Lernzettel: Dérivation et convexité

📋 Plan du Cours

1. Fonctions composées et notation
2. Dérivée d’une composée
3. Monotonie et dérivée seconde
4. Convexité définie par les sécantes
5. Convexité et tangentes
6. Convexité et dérivation
7. Inégalités par convexité
8. Points d’inflexion
9. Lecture et étude de courbes

📖 1. Fonctions composées et notation

🔑 Notions clés & Définitions

• Fonction composée : Si u est définie sur I à valeurs dans J et v est définie sur J, la fonction composée v ∘ u est définie sur I par (v ∘ u)(x) = v(u(x)).

📝 Points essentiels

📌 La composition des fonctions n’est pas commutative : en général, v ∘ u ≠ u ∘ v.

📖 2. Dérivée d’une composée

★ À maîtriser

📌 Si u et v sont dérivables sur les intervalles appropriés, alors (v ∘ u)'(x) = v'(u(x)) × u'(x).

📐 Formule — Les dérivées usuelles sont $\left(u^n\right)'=nu'u^{n-1},\quad \left(\frac{1}{u}\right)'=-\frac{u'}{u^2},\quad (\sqrt{u})'=\frac{u'}{2\sqrt{u}},\quad (e^u)'=u'e^u,\quad \left(\frac{1}{u^n}\right)'=-\frac{nu'}{u^{n+1}}.$

Compléments

• Pour une fonction dérivable u et des constantes a, b, la dérivée de au+b est $au'.$

💡 Astuce mémo

Dériver l’extérieur, puis multiplier par l’intérieur

📖 3. Monotonie et dérivée seconde

🔑 Notions clés & Définitions

• Dérivée seconde : Si f est dérivable sur I et si f' est dérivable sur I, la dérivée seconde de f est la dérivée de f' et se note f''(x) = (f'(x))'.

★ À maîtriser

• La composée de deux fonctions de même monotonie est croissante, tandis que la composée de deux fonctions de monotonies contraires est décroissante.

Compléments

• Pour étudier les variations de f à l’aide de f'', on calcule f'', on étudie son signe, on en déduit les variations de f', puis on utilise le signe de f' pour déterminer les variations de f.

💡 Astuce mémo

Même monotonie : croissante ; monotonies contraires : décroissante

📖 4. Convexité définie par les sécantes

🔑 Notions clés & Définitions

• Fonction convexe : Une fonction est convexe sur un intervalle si sa courbe représentative est en dessous de ses sécantes sur cet intervalle.
• Fonction concave : Une fonction est concave sur un intervalle si sa courbe représentative est au-dessus de ses sécantes sur cet intervalle.
• Sécante : D’une courbe est le segment reliant deux points de cette courbe.

📖 5. Convexité et tangentes

📝 Points essentiels

• Pour une fonction dérivable, la convexité équivaut au fait que la courbe représentative est entièrement située au-dessus de chacune de ses tangentes.

• Pour une fonction dérivable, la concavité équivaut au fait que la courbe représentative est entièrement située en dessous de chacune de ses tangentes.

📖 6. Convexité et dérivation

📝 Points essentiels

📌 Si f est deux fois dérivable sur I, alors f est convexe sur I si et seulement si f' est croissante sur I, ce qui équivaut à f''(x) ≥ 0 pour tout x de I.

📌 Si f est deux fois dérivable sur I, alors f est concave sur I si et seulement si f' est décroissante sur I, ce qui équivaut à f''(x) ≤ 0 pour tout x de I.

💡 Astuce mémo

f'' positive → f' croissante → f convexe

📖 7. Inégalités par convexité

★ À maîtriser

• Pour démontrer une inégalité grâce à la convexité, on étudie la convexité de la fonction, on détermine une tangente adaptée, puis on utilise la position de la courbe par rapport à cette tangente.

Compléments

• Pour f(x)=x^3−2x^2, l’étude de la convexité et de la tangente en −1 permet d’obtenir, pour tout réel x négatif, l’inégalité x^3−2x^2 ≤ 7x+4.

📖 8. Points d’inflexion

🔑 Notions clés & Définitions

• Point d’inflexion : Un point où la courbe représentative traverse sa tangente.

📝 Points essentiels

📌 Pour une fonction deux fois dérivable, la courbe admet un point d’inflexion d’abscisse a si et seulement si f'' s’annule en a en changeant de signe.

💡 Astuce mémo

Changement de signe de f'' → changement de convexité

📖 9. Lecture et étude de courbes

📝 Points essentiels

• Pour esquisser une courbe, on peut exploiter les tableaux de variations de f, f' ou f'' afin de déterminer les variations, la convexité et les changements de forme.

• Sur une représentation graphique de f, f' ou f'', on lit les intervalles de convexité et de concavité ainsi que les éventuels points d’inflexion.

📊 Tableaux de synthèse

Convexité et concavité

Critère	Fonction convexe	Fonction concave
Sécantes	Courbe en dessous	Courbe au-dessus
Tangentes	Courbe au-dessus	Courbe en dessous
Dérivée première	f' croissante	f' décroissante
Dérivée seconde	f'' ≥ 0	f'' ≤ 0