Lernzettel: Échantillonnage et estimation

📋 Plan du Cours

1. Notion d’échantillon
2. Simulation d’une expérience aléatoire
3. Loi des grands nombres
4. Estimation d’une probabilité

📖 1. Notion d’échantillon

🔑 Notions clés & Définitions

• Échantillon : De taille n est constitué des résultats de n répétitions indépendantes d’une même expérience portant sur une population de personnes ou d’objets.

★ À maîtriser

📌 La population est l’ensemble des personnes ou objets étudiés, tandis que l’échantillon est un sous-ensemble de cette population utilisé pour l’étude statistique.

Compléments

• Prélever 200 cartes parmi toutes les cartes à puce produites en une semaine constitue un échantillon de taille 200.

• Interroger 1000 personnes sur leurs intentions de vote constitue un échantillon de taille 1000 de la population totale des électeurs.

• Effectuer 50 lancers successifs d’une pièce et noter les résultats constitue un échantillon de taille 50.

📖 2. Simulation d’une expérience aléatoire

📝 Points essentiels

• Pour simuler un lancer d’un dé à six faces en Python, la fonction randint renvoie un nombre entier aléatoire compris entre 1 et 6 inclus.

📌 Dans le jeu étudié, on gagne lorsque le dé donne 1 ou 6, et l’on perd pour les quatre autres résultats.

• Pour simuler n parties, on répète n fois le lancer du dé et on compte le nombre de parties gagnées.

📖 3. Loi des grands nombres

🔑 Notions clés & Définitions

• Loi des grands nombres : Lorsque n est grand, sauf exception, la fréquence observée est proche de la probabilité.

★ À maîtriser

📐 Formule — Sur 10 lancers remportés 3 fois, la fréquence de jeu gagné est $\frac{3}{10}$.

📐 Formule — Pour afficher la fréquence des gains, il faut renvoyer $\frac{s}{n}$ au lieu de renvoyer l’effectif s.

Compléments

• Dans le programme, la variable n indique le nombre de lancers et la variable s compte le nombre de gains, c’est-à-dire les résultats 1 ou 6.

📖 4. Estimation d’une probabilité

★ À maîtriser

📐 Formule — La probabilité théorique de gagner est $p=\frac{2}{6}=\frac{1}{3}$, car les issues gagnantes sont 1 et 6 parmi les 6 faces du dé.

• On répète N fois la simulation d’un échantillon de n lancers afin d’étudier les cas où l’écart entre la fréquence f et la probabilité p est inférieur ou égal à $\frac{1}{\sqrt n}$.

• Pour n suffisamment grand, la fréquence f fournit une bonne estimation de la probabilité p dans environ 95 % des cas.

Compléments

• Lorsque n augmente, les fréquences observées semblent se rapprocher de la valeur théorique $\frac{1}{3}$.

📊 Tableaux de synthèse

Échantillon et population

Notion	Définition	Exemple
Population	Ensemble des personnes ou objets étudiés	Toutes les cartes produites en une semaine
Échantillon	Partie de la population observée	200 cartes prélevées
Taille	Nombre d’éléments ou de répétitions	n = 200