Lernzettel: Dipôle RC et condensateurs

📋 Plan du Cours

1. Dipôles ohmiques et condensateurs
2. Charge et capacité du condensateur
3. Échelon montant et charge
4. Constante de temps et charge
5. Échelon descendant et décharge
6. Énergie du condensateur
7. Condensateurs en série
8. Condensateurs en parallèle

📖 1. Dipôles ohmiques et condensateurs

🔑 Notions clés & Définitions

• Conducteur ohmique : Un dipôle caractérisé par une résistance R exprimée en ohms (Ω).
• Condensateur : Un dipôle constitué de deux surfaces conductrices appelées armatures, séparées par un isolant appelé diélectrique.
• Dipôle électrique : Un composant électrique possédant deux bornes.

📝 Points essentiels

📐 Formule — La loi d’Ohm d’un conducteur ohmique s’écrit u_R = R·i.

💡 Astuce mémo

R oppose, C accumule

📖 2. Charge et capacité du condensateur

🔑 Notions clés & Définitions

• Charge du condensateur : La charge q d’un condensateur est la quantité d’électricité portée par l’armature positive A, avec q = q_A = −q_B et q_A + q_B = 0 C.
• Capacité : La capacité C d’un condensateur est définie par le rapport C = I/k, où k est le coefficient directeur de la droite représentant u_AB en fonction du temps lors d’une charge à courant constant.

📝 Points essentiels

★ À maîtriser

📐 Formule — L’intensité du courant traversant un condensateur vérifie i(t) = dq/dt.

📐 Formule — La relation entre la charge, la capacité et la tension aux bornes du condensateur est q = C·u_AB.

Compléments

📐 Formule — Pour un courant constant I, la charge du condensateur est q = I·t.

• L’unité SI de la capacité est le farad (F), dont les sous-multiples utilisés sont le millifarad, le microfarad, le nanofarad et le picofarad.

💡 Astuce mémo

q = C·u

📖 3. Échelon montant et charge

🔑 Notions clés & Définitions

• Dipôle RC : L’association en série d’un condensateur de capacité C et d’un conducteur ohmique de résistance R.
• Échelon montant : Un signal tel que u(t) = 0 pour t < 0 et u(t) = E pour t ≥ 0.

📝 Points essentiels

★ À maîtriser

📐 Formule — Lors de la charge par un échelon montant, l’équation différentielle en tension est RC·du_C/dt + u_C = E.

Compléments

📐 Formule — L’équation différentielle de la charge en fonction de q est RC·dq/dt + q = C·E.

🔄 Processus — Après la fermeture de l’interrupteur à t = 0, la tension aux bornes du dipôle RC passe brutalement de 0 à E tandis que le condensateur se charge.

💡 Astuce mémo

0 vers E

📖 4. Constante de temps et charge

🔑 Notions clés & Définitions

• Constante de temps : Du dipôle RC est τ = R·C et elle s’exprime en secondes.
• Régime transitoire : La phase pendant laquelle la tension u_C varie avec le temps avant d’atteindre sa valeur finale.

📝 Points essentiels

★ À maîtriser

📐 Formule — Pendant la charge, la tension aux bornes du condensateur est u_C(t) = E·(1 − e^(−t/τ)).

• Pendant la charge, à t = τ, la tension du condensateur vaut u_C(τ) = E·(1 − e^−1) ≈ 0,63E.

📐 Formule — Le courant de charge est i(t) = (E/R)·e^(−t/τ).

Compléments

🔄 Processus — Graphiquement, τ est l’abscisse où la tangente à la courbe de charge en t = 0 coupe l’asymptote u_C = E.

💡 Astuce mémo

τ = RC

📖 5. Échelon descendant et décharge

🔑 Notions clés & Définitions

• Échelon descendant : Un signal tel que u(t) = E pour t < 0 et u(t) = 0 pour t ≥ 0.

📝 Points essentiels

★ À maîtriser

📐 Formule — Lors de la décharge, l’équation différentielle en tension est RC·du_C/dt + u_C = 0.

📐 Formule — Pendant la décharge, la tension aux bornes du condensateur est u_C(t) = E·e^(−t/τ).

• Pendant la décharge, à t = τ, la tension du condensateur vaut u_C(τ) = E·e^−1 ≈ 0,37E.

📐 Formule — Le courant de décharge est i(t) = −(E/R)·e^(−t/τ).

Compléments

📐 Formule — L’équation différentielle de la décharge en fonction de q est RC·dq/dt + q = 0.

💡 Astuce mémo

E vers 0

📖 6. Énergie du condensateur

📝 Points essentiels

★ À maîtriser

📐 Formule — L’énergie électrique emmagasinée par un condensateur est E_e(t) = 1/2·C·u_C²(t).

📐 Formule — En régime permanent de charge, lorsque t tend vers l’infini et u_C = E, l’énergie emmagasinée vaut E_e = 1/2·C·E².

Compléments

🔄 Processus — Un condensateur chargé peut restituer ultérieurement son énergie électrique, comme l’illustre la rotation d’un moteur qui soulève un objet de masse m.

📐 Formule — La puissance électrique reçue par le condensateur vérifie P_e = u_C·i = C·u_C·du_C/dt.

• L’énergie E_e s’exprime en joules, la capacité C en farads et la tension u_C en volts.

💡 Astuce mémo

Stocker puis restituer

📖 7. Condensateurs en série

📝 Points essentiels

★ À maîtriser

📌 Dans une association en série, les condensateurs portent la même charge q, tandis que les tensions à leurs bornes s’additionnent.

📐 Formule — Pour deux condensateurs en série, la capacité équivalente vérifie 1/C_e = 1/C_1 + 1/C_2.

Compléments

📐 Formule — Pour n condensateurs en série, la capacité équivalente vérifie 1/C_e = Σ(1/C_i), pour i allant de 1 à n.

📌 L’association en série permet de diminuer la capacité et d’appliquer une grande tension qui pourrait ne pas être supportée par un seul condensateur.

💡 Astuce mémo

Même charge, tensions additives

📖 8. Condensateurs en parallèle

📝 Points essentiels

★ À maîtriser

📌 Dans une association en parallèle, les condensateurs ont la même tension U_AB, tandis que leurs charges s’additionnent.

📐 Formule — Pour deux condensateurs en parallèle, la capacité équivalente est C_e = C_1 + C_2.

Compléments

📐 Formule — Pour n condensateurs en parallèle, la capacité équivalente vérifie C_e = ΣC_i, pour i allant de 1 à n.

📌 L’association en parallèle permet d’augmenter la capacité et d’obtenir une grande charge électrique sous une faible tension.

💡 Astuce mémo

Même tension, charges additives

📊 Tableaux de synthèse

Charge et décharge du condensateur

Grandeur	Charge	Décharge
Échelon de tension	u(t)=E pour t≥0	u(t)=0 pour t≥0
Tension u_C	E·(1−e^(−t/τ))	E·e^(−t/τ)
Courant i	(E/R)·e^(−t/τ)	−(E/R)·e^(−t/τ)
Valeur à t=τ	0,63E	0,37E

Associations de condensateurs

Propriété	Série	Parallèle
Grandeur commune	Charge q	Tension U_AB
Capacité équivalente	1/C_e=Σ(1/C_i)	C_e=ΣC_i
Effet recherché	Diminuer la capacité	Augmenter la capacité

⚠️ Pièges & confusions fréquents

1. La résistance R caractérise le conducteur ohmique, tandis que la capacité C caractérise un condensateur.
2. La charge q désigne la charge de l’armature positive, et non la somme des charges des deux armatures.
3. Un échelon montant passe de 0 à E, contrairement à l’échelon descendant qui passe de E à 0.
4. Le régime permanent correspond à une tension constante, et non à une variation encore en cours.
5. Le signe négatif du courant de décharge le distingue du courant positif obtenu pendant la charge.
6. L’énergie dépend du carré de la tension, et non de la tension seule.
7. En parallèle, les condensateurs ont la même tension, et non nécessairement la même charge.