Lernzettel: Dérivée et calcul différentiel

📋 Plan du Cours

1. Différentiabilité par composition
2. Domaines et dérivées partielles
3. Gradient et différentielle
4. Matrices jacobiennes
5. Déterminants jacobiens
6. Dérivées directionnelles et pentes

📖 1. Différentiabilité par composition

🔑 Notions clés & Définitions

• Différentiabilité composante par composante : Une fonction vectorielle est différentiable si et seulement si chacune de ses composantes est différentiable.

★ À maîtriser

📌 Une somme, un produit, une composition ou un inverse de fonctions différentiables est différentiable sur le domaine où l'expression est définie.

Compléments

• La fonction $f(x,y)=y\sin(xy)$ est différentiable sur $\mathbb{R}^2$ car les applications coordonnées, le produit et la composition avec le sinus sont différentiables.

💡 Astuce mémo

Composantes différentiables → fonction vectorielle différentiable

📖 2. Domaines et dérivées partielles

★ À maîtriser

📐 Formule — Pour $f(x,y)=y\sin(xy)$, on a $\frac{\partial f}{\partial x}(x,y)=y^2\cos(xy)$ et $\frac{\partial f}{\partial y}(x,y)=\sin(xy)+xy\cos(xy)$.

📐 Formule — Pour $h(x,y,z)=(x^2(y+1),xz^2,y+1)$, les dérivées partielles sont $\frac{\partial h}{\partial x}=(2x(y+1),z^2{,}0)$, $\frac{\partial h}{\partial y}=(x^2{,}0{,}1)$ et $\frac{\partial h}{\partial z}=(0{,}2xz,0)$.

📐 Formule — Pour $G(R,T)=R^3T+R^2T^2+RT^3$, on a $\frac{\partial G}{\partial R}=3R^2T+2RT^2+T^3$ et $\frac{\partial G}{\partial T}=R^3+2R^2T+3RT^2$.

Compléments

• Les fonctions polynomiales, exponentielles et trigonométriques considérées dans le cours ont des dérivées partielles continues sur leur domaine et sont donc de classe C1.

📐 Formule — Pour $\varphi(p,q)=(\ln(p^2q^2),\ln(p-q+1))$, le domaine est $p\ne0$, $q\ne0$ et $p+1>q$, et $\frac{\partial\varphi}{\partial p}=\left(\frac2p,\frac1{p-q+1}\right)$.

💡 Astuce mémo

Domaine de définition ≠ domaine de différentiabilité

📖 3. Gradient et différentielle

🔑 Notions clés & Définitions

• Gradient : Vecteur formé par ses dérivées partielles.

★ À maîtriser

📐 Formule — Pour $f(x,y)=y\sin(xy)$, $\nabla f(x,y)=\left(y^2\cos(xy),\sin(xy)+xy\cos(xy)\right)$ et $df=y^2\cos(xy)\,dx+(\sin(xy)+xy\cos(xy))\,dy$.

Compléments

• Au point $(1,\frac\pi2)$, on a $\nabla f=(0{,}1)$ et $df=dy$.

📐 Formule — Pour $G(R,T)$, $\nabla G(3{,}2)=(86{,}99)$ et $dG(3{,}2)=86\,dR+99\,dT$.

📖 4. Matrices jacobiennes

🔑 Notions clés & Définitions

• Matrice jacobienne : Matrice contenant les dérivées partielles de chaque composante par rapport à chaque variable.

★ À maîtriser

📐 Formule — Pour $g(u,v)$, $J_g=\begin{pmatrix}v^2&2uv\\-\frac1{(u+v-1)^2}&-\frac1{(u+v-1)^2}\end{pmatrix}$ et $J_g(1{,}1)=\begin{pmatrix}1&2\\-1&-1\end{pmatrix}$.

📐 Formule — Pour $h(x,y,z)$, $J_h=\begin{pmatrix}2x(y+1)&x^2&0\\z^2&0&2xz\\0&1&0\end{pmatrix}$.

Compléments

📐 Formule — Pour $F(r,\varphi,\theta)=(r\cos\varphi,r\sin\theta)$, $J_F=\begin{pmatrix}\cos\varphi&-r\sin\varphi&0\\\sin\theta&0&r\cos\theta\end{pmatrix}$.

💡 Astuce mémo

Une ligne par composante, une colonne par variable

📖 5. Déterminants jacobiens

★ À maîtriser

📐 Formule — Pour $g(u,v)$, le déterminant jacobien vaut $\det J_g=\frac{v(2u-v)}{(u+v-1)^2}$ et $\det J_g(1{,}1)=1$.

📐 Formule — Pour $h(x,y,z)$, $\det J_h=-4x^2(y+1)z$ et $\det J_h(1{,}0{,}1)=-4$.

Compléments

📐 Formule — Pour $\varphi(p,q)$, $\det J_\varphi=-\frac{2(p+q)}{pq(q-p-1)}$ et $\det J_\varphi(1{,}1)=-4$.

📖 6. Dérivées directionnelles et pentes

🔑 Notions clés & Définitions

• Dérivée directionnelle : Produit du gradient par u et, pour une fonction différentiable, valeur de df(x,y)u.

★ À maîtriser

📐 Formule — Pour $f(x,y)=xy^2$, $\nabla f(2{,}1)=(1{,}4)$ et les dérivées directionnelles selon u=(1,-2), v=(1,1), w=(-1,1) et d=(2,-1) valent respectivement −7, 5, 3 et −2.

📐 Formule — La pente dans la direction u est calculée avec le vecteur unitaire U=u/||u|| selon $\partial_Uf(2{,}1)=\nabla f(2{,}1)\cdot u/\|u\|$.

• La plus forte pente est celle du gradient, dans la direction z=i+4j, et sa valeur est $\|\nabla f(2{,}1)\|=\sqrt{17}$.

Compléments

• Parmi les directions étudiées, on monte le plus doucement selon w=j−i, car sa pente positive est la plus petite.

💡 Astuce mémo

Direction → normalisation → produit scalaire → pente

📊 Tableaux de synthèse

Gradient et pente directionnelle

Objet	Expression	Interprétation
Gradient	∇f	Direction de la plus forte pente
Dérivée directionnelle	∇f·u	Variation selon une direction donnée
Pente	∇f·u/||u||	Variation selon une direction unitaire