Lernzettel: Critique des variations de suites

📋 Plan du Cours

1. Sens de variation d’une suite
2. Méthode de la différence
3. Suites explicites et fonction associée
4. Suites arithmétiques
5. Méthode du quotient
6. Suites géométriques

📖 1. Sens de variation d’une suite

🔑 Notions clés & Définitions

• Suite croissante : Une suite est croissante sur ℕ si, pour tout n∈ℕ, on a $u_n\le u_{n+1}$.
• Suite strictement décroissante : Une suite est strictement décroissante sur ℕ si, pour tout n∈ℕ, on a $u_n>u_{n+1}$.

📝 Points essentiels

• Pour étudier le sens de variation, on compare systématiquement $u_{n+1}$ à $u_n$ pour tout n∈ℕ.
• La décroissance “non stricte” n’est pas définie ici avec “<”, mais la méthode de base conclut à une décroissance dès que $u_{n+1}-u_n\le 0$.

💡 Astuce mémo

Croissante = fleche vers le haut ($u_n\le u_{n+1}$), décroissante = fleche vers le bas ($u_n>u_{n+1}$).

📖 2. Méthode de la différence

🔑 Notions clés & Définitions

• Différence $u_{n+1}-u_n$ : La différence $u_{n+1}-u_n$ sert à déterminer le sens de variation en étudiant son signe pour tout n∈ℕ.

📝 Points essentiels

• Si pour tout n∈ℕ, $u_{n+1}-u_n>0$, alors la suite est strictement croissante sur ℕ.
• Si pour tout n∈ℕ, $u_{n+1}-u_n\le 0$, alors la suite est décroissante sur ℕ.
• La condition n≥0 est prise en compte dans la méthode, puisque l’étude du signe se fait avec n entier naturel.

💡 Astuce mémo

Différence positive (signe +) ⇒ hausse; différence nulle ou négative (signe ≤ 0) ⇒ baisse.

📖 3. Suites explicites et fonction associée

🔑 Notions clés & Définitions

• Forme explicite $u_n=f(n)$ : Une suite définie par une formule explicite s’écrit $u_n=f(n)$ pour une fonction f, et son sens de variation se lit via f.
• Fonction croissante sur [0;+∞[ : Si f est croissante sur $[0,+\infty[$, alors l’évaluation de f aux entiers donne une suite croissante sur ℕ.
• Fonction décroissante sur [0;+∞[ : Si f est décroissante sur $[0,+\infty[$, alors la suite obtenue en posant $u_n=f(n)$ est décroissante sur ℕ.

📝 Points essentiels

• Pour une suite sous forme explicite $u_n=f(n)$, le sens de variation de la suite suit celui de f sur $[0,+\infty[$.
• Si f est croissante sur $[0,+\infty[$, alors $u_n$ est croissante sur ℕ.
• Si f est décroissante sur $[0,+\infty[$, alors $u_n$ est décroissante sur ℕ.

💡 Astuce mémo

Même sens : f croissante sur $[0,+\infty[$ ⇒ suite croissante sur ℕ.

📖 4. Suites arithmétiques

🔑 Notions clés & Définitions

• Suite arithmétique : Une suite arithmétique vérifie une relation de récurrence de la forme $u_{n+1}=u_n+r$ avec $r\in\mathbb{R}$.
• Raison r : La raison r d’une suite arithmétique correspond à l’incrément constant entre deux termes consécutifs.

📝 Points essentiels

• Dans une suite arithmétique, $u_{n+1}-u_n=r$ pour tout n.
• Si $r>0$, la suite arithmétique est croissante.
• Si $r<0$, la suite arithmétique est décroissante.

💡 Astuce mémo

Arithmétique : r positif ⇒ monte; r négatif ⇒ descend.

📖 5. Méthode du quotient

🔑 Notions clés & Définitions

• Suites à termes strictement positifs : On applique la méthode du quotient aux suites dont les termes sont strictement positifs, pour pouvoir diviser sans changer le sens.
• Quotient $u_{n+1}/u_n$ : Le quotient $u_{n+1}/u_n$ sert à décider si la suite augmente ou diminue selon qu’il est supérieur ou inférieur à 1.

📝 Points essentiels

• Si $u_n>0$ et $u_{n+1}/u_n>1$, alors la suite est croissante pour tout n∈ℕ.
• Si $u_n>0$ et $u_{n+1}/u_n<1$, alors la suite est décroissante pour tout n∈ℕ.

💡 Astuce mémo

Quotient : supérieur à 1 ⇒ croissance; inférieur à 1 ⇒ décroissance.

📖 6. Suites géométriques

🔑 Notions clés & Définitions

• Suite géométrique : Une suite géométrique vérifie $u_{n+1}/u_n=q$ pour un réel q constant.
• Conditions $u_0>0$ et $q>0$ : Les conclusions de variation ici sont données sous l’hypothèse $u_0>0$ et $q>0$.
• Raison q : La raison q est le coefficient constant tel que $u_{n+1}=q\,u_n$ quand $u_n$ est non nul.

📝 Points essentiels

• Avec $u_0>0$ et $q>0$, on a bien $u_{n+1}/u_n=q$ pour tout n.
• Si $q>1$, la suite géométrique est croissante sur ℕ.
• Si $0<q<1$, la suite géométrique est décroissante sur ℕ.

💡 Astuce mémo

Géométrique : q>1 ⇒ monte, 0<q<1 ⇒ descend.

⚠️ Pièges & confusions fréquents

1. Confondre croissante ($u_n\le u_{n+1}$) et strictement décroissante ($u_n>u_{n+1}$).
2. Utiliser la méthode de la différence en oubliant de conclure selon le signe strictement >0 ou ≤0 de $u_{n+1}-u_n$.
3. Confondre les critères : avec le quotient, ce n’est pas $u_{n+1}-u_n$ mais $u_{n+1}/u_n$ qu’il faut comparer à 1.
4. Oublier l’hypothèse “termes strictement positifs” pour appliquer la méthode du quotient.
5. Mélanger arithmétique et géométrique : arithmétique donne une différence constante $u_{n+1}-u_n=r$, géométrique donne un quotient constant $u_{n+1}/u_n=q$.
6. S’arrêter au cas général de f : ici, pour $u_n=f(n)$, on exploite le sens de f sur $[0,+\infty[$ uniquement.

✅ Checklist Examen

1. Dire quand une suite est croissante sur ℕ à partir de l’inégalité entre $u_n$ et $u_{n+1}$.
2. Dire quand une suite est strictement décroissante sur ℕ à partir de l’inégalité entre $u_n$ et $u_{n+1}$.
3. Utiliser $u_{n+1}-u_n$ et conclure strictement croissante si le résultat est toujours >0 sur ℕ.
4. Utiliser $u_{n+1}-u_n$ et conclure décroissante si le résultat est toujours ≤0 sur ℕ.
5. Reconnaître une suite explicite $u_n=f(n)$ et relier la variation de la suite à celle de f sur $[0,+\infty[$.
6. Conclure croissante sur ℕ si f est croissante sur $[0,+\infty[$ pour une suite $u_n=f(n)$.
7. Conclure décroissante sur ℕ si f est décroissante sur $[0,+\infty[$ pour une suite $u_n=f(n)$.
8. Pour une suite arithmétique, écrire $u_{n+1}=u_n+r$ et $u_{n+1}-u_n=r$.
9. Pour une suite arithmétique, conclure croissance si $r>0$ et décroissance si $r<0$.
10. Pour la méthode du quotient, vérifier que les termes sont strictement positifs avant de comparer $u_{n+1}/u_n$ à 1.
11. Conclure croissance si $u_{n+1}/u_n>1$ et décroissance si $u_{n+1}/u_n<1$ pour la méthode du quotient.
12. Pour une suite géométrique, identifier la constance du quotient $u_{n+1}/u_n=q$.
13. Conclure croissance sur ℕ si $q>1$ pour une suite géométrique (avec $u_0>0$).
14. Conclure décroissance sur ℕ si $0<q<1$ pour une suite géométrique (avec $u_0>0$).