Lernzettel: Développer et factoriser

📋 Plan du Cours

1. Développer par distributivité
2. Identités remarquables
3. Factoriser par facteur commun

📖 1. Développer par distributivité

📝 Points essentiels

★ À maîtriser

🧮 Formule — Pour tous nombres a, b et k, k × (a + b) = ka + kb et k × (a − b) = ka − kb.

🔄 Processus — Pour développer une expression contenant plusieurs produits ou sommes, on applique la distributivité à chaque produit puis on regroupe les termes semblables.

Compléments

🔄 Processus — Pour développer et simplifier (x + 3)(x + 2), on distribue les termes puis on réduit les termes semblables : (x + 3)(x + 2) = x² + 2x + 3x + 6 = x² + 5x + 6.

• Le développement de 3x(x + 1) + 2x donne 3x² + 5x.

💡 Astuce mémo

Distribuer à chaque terme

📖 2. Identités remarquables

📝 Points essentiels

★ À maîtriser

🧮 Formule — L'identité remarquable du carré d'une somme est (a + b)² = a² + 2ab + b².

🧮 Formule — L'identité remarquable du carré d'une différence est (a − b)² = a² − 2ab + b².

🧮 Formule — L'identité remarquable de la différence de deux carrés est (a + b)(a − b) = a² − b².

Compléments

• L'expression 121 + (2x − 11)(2x + 11) se simplifie en 4x².

💡 Astuce mémo

Carré, carré, différence

📖 3. Factoriser par facteur commun

📝 Points essentiels

★ À maîtriser

🧮 Formule — Pour tous nombres a, b et k, ka + kb = k(a + b) ; k est alors un facteur commun mis en évidence.

🔄 Processus — Pour factoriser par facteur commun, on repère le facteur présent dans chaque terme, on le place devant une parenthèse, puis on écrit dans la parenthèse les facteurs restants.

• L'expression (x − 2)(2x + 1) + (x − 2)(x + 4) se factorise en (x − 2)(3x + 5).

⚡ Une expression est un produit de facteurs lorsqu'elle est formée par une multiplication de facteurs, comme (2x − 3)(3 + 2x) ou 4x² × (x + 1)², mais pas lorsqu'elle est une somme ou une différence de termes comme a² + 1 ou x² + 2x.

Compléments

• L'expression 7x + 21 se factorise en 7(x + 3), car 7 est un facteur commun aux deux termes.

• Les expressions 9a + 18, 7x − 7y et 2a + ax se factorisent respectivement en 9(a + 2), 7(x − y) et a(2 + x).

• La factorisation de 16x² + 24x consiste à mettre 8x en facteur, ce qui donne 8x(2x + 3).

💡 Astuce mémo

Repérer puis mettre en évidence

⚠️ Pièges & confusions fréquents

1. La distributivité consiste à multiplier le facteur extérieur par chacun des termes entre parenthèses.
2. Le terme central 2ab ne doit pas être oublié.
3. Factoriser est l'opération inverse de développer : on transforme une somme en produit.
4. Développer une expression ne signifie pas seulement supprimer les parenthèses, mais aussi simplifier le résultat.
5. Seul le terme central est négatif ; le dernier terme b² reste positif.
6. Le facteur commun doit multiplier chacun des termes de l'expression initiale.