Lernzettel: Développement et factorisation

📋 Plan du Cours

1. Sens du développement et factorisation
2. Les trois identités remarquables
3. Méthodes et exemples d’application

📖 1. Sens du développement et factorisation

📝 Points essentiels

📌 Développer une expression consiste à transformer un produit en somme, tandis que factoriser consiste à transformer une somme ou une différence en produit.

📌 Pour factoriser une expression, il faut d’abord chercher un facteur commun, puis reconnaître éventuellement une identité remarquable.

📖 2. Les trois identités remarquables

★ À maîtriser

📐 Formule — Le carré d’une somme vérifie $\left(a+b\right)^2=a^2+2ab+b^2$.

📐 Formule — Le carré d’une différence vérifie $\left(a-b\right)^2=a^2-2ab+b^2$.

📐 Formule — Le produit d’une somme par une différence vérifie $(a+b)(a-b)=a^2-b^2$.

Compléments

• Dans un trinôme de la forme $a^2+2ab+b^2$, le terme du milieu est égal à deux fois le produit des racines carrées du premier et du troisième terme.

📖 3. Méthodes et exemples d’application

★ À maîtriser

• Pour développer un carré ou un produit correspondant à une identité remarquable, on identifie sa forme, on remplace les termes dans la formule, puis on calcule et on simplifie.

• La factorisation de $6x+9$ par facteur commun donne $6x+9=3(2x+3)$.

• La factorisation de $x^2-25$ utilise une différence de carrés et donne $x^2-25=(x+5)(x-5)$.

• La factorisation de $x^2+10x+25$ utilise un carré parfait et donne $x^2+10x+25=(x+5)^2$.

Compléments

• Le développement de $(x+3)^2$ donne $x^2+2\times x\times3+3^2=x^2+6x+9$.

• Le développement de $(2x-5)^2$ donne $(2x)^2-2\times2x\times5+5^2=4x^2-20x+25$.

• Le développement de $(x+4)(x-4)$ donne $x^2-4^2=x^2-16$.

💡 Astuce mémo

Facteur commun, puis identité remarquable.

📊 Tableaux de synthèse

Les identités remarquables

Forme	Condition	Résultat
Carré d’une somme	Deux termes additionnés au carré	$a^2+2ab+b^2$
Carré d’une différence	Deux termes soustraits au carré	$a^2-2ab+b^2$
Somme-différence	Même somme et même différence multipliées	$a^2-b^2$