2015 Exercice 2 ON dispose de huit plaquettes indiscernables au toucher, sur chacune des quelles et inscrite une lettre du mot « SCIENCES » 1) On tire simultanément quatre plaquettes. a) Le nombre de cas possibles est (Source: "A 2015 Exercice 2 ON dispose de huit plaquettes indiscernables au toucher, sur chacune des quelles et inscrite une lettre du mot « SCIENCES » 1) On tire simultanément quatre plaquettes. a) Le nombre de cas possibles est C3 8= 8 ! 3 !5 ! =56 b) A : « Aucune lettre E » : on doit donc prendre 3 lettres parmi les 6 lettres différentes de E Le nombre de cas")
42. Détail source à réviser : ;+∞[ , on a : • f’(x) > 0 si et seulement si x > 1 • f’(x) < 0 si et seulement si 0< x < 1 • f’(x) = 0 Tableau de variationWondershare PDFelement 4, a) On rappelle que a2 −b2=(a−b)(a+b) Donc , f (x)=(lnx)2−1=(lnx)2−12=(l (Source: ";+∞[ , on a : • f’(x) > 0 si et seulement si x > 1 • f’(x) < 0 si et seulement si 0< x < 1 • f’(x) = 0 Tableau de variationWondershare PDFelement 4, a) On rappelle que a2 −b2=(a−b)(a+b) Donc , f (x)=(lnx)2−1=(lnx)2−12=(ln x−1)(lnx +1) b) Résolution de l’équation f(x)= 0 f(x)= 0 si et seulement si (ln x−1)(ln x +1)=0 donc si ln x −1=0 .ou ln x +1=0 ln x =")
43. Détail source à réviser : 1u . a.=2.2 cm2=4 cm2 Et A=|(0− 4 e )|4 cm2=1,47.4 cm2 A≃5,9 cm2Wondershare PDFelement Corrigé exercice 1 Bacc série A 2016 Exercice 1 1) (Un)n∈ℕ est la suite arithmétique de raison r = -2 et de premier terme U0 =1 . don (Source: "1u . a.=2.2 cm2=4 cm2 Et A=|(0− 4 e )|4 cm2=1,47.4 cm2 A≃5,9 cm2Wondershare PDFelement Corrigé exercice 1 Bacc série A 2016 Exercice 1 1) (Un)n∈ℕ est la suite arithmétique de raison r = -2 et de premier terme U0 =1 . donc Un =U0 +nr=1+n (−2) . Un =1−2 n . 2) 2a) Un =−99 équivaut à 1−2 n=−99 , ce qui donne n = 50 b) S=U0 +U1 +....+U50 S=U0 +U1")
44. Détail source à réviser : blancs », c’est obtenir deux crayons blancs et un crayon non blanc : Comme on a 3 crayons blancs et 7 crayons non blancs, le nombre de cas favorable à cet événement est C2 3 .C 1 7=3⋅7=21 Alors p(B)= 21 120= 7 40 2) Un a (Source: "blancs », c’est obtenir deux crayons blancs et un crayon non blanc : Comme on a 3 crayons blancs et 7 crayons non blancs, le nombre de cas favorable à cet événement est C2 3 .C 1 7=3⋅7=21 Alors p(B)= 21 120= 7 40 2) Un autre enfant prend successivement et avec remise 3 crayon du sac, donc le nombre de cas possibles est 103 . C : « obtenir dans l’ordre")
45. Détail source à réviser : 4 6 f(x) 1, 31 1,71 2,61 4,21 5) Courbe de f Pour A2 seulement 6) F est la fonction définie pour tout x > 0 par F(x)= x2 2 −x lnx+x a) F est une primitive de f sur ]0 ;+∞[ si F’(x) = f(x) pour tout x ∈]0 ;+∞[ . Posons g( (Source: "4 6 f(x) 1, 31 1,71 2,61 4,21 5) Courbe de f Pour A2 seulement 6) F est la fonction définie pour tout x > 0 par F(x)= x2 2 −x lnx+x a) F est une primitive de f sur ]0 ;+∞[ si F’(x) = f(x) pour tout x ∈]0 ;+∞[ . Posons g(x )= x2 2 , u(x) = x et v(x) = ln x. Alors g '( x)=2 x 2 =x , u’(x)= 1 et v '(x)= 1 x et x.lnx = u(x).v(x), Comme (u.v)’ = u’v + v’u, on a")
46. Détail source à réviser : par -1, on a U2 2−10. U2 +16=0 . Résolvons cette équation où l’inconnue est U2 Le discriminant est Δ=b2−4 ac=(−10)2−4.1 .(16) Δ=36=62 . On a deux solutions U2=−(b)−√Δ 2 a =10−6 2.1 =2 et U2=−(b)+√Δ 2 a =10+ 6 2.1 =8 • Si (Source: "par -1, on a U2 2−10. U2 +16=0 . Résolvons cette équation où l’inconnue est U2 Le discriminant est Δ=b2−4 ac=(−10)2−4.1 .(16) Δ=36=62 . On a deux solutions U2=−(b)−√Δ 2 a =10−6 2.1 =2 et U2=−(b)+√Δ 2 a =10+ 6 2.1 =8 • Si U2=2 alors U0 = 10 – U2 = 10 - 2 = 8. • Si U2=8 , alors U0 = 10 – U2 = 10 - 8 = 2. (Un ) est décroissante, donc U0 > U2. Ainsi U0 =8 et")
47. Détail source à réviser : boule noire ». N’obtenir aucune noire signifie obtenir 3 boules blanches : le nombre de cas favorables à cet événement est C3 6= 6! 3 !3 ! =20 Obtenir exactement une boule noire signifie obtenir 1 noire et 2 blanches. Le (Source: "boule noire ». N’obtenir aucune noire signifie obtenir 3 boules blanches : le nombre de cas favorables à cet événement est C3 6= 6! 3 !3 ! =20 Obtenir exactement une boule noire signifie obtenir 1 noire et 2 blanches. Le nombre de cas favorables à cet événement est C2 6 .C 1 3= 6! 2 ! 4! =3.15=45 Alors p(B)=20+45 84 = 65 84 2) On tire successivement et")
48. Détail source à réviser : Δ. Δ=b2−4 ac=(−2)2−4.1 .(−3)=16=42 On a deux racines distinctes X '=−(−2)−√Δ 2 a =2−4 2.1 =−1 et X ' '=−(−2)+√Δ 2 a =2+4 2.1 =3 Pour X = 3, on a X=ex=3 , ln ex=ln 3 , ce qui donne x = ln 3 Pour X = -1, on a X=ex=−1 , ce (Source: "Δ. Δ=b2−4 ac=(−2)2−4.1 .(−3)=16=42 On a deux racines distinctes X '=−(−2)−√Δ 2 a =2−4 2.1 =−1 et X ' '=−(−2)+√Δ 2 a =2+4 2.1 =3 Pour X = 3, on a X=ex=3 , ln ex=ln 3 , ce qui donne x = ln 3 Pour X = -1, on a X=ex=−1 , ce qui ne donne aucune solution. Ainsi x = ln 3 est la seule solution. Le point d’intersection de (C) avec l’axe des abscisses est donc")
49. Détail source à réviser : 2000 MINISTERE DE L’ENSEIGNEMENT SUPERIEUR ET DE LA RECHERCHE SCIENTIFIQUE SECRETARIAT GENERAL DIRECTION GENERALE DE L’ENSEIGNEMENT SUPERIEUR PUBLIC et PRIVE Service d’Appui au Baccalauréat Série : A ATerminaScientifique (Source: "2000 MINISTERE DE L’ENSEIGNEMENT SUPERIEUR ET DE LA RECHERCHE SCIENTIFIQUE SECRETARIAT GENERAL DIRECTION GENERALE DE L’ENSEIGNEMENT SUPERIEUR PUBLIC et PRIVE Service d’Appui au Baccalauréat Série : A ATerminaScientifique Epreuve de : MATHEMATIQUES Durée : 02 heures 15 minutesWondershare PDFelement =====")
50. Détail source à réviser : 2007 MINISTERE DE L’ENSEIGNEMENT SUPERIEUR ET DE LA RECHERCHE SCIENTIFIQUE SECRETARIAT GENERAL DIRECTION GENERALE DE L’ENSEIGNEMENT SUPERIEUR PUBLIC et PRIVE Service d’Appui au Baccalauréat Série : A ATerminaScientifique (Source: "2007 MINISTERE DE L’ENSEIGNEMENT SUPERIEUR ET DE LA RECHERCHE SCIENTIFIQUE SECRETARIAT GENERAL DIRECTION GENERALE DE L’ENSEIGNEMENT SUPERIEUR PUBLIC et PRIVE Service d’Appui au Baccalauréat Série : A ATerminaScientifique Epreuve de : MATHEMATIQUES Durée : 02 heures 15 minutes ===========================")
51. Détail source à réviser : t ; A2) ( lpt ; 0'75Pt ) on note par (Ü) sa courbe représentative cians un repère orthonormé {a; ûî) d'unité lcm' 1) a) calculer la lirnite de / en 0. Interpré'ter géométriquement le résultat' b) Vérilier quo, p(-"iï.]r (Source: "t ; A2) ( lpt ; 0'75Pt ) on note par (Ü) sa courbe représentative cians un repère orthonormé {a; ûî) d'unité lcm' 1) a) calculer la lirnite de / en 0. Interpré'ter géométriquement le résultat' b) Vérilier quo, p(-"iï.]r tout x e l, f (x) peut s'écrire solls 1a forme : f (x) = 3 + (2 - tnx) lnx c) En clédui.re la limite de / en *oo 2) Montreï que, pour tou...")
52. Détail source à réviser : b) Déterminer la probabilité de chacun des événements suivants : A : << Avoir exactement deux billets de 10 000 Ar » (Source: "b) Déterminer la probabilité de chacun des événements suivants : A : << Avoir exactement deux billets de 10 000 Ar »")
53. Détail source à réviser : (1 pt) (0,5 pt) (1 pt) (0,5 pt) (2 pts) {1 pt} (1 pt) (1 pt) {1 pt} (1 pt) A2 (1) A1 (1) 2. a) Montrer que pour tout x A ; f e) b) Sachant que lirn xer = 0- ; catcuter 1) xer )' (. =xl I \ lim 2 ++ x f (x). (1) (0,75) (Source: "(1 pt) (0,5 pt) (1 pt) (0,5 pt) (2 pts) {1 pt} (1 pt) (1 pt) {1 pt} (1 pt) A2 (1) A1 (1) 2. a) Montrer que pour tout x A ; f e) b) Sachant que lirn xer = 0- ; catcuter 1) xer )' (. =xl I \ lim 2 ++ x f (x). (1) (0,75) (0,5) (0,5) t/2 c) Catcuter §/(r) 3. Montrer que pour tout x e IR; /'(x) ="' ;' où ,f ' est ta fonction dérivée de .f . e' 4. a) Etudier...")
54. Détail source à réviser : 5. a) Résoudre sur l'intervalle ]0, +co[ i'équation : lnx - 1 = 0 b) Dresser le tableau de variation de f 6 (Source: "5. a) Résoudre sur l'intervalle ]0, +co[ i'équation : lnx - 1 = 0 b) Dresser le tableau de variation de f 6")
55. Détail source à réviser : 2000 : exercice 2 – corrigé Année 1994 1995 1996 1997 1998 1999 Rang : xi 1 2 3 4 5 6 Chiffre d’affaires : yi 120 132 147 164 181 201 1 (Source: "2000 : exercice 2 – corrigé Année 1994 1995 1996 1997 1998 1999 Rang : xi 1 2 3 4 5 6 Chiffre d’affaires : yi 120 132 147 164 181 201 1")
56. Détail source à réviser : Wondershare PDFelement Série A – session 2002 : problème – corrigé Etude de la fonction définie par f(x) = 2 ln x (ln x – 1) 1- a) Ensemble de définition Df de f. La fonction ln est définie pour x > 0. Donc Df = ] 0 ; +∞ (Source: "Wondershare PDFelement Série A – session 2002 : problème – corrigé Etude de la fonction définie par f(x) = 2 ln x (ln x – 1) 1- a) Ensemble de définition Df de f. La fonction ln est définie pour x > 0. Donc Df = ] 0 ; +∞ [ b) Calcul des limites aux bornes de Df. On a −∞= + → )xln(lim 0x et −∞=− + → )1)xln((lim 0x alors +∞= + → )x(flim 0x On a +∞= +∞→ )xln...")
57. Détail source à réviser : 1) C'est-à-dire ln x = 0 ou ln x = 1 Ce qui implique x = e0 = 1 ou x = e Donc, (C) coupe l'axe (x'Ox) aux points A ( 1 ; 0 ) et B ( e ; 0 ) (Source: "1) C'est-à-dire ln x = 0 ou ln x = 1 Ce qui implique x = e0 = 1 ou x = e Donc, (C) coupe l'axe (x'Ox) aux points A ( 1 ; 0 ) et B ( e ; 0 )")
58. Détail source à réviser : Or F(ln 2) = - (ln 2) 2 + ln 2 + eln 2 = - (ln 2) 2 + ln 2 + 2 Et F(0) = - (0) 2 +0 + e0 = 1 D'où A = | - (ln 2) 2 + ln 2 + 1 | cm2.Wondershare PDFelement Un programme pour améliorer l’éducation à Madagascar Série A – se (Source: "Or F(ln 2) = - (ln 2) 2 + ln 2 + eln 2 = - (ln 2) 2 + ln 2 + 2 Et F(0) = - (0) 2 +0 + e0 = 1 D'où A = | - (ln 2) 2 + ln 2 + 1 | cm2.Wondershare PDFelement Un programme pour améliorer l’éducation à Madagascar Série A – session 2004 : exercice 1 – corrigé 1- Calcul de la somme S La somme de termes consécutifs d’une suite arithmétique )UU(U......UU nk2 1kn n...")
59. Détail source à réviser : 6 = 336 cas favorables D’où 55 14 1320 336 )F(p ==Wondershare PDFelement Série A – session 2004 : problème – corrigé 1- a) Calcul de f ’(x) Soit xln1)x(fx x 1 +−=a définie sur ] 0 ; +∞ ] on a x 1 x 1 x 1 0)'xln1()x('f 2 (Source: "6 = 336 cas favorables D’où 55 14 1320 336 )F(p ==Wondershare PDFelement Série A – session 2004 : problème – corrigé 1- a) Calcul de f ’(x) Soit xln1)x(fx x 1 +−=a définie sur ] 0 ; +∞ ] on a x 1 x 1 x 1 0)'xln1()x('f 2 ++−=+−= alors 2 x 1x )x('f − = b) le signe de f’(x) est celui de x-1 2- Calcul de limite de f(x) en +∞ ∞+=+−= +∞→+∞→ )xln1(lim)x(flim X 1...")
60. Détail source à réviser : ème tirage : 1 numéro 4 parmi 1 n°4 il y a 1 choixWondershare PDFelement 2 Le nombre de cas favorables est 72189 =×× D’où 10 1 720 72 )B(p ==Wondershare PDFelement Un programme pour améliorer l’éducation à Madagascar Sér (Source: "ème tirage : 1 numéro 4 parmi 1 n°4 il y a 1 choixWondershare PDFelement 2 Le nombre de cas favorables est 72189 =×× D’où 10 1 720 72 )B(p ==Wondershare PDFelement Un programme pour améliorer l’éducation à Madagascar Série A – session 2005 : problème – corrigé 1) a) Calcul de limites Nous avons ∞+== +∞→+∞→ )ex4(lim)x(flim x22 xx ∞+=== +∞→+∞→+∞→ x2 x x22 x...")
61. Détail source à réviser : -3 Vn - 1Wondershare PDFelement 2 D’où 1V 1V3 U n n n − −− = b) Expression de Un en fonction de n Remplaçons Vn par son expression 1)( 1)( 1])([ 1])([3 U n 5 1 3 1 n 5 1 n 5 1 3 1 n 5 1 3 1 n −− − = −− −−− = c) Calcul de (Source: "-3 Vn - 1Wondershare PDFelement 2 D’où 1V 1V3 U n n n − −− = b) Expression de Un en fonction de n Remplaçons Vn par son expression 1)( 1)( 1])([ 1])([3 U n 5 1 3 1 n 5 1 n 5 1 3 1 n 5 1 3 1 n −− − = −− −−− = c) Calcul de lim Un : On rappelle que :     >∞ < = +∞→ 1qsi 1qsi0 qlim n n Comme la raison q de la suite (Vn) est inférieure à 1 1 5 1 q <= , on...")
62. Détail source à réviser : +∞== +∞→ x e lim x x et −∞=− +∞→ ) 2 e 1(lim x x D'où −∞=−== +∞→+∞→ ) 2 e 1( x e lim x )x(f lim xx xx Interprétation géométrique : (C) admet une branche infinie parallèle à Oy 6) Représentation de la courbe (C) et de la (Source: "+∞== +∞→ x e lim x x et −∞=− +∞→ ) 2 e 1(lim x x D'où −∞=−== +∞→+∞→ ) 2 e 1( x e lim x )x(f lim xx xx Interprétation géométrique : (C) admet une branche infinie parallèle à Oy 6) Représentation de la courbe (C) et de la tangente (T) Unité graphique : 2 cmWondershare PDFelement 3 7) a) Autre expression de f On a 2 ee2 )x(f x2x − = 2 e 2 e2 )x(f x2x −= d’où...")
63. Détail source à réviser : On a 2 72 2 1 3)eln()e(F =+= et 33)1ln()1(F 2 2 1 =+= D'où 22 2 12 cm2cm4cm4]F(1)-F(e)[A =×=×=Wondershare PDFelement Série A – session 2009 : exercice 1 – corrigé 1- a) Valeurs exactes de 0 U et 2U On a 1eU 0 0 == et 2 2 (Source: "On a 2 72 2 1 3)eln()e(F =+= et 33)1ln()1(F 2 2 1 =+= D'où 22 2 12 cm2cm4cm4]F(1)-F(e)[A =×=×=Wondershare PDFelement Série A – session 2009 : exercice 1 – corrigé 1- a) Valeurs exactes de 0 U et 2U On a 1eU 0 0 == et 2 2 eU = b) Relation entre Un+1 et Un On a n1n 1n eeeU ×== + + D'où n1n UeU =+ Nature de la suite )U( n : On a tetanconse U U n 1n ==+ Alors...")
64. Détail source à réviser : 3 – note de natation x correspondant à la note de danse y = 10,5 Pour y = 10,5 , on a 1,0625 x +2,0375 = 10,5 D'où 96,7x 1,0625 2,0375-10,5 ==Wondershare PDFelement Série A – session 2010 : exercice 2 – corrigé 1- a) Cal (Source: "3 – note de natation x correspondant à la note de danse y = 10,5 Pour y = 10,5 , on a 1,0625 x +2,0375 = 10,5 D'où 96,7x 1,0625 2,0375-10,5 ==Wondershare PDFelement Série A – session 2010 : exercice 2 – corrigé 1- a) Calcul de 1U , 2U et 3U La suite (Un) est définie par n 1n nU − = On a 0U 1 11 1 == − , 2 1 2 12 2U == − et 3 2 3 13 3U == − b) Expression d...")
65. Détail source à réviser : On a −∞=−= +∞→+∞→ 2lnnlimWlim n n nWondershare PDFelement Série A – session 2011 : exercice 2 – corrigé Notation : jaune : j ; rouge : r ; blanc : b Répartition : 3 j ; 2 r ; 5 b. 1- Expérience : tirage simultané de 3 je (Source: "On a −∞=−= +∞→+∞→ 2lnnlimWlim n n nWondershare PDFelement Série A – session 2011 : exercice 2 – corrigé Notation : jaune : j ; rouge : r ; blanc : b Répartition : 3 j ; 2 r ; 5 b. 1- Expérience : tirage simultané de 3 jetons a) Le nombre de cas possibles On tire 3 jetons parmi 10 jetons, donc le nombre de cas possibles est 120CN 3 10 == b) Calcul de proba...")
66. Détail source à réviser : 2013 : exercice 1 – corrigé 1- Calcul de U1 et U2 1 0 3 1 4 3 4 1 4 U U= − = − 1 2U = et 2 1 2 3 4 1 2 U U U = = 2 (Source: "2013 : exercice 1 – corrigé 1- Calcul de U1 et U2 1 0 3 1 4 3 4 1 4 U U= − = − 1 2U = et 2 1 2 3 4 1 2 U U U = = 2")
67. Détail source à réviser : 2014 Exercice 2 Année 2008 2009 2010 2011 2012 2013 Rang de l'année xi 1 2 3 4 5 6 Production en tonnes yi 65 70 63 68 76 81 1 (Source: "2014 Exercice 2 Année 2008 2009 2010 2011 2012 2013 Rang de l'année xi 1 2 3 4 5 6 Production en tonnes yi 65 70 63 68 76 81 1")
68. Détail source à réviser : 2018 est y = 93 tonnesWondershare PDFelement Date de version : Auteur : 1/3 Corrigé Problème Bacc A 2014 Problèmex ex21)x(f  1 (Source: "2018 est y = 93 tonnesWondershare PDFelement Date de version : Auteur : 1/3 Corrigé Problème Bacc A 2014 Problèmex ex21)x(f  1")
69. Détail source à réviser : b) A : « Aucune lettre E » : on doit donc prendre 3 lettres parmi les 6 lettres différentes de E Le nombre de cas favorable à cet événement est C3 6= 6 (Source: "b) A : « Aucune lettre E » : on doit donc prendre 3 lettres parmi les 6 lettres différentes de E Le nombre de cas favorable à cet événement est C3 6= 6")
70. Détail source à réviser : 2016 Exercice 1 1) (Un)n∈ℕ est la suite arithmétique de raison r = -2 et de premier terme U0 =1 (Source: "2016 Exercice 1 1) (Un)n∈ℕ est la suite arithmétique de raison r = -2 et de premier terme U0 =1")
71. Détail source à réviser : a)On a U34−U15=57 Or U34−U15=(34−15)r , donc (34−15)r=57 , d’où r=57 19 alors r = 3. b) U34=U22 +(34−22)r=65+12 x 3 U34=101 U22=U15 +(22−15)r , donc U15=U22−(22−15)r=65−7 x 3 Ainsi U15= 44 c) S=U15 +U16+ ...+U34=(34−15 + (Source: "a)On a U34−U15=57 Or U34−U15=(34−15)r , donc (34−15)r=57 , d’où r=57 19 alors r = 3. b) U34=U22 +(34−22)r=65+12 x 3 U34=101 U22=U15 +(22−15)r , donc U15=U22−(22−15)r=65−7 x 3 Ainsi U15= 44 c) S=U15 +U16+ ...+U34=(34−15 +1) U15+U34 2 =20 (44+101) 2 Ainsi S = 1450Wondershare PDFelement Corrigé exercice 1 Bacc série A 2023 Exercice 1 (5 points) (Un ) est la...")
72. Détail source à réviser : 2) On tire successivement et sans remise 3 boules de l’urne, donc le nombre de cas possibles est A 3 9=504 (Source: "2) On tire successivement et sans remise 3 boules de l’urne, donc le nombre de cas possibles est A 3 9=504")
73. Détail source à réviser : Ainsi, (G1G2) : 3 301 3 49 xy += d) Prévision du chiffre d’affaires de cette entreprise en 2002 : L’année 2002 correspond à x = 1+ 2002 – 1994 = 9. Ainsi, le chiffre d’affaires de cette entreprise en 2002 sera 247,33 mil (Source: "Ainsi, (G1G2) : 3 301 3 49 xy += d) Prévision du chiffre d’affaires de cette entreprise en 2002 : L’année 2002 correspond à x = 1+ 2002 – 1994 = 9. Ainsi, le chiffre d’affaires de cette entreprise en 2002 sera 247,33 millions.Wondershare PDFelement Série A - session 2000 : problème – corrigé f définie sur l’intervalle ] – 4 ; 2 [ par : f (x) = ln (x + 4)...")
74. Détail source à réviser : d) Prévision du chiffre d’affaires de cette entreprise en 2002 : L’année 2002 correspond à x = 1+ 2002 – 1994 = 9 (Source: "d) Prévision du chiffre d’affaires de cette entreprise en 2002 : L’année 2002 correspond à x = 1+ 2002 – 1994 = 9")
75. Détail source à réviser : 2002 : L’année 2002 correspond à x = 1+ 2002 – 1994 = 9 (Source: "2002 : L’année 2002 correspond à x = 1+ 2002 – 1994 = 9")
76. Détail source à réviser : Que peut-on en conclure pour (t) 5) Ecrire une équation de la tangente (7') à la courbe (c) au point '4 d'aSscisse 1 6) Recopier et compléter le tablear-t suivant à 1-0-2 pres (0,75pt; 0,5Pt ) (0,25pt ; 0'25 Pt) (lpt;lPt (Source: "Que peut-on en conclure pour (t) 5) Ecrire une équation de la tangente (7') à la courbe (c) au point '4 d'aSscisse 1 6) Recopier et compléter le tablear-t suivant à 1-0-2 pres (0,75pt; 0,5Pt ) (0,25pt ; 0'25 Pt) (lpt;lPt) (û,Spt;0,5Pt) (1,5pts ; 1,5Pts) (1,25pts ; 0,75Pt) ( lpt ; CI,75 Pt ) (0,?5pt; 0,?5Pt) L ;+ I L 1 ^2 À I! f (x) 7) Tracer la tangente (...")
77. Détail source à réviser : Ainsi, (G1G2) : 3 301 3 49 xy += d) Prévision du chiffre d’affaires de cette entreprise en 2002 : L’année 2002 correspond à x = 1+ 2002 – 1994 = 9 (Source: "Ainsi, (G1G2) : 3 301 3 49 xy += d) Prévision du chiffre d’affaires de cette entreprise en 2002 : L’année 2002 correspond à x = 1+ 2002 – 1994 = 9")
78. Détail source à réviser : 2023 Exercice 1 (5 points) (Un ) est la suite géométrique à termes positif décroissante telle que {U0+U2=10 U0 x U2=16 1- a ) {U0+U2 =10(L1) U0 x U2=16(L2) L’équation (L1) donne U0 = 10 – U2 (Source: "2023 Exercice 1 (5 points) (Un ) est la suite géométrique à termes positif décroissante telle que {U0+U2=10 U0 x U2=16 1- a ) {U0+U2 =10(L1) U0 x U2=16(L2) L’équation (L1) donne U0 = 10 – U2")
79. Détail source à réviser : G est la fonction définie sur 0;  par :21 ( ) (ln ) 2 G x x x  a. Montrons queG est une primitive def1 1 ln '( ) 1 (2 ln ) 1 ( ) 2 x G x x f x x x      b. Calcul d’aire2 2 2 1 ( ) (1) 1 1, 2 2 1, 2 A G e G ua (Source: "G est la fonction définie sur 0;  par :21 ( ) (ln ) 2 G x x x  a. Montrons queG est une primitive def1 1 ln '( ) 1 (2 ln ) 1 ( ) 2 x G x x f x x x      b. Calcul d’aire2 2 2 1 ( ) (1) 1 1, 2 2 1, 2 A G e G ua e cm cm A cm       Wondershare PDFelement Date de version : Auteur : 1/3 Corrigé exercice 1 Bacc A 2014 Exercice 1 (Un) est la sui...")
80. Détail source à réviser : 2015 Exercice 1 (Un)n∈ℕ est la suite arithmétique définie part U1 +2U3−U5=2 et U2=−1 1) a) (Un)n∈ℕ est une suite arithmétique, donc Un =Uk +(n−k )r quel que soit les entiers naturels n et k, et où r est la raison (Source: "2015 Exercice 1 (Un)n∈ℕ est la suite arithmétique définie part U1 +2U3−U5=2 et U2=−1 1) a) (Un)n∈ℕ est une suite arithmétique, donc Un =Uk +(n−k )r quel que soit les entiers naturels n et k, et où r est la raison")
81. Détail source à réviser : b) U1 +2U3−U5=2 donc (U2−r )+2 (U2+r)−(U2+3r )=2 Ce qui donne 2 U2 −r+2r−3r=2 −2−2 r=2 d’où r = -2 r=Un +1−Un=−2<0 , donc la suite (Un)n∈ℕ est décroissante (Source: "b) U1 +2U3−U5=2 donc (U2−r )+2 (U2+r)−(U2+3r )=2 Ce qui donne 2 U2 −r+2r−3r=2 −2−2 r=2 d’où r = -2 r=Un +1−Un=−2<0 , donc la suite (Un)n∈ℕ est décroissante")
82. Détail source à réviser : a) lim x→ 0+ ln x=−∞ donc lim x→ 0+ (ln x )2=+∞ Alors lim x→ 0+ f (x)=+∞ Interprétation : La droite d’équation x = 0 est une asymptote (parallèle à l’axe des ordonnées) à la courbe de f (Source: "a) lim x→ 0+ ln x=−∞ donc lim x→ 0+ (ln x )2=+∞ Alors lim x→ 0+ f (x)=+∞ Interprétation : La droite d’équation x = 0 est une asymptote (parallèle à l’axe des ordonnées) à la courbe de f")
83. Détail source à réviser : a) f (x)=(lnx)2−1 On rappelle que si u est une fonction dérivable, alors (u2)'=2 (Source: "a) f (x)=(lnx)2−1 On rappelle que si u est une fonction dérivable, alors (u2)'=2")
84. Détail source à réviser : > 0 si et seulement si x > 1 • ln x < 0 si et seulement si 0< x < 1 • ln 1 = 0 Et puisque x > 0 pour tout x ∈]0 ;+∞[ , on a : • f’(x) > 0 si et seulement si x > 1 • f’(x) < 0 si et seulement si 0< x < 1 • f’(x) = 0 Table (Source: "> 0 si et seulement si x > 1 • ln x < 0 si et seulement si 0< x < 1 • ln 1 = 0 Et puisque x > 0 pour tout x ∈]0 ;+∞[ , on a : • f’(x) > 0 si et seulement si x > 1 • f’(x) < 0 si et seulement si 0< x < 1 • f’(x) = 0 Tableau de variationWondershare PDFelement 4, a) On rappelle que a2 −b2=(a−b)(a+b) Donc , f (x)=(lnx)2−1=(lnx)2−12=(ln x−1)(lnx +1) b) Résolut...")
85. Détail source à réviser : b) Résolution de l’équation f(x)= 0 f(x)= 0 si et seulement si (ln x−1)(ln x +1)=0 donc si ln x −1=0 (Source: "b) Résolution de l’équation f(x)= 0 f(x)= 0 si et seulement si (ln x−1)(ln x +1)=0 donc si ln x −1=0")
86. Détail source à réviser : b) équation de la tangente en B L’équation de la droite (T) tangente à (C ) en B est y = f’(e) (x-e) + f(e) f '(x )= 2 lnx x donc f '(e)= 2 lne e = 2 e f(e) = 0, Donc l’équation de (T) est y =2 e x−2 (Source: "b) équation de la tangente en B L’équation de la droite (T) tangente à (C ) en B est y = f’(e) (x-e) + f(e) f '(x )= 2 lnx x donc f '(e)= 2 lne e = 2 e f(e) = 0, Donc l’équation de (T) est y =2 e x−2")
87. Détail source à réviser : 7. F(x )=x [(lnx)2−2 lnx+2]−x F est une primitive de f si F’(x) = f(x) pour tout x du domaine de définition de f (Source: "7. F(x )=x [(lnx)2−2 lnx+2]−x F est une primitive de f si F’(x) = f(x) pour tout x du domaine de définition de f")
88. Détail source à réviser : [ 2 lnx x − 2 x ]−1=(lnx)2−2lnx+ 2+2 lnx−2−1 F'(x )=(lnx)2−1=f ( x) donc F est une primitive de f. b) L’aire du domaine délimité par la courbe (C) , l’axe des abscisses et les droites d’équations x =1 e et x = e est , en (Source: "[ 2 lnx x − 2 x ]−1=(lnx)2−2lnx+ 2+2 lnx−2−1 F'(x )=(lnx)2−1=f ( x) donc F est une primitive de f. b) L’aire du domaine délimité par la courbe (C) , l’axe des abscisses et les droites d’équations x =1 e et x = e est , en unité d’aire : A=|([F( x)] e 1 e )|=|(F(e)−f ( 1 e ))| F(x )=x [(lnx)2−2 lnx+2]−x donc F(e)=e [(lne)2−2 lne+2]−e=e(12−2.1+2)−e=0 F( 1 e...")
89. Détail source à réviser : Alors la droite d’équation x = 0 est une asymptote (verticale) pour la courbe de f. 3) a) Pour x > 0, f '(x )=1−1 x f '(x )= x −1 x b) f ’(x) = 0 si et seulement si x = 1, x -1 > 0 si x > 1 x -1 < 0 si x < 1. Ainsi, pour (Source: "Alors la droite d’équation x = 0 est une asymptote (verticale) pour la courbe de f. 3) a) Pour x > 0, f '(x )=1−1 x f '(x )= x −1 x b) f ’(x) = 0 si et seulement si x = 1, x -1 > 0 si x > 1 x -1 < 0 si x < 1. Ainsi, pour tout x > 0, f '(x )= x −1 x >0 si x > 1 f '(x )= x −1 x <0 si x < 1. Alors, sur ]0 ;1 [ , f est strictement décroissante et sur ]1 ;+∞[...")
90. Détail source à réviser : f. 3) a) Pour x > 0, f '(x )=1−1 x f '(x )= x −1 x b) f ’(x) = 0 si et seulement si x = 1, x -1 > 0 si x > 1 x -1 < 0 si x < 1 (Source: "f. 3) a) Pour x > 0, f '(x )=1−1 x f '(x )= x −1 x b) f ’(x) = 0 si et seulement si x = 1, x -1 > 0 si x > 1 x -1 < 0 si x < 1")
91. Détail source à réviser : Wondershare PDFelement 4) Tableau de valeurs x 2 e 4 6 f(x) 1, 31 1,71 2,61 4,21 5) Courbe de f Pour A2 seulement 6) F est la fonction définie pour tout x > 0 par F(x)= x2 2 −x lnx+x a) F est une primitive de f sur ]0 ;+ (Source: "Wondershare PDFelement 4) Tableau de valeurs x 2 e 4 6 f(x) 1, 31 1,71 2,61 4,21 5) Courbe de f Pour A2 seulement 6) F est la fonction définie pour tout x > 0 par F(x)= x2 2 −x lnx+x a) F est une primitive de f sur ]0 ;+∞[ si F’(x) = f(x) pour tout x ∈]0 ;+∞[ . Posons g(x )= x2 2 , u(x) = x et v(x) = ln x. Alors g '( x)=2 x 2 =x , u’(x)= 1 et v '(x)= 1 x...")
92. Détail source à réviser : 1 =8 • Si U2=2 alors U0 = 10 – U2 = 10 - 2 = 8. • Si U2=8 , alors U0 = 10 – U2 = 10 - 8 = 2. (Un ) est décroissante, donc U0 > U2. Ainsi U0 =8 et U2=2 b) (Un ) est une suite géométrique donc U2=q2. U0 . Alors q2= U2 U0 = (Source: "1 =8 • Si U2=2 alors U0 = 10 – U2 = 10 - 2 = 8. • Si U2=8 , alors U0 = 10 – U2 = 10 - 8 = 2. (Un ) est décroissante, donc U0 > U2. Ainsi U0 =8 et U2=2 b) (Un ) est une suite géométrique donc U2=q2. U0 . Alors q2= U2 U0 = 2 8 Alors q2= 1 4 d’où q= 1 2 ou q=− 1 2 La suite est à termes positifs, donc q= 1 2 . 2.- a) U0 =8 et q= 1 2 , Un =qn .U0 , donc Un =(1...")
93. Détail source à réviser : b) lim x→+∞ f (x) x =+∞ , donc on a une branche parabolique de direction asymptotique l’axe des ordonnées (Source: "b) lim x→+∞ f (x) x =+∞ , donc on a une branche parabolique de direction asymptotique l’axe des ordonnées")
94. Détail source à réviser : 3. Les points d’intersection de la courbe (C) avec l’axe des abscisses sont les points de la courbe d’ordonnée y = 0, donc ce sont les points d’abscisses x telles que f(x) =0 (Source: "3. Les points d’intersection de la courbe (C) avec l’axe des abscisses sont les points de la courbe d’ordonnée y = 0, donc ce sont les points d’abscisses x telles que f(x) =0")
95. Détail source à réviser : b) Tableau de signe de f ’(x) f ’(x) = 0 si et seulement si 2 ex=0 ou f '(x )=2ex (ex−1) • 2 ex=0 ne donne aucune solution (Source: "b) Tableau de signe de f ’(x) f ’(x) = 0 si et seulement si 2 ex=0 ou f '(x )=2ex (ex−1) • 2 ex=0 ne donne aucune solution")
96. Détail source à réviser : 0. Tableau de variation de f lim x→+ ∞ f (x )=+∞ , lim x→−∞ f (x )=−3 , f(0) = 1 – 2 – 3 =-4 f ’(0) = 0, donc on a une tangente horizontale au point de coordonnées ( 0 , -4) 5 (Source: "0. Tableau de variation de f lim x→+ ∞ f (x )=+∞ , lim x→−∞ f (x )=−3 , f(0) = 1 – 2 – 3 =-4 f ’(0) = 0, donc on a une tangente horizontale au point de coordonnées ( 0 , -4) 5")

📅 Repères chronologiques

📊 Tableaux de Synthèse

⚠️ Pièges & Confusions Fréquentes

1. Confondre suite arithmétique et géométrique : raison additive vs multiplicative.
2. Oublier le changement de signe pour déterminer un point d’inflexion.
3. Confusion entre limite en +∞ et asymptote horizontale.
4. Utiliser une formule inappropriée pour la somme partielle ou la limite.
5. Négliger la condition sur le signe de la dérivée seconde pour l’inflexion.
6. Mal interpréter l’équation de la tangente ou la dérivée en un point.
7. Confondre le domaine de définition d’une fonction avec ses limites asymptotiques.

✅ Checklist Examen

• Connaître la définition d’une suite arithmétique et sa formule générale.
• Savoir exprimer la somme des termes d’une suite arithmétique.
• Connaître la définition d’une suite géométrique et sa formule générale.
• Savoir modéliser un phénomène multiplicatif avec une suite géométrique.
• Maîtriser le calcul des probabilités dans le cadre des tirages sans remise.
• Savoir déterminer le domaine de définition d’une fonction.
• Comprendre le calcul des limites en ±∞ et leur interprétation graphique.
• Savoir calculer la dérivée première et seconde d’une fonction.
• Identifier un point d’inflexion à partir du changement de signe de f''(x).
• Écrire l’équation de la tangente en un point donné.
• Calculer une primitive et une aire sous une courbe entre deux bornes.
• Analyser les asymptotes horizontales et verticales d’une fonction.
• Déterminer les points d’intersection avec les axes pour tracer une courbe.