Une collection d’éléments énumérables ou définissables par une propriété
Erklärung
Un ensemble est une collection d’éléments que l’on peut énumérer ou définir au moyen d’une propriété.
La représentation par extension
Erklärung
La définition par extension énumère tous les éléments de l’ensemble, tandis que la compréhension les caractérise par une propriété.
∅ ne contient aucun élément, tandis que {∅} contient l’élément ∅
Erklärung
L’ensemble vide ∅ ne contient aucun élément, alors que {∅} contient un élément : l’ensemble vide lui-même.
L’élément a appartient à l’ensemble E
Erklärung
L’écriture a∈E exprime l’appartenance d’un élément a à l’ensemble E. Elle se distingue de l’inclusion, qui concerne deux ensembles.
Lorsque chaque élément de F appartient à E, ou lorsque F est vide
Erklärung
F est inclus dans E si tous les éléments de F appartiennent à E ; l’ensemble vide est également inclus dans tout ensemble.
L’ensemble de tous les sous-ensembles de E
Erklärung
𝒫(E) est constitué de tous les sous-ensembles de E, y compris notamment l’ensemble vide et E lui-même.
Les éléments de E qui n’appartiennent pas à A
Erklärung
Le complémentaire de A dans E contient les éléments de E qui ne sont pas dans A. Il ne désigne donc pas les éléments communs à deux ensembles.
Il appartient à A et à B
Erklärung
L’intersection A∩B regroupe les éléments appartenant simultanément à A et à B ; la condition est donc une conjonction.
L’ensemble des éléments appartenant à A ou à B
Erklärung
L’union A∪B contient les éléments qui appartiennent à A, à B, ou aux deux ensembles. Elle se distingue ainsi de l’intersection, qui exige les deux appartenances.
Le nombre de ses éléments
Erklärung
Le cardinal d’un ensemble fini est son nombre d’éléments. Ainsi, l’ensemble vide a un cardinal égal à 0, tandis que l’ensemble contenant l’ensemble vide possède un élément et a donc un cardinal égal à 1.
11
Erklärung
Comme A et B sont disjoints, aucun élément n’est compté deux fois : Card(A ∪ B) = Card(A) + Card(B) = 7 + 4 = 11.
16
Erklärung
Pour des ensembles quelconques, il faut soustraire l’intersection comptée deux fois : Card(A ∪ B) = 12 + 9 − 5 = 16.
30
Erklärung
Le produit cartésien contient un couple pour chaque choix d’un élément de E et d’un élément de F. Son cardinal vaut donc 6 × 5 = 30.
Une suite ordonnée avec répétitions autorisées
Erklärung
Un p-uplet est une suite ordonnée de p éléments choisis dans un ensemble, et les répétitions sont autorisées. L’ordre distingue donc deux p-uplets différents.
64
Erklärung
Le nombre de p-uplets formés avec répétition est n^p. Ici, il vaut 4^3 = 64.
Un ordre possible des n éléments
Erklärung
Une permutation est un ordre possible de tous les éléments d’un ensemble à n éléments. Elle utilise donc chacun des n éléments une fois.
5! = 5 × 4!
Erklärung
La relation de récurrence est n! = n × (n − 1)!. Ainsi, 5! = 5 × 4!.
L’ordre des éléments n’est pas pris en compte
Erklärung
Une combinaison correspond à une partie de p éléments parmi n, sans tenir compte de l’ordre. Les sélections qui diffèrent seulement par leur ordre sont donc identiques.
\(\frac{n!}{(n-p)!p!}\)
Erklärung
Le nombre de combinaisons est \(\binom np = \frac{n!}{(n-p)!p!}\). Le facteur \(p!\) élimine les différences dues à l’ordre des éléments sélectionnés.
\(\binom np+\binom n{p+1}=\binom{n+1}{p+1}\)
Erklärung
La relation de Pascal s’écrit \(\binom np + \binom n{p+1} = \binom{n+1}{p+1}\). Elle relie deux coefficients binomiaux consécutifs à un coefficient de la ligne suivante.
2ⁿ
Erklärung
Un ensemble à n éléments possède 2ⁿ parties au total. En revanche, le nombre de parties contenant exactement p éléments est donné par le coefficient binomial \(\binom{n}{p}\).
Un p-uplet d’éléments distincts choisi dans un ensemble à n éléments, avec p≤n
Erklärung
Un arrangement est un p-uplet d’éléments distincts choisis parmi n éléments, avec p≤n. Comme il s’agit d’un p-uplet, l’ordre des éléments est pris en compte.
\(\frac{n!}{(n-p)!}\)
Erklärung
Le nombre de p-uplets d’éléments distincts est \(\frac{n!}{(n-p)!}\). La formule \(\frac{n!}{(n-p)!p!}\) compte les combinaisons, pour lesquelles l’ordre n’est pas pris en compte.
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Qu'est-ce qu'un ensemble en mathématiques ?
Une collection d’éléments énumérés ou définis par une propriété.
Comment définit-on un ensemble par extension ?
En énumérant tous ses éléments.
Comment définit-on un ensemble par compréhension ?
En caractérisant ses éléments par une propriété.
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