Lernzettel: Ensembles de nombres et calculs

📋 Plan du Cours

1. Familles de nombres
2. Intervalles et opérations ensemblistes
3. Identités remarquables
4. Priorités et règles de calcul

📖 1. Familles de nombres

🔑 Notions clés & Définitions

• Entiers naturels : Les nombres $0, 1, 2, 3, \ldots$ et ne comportent jamais de nombres négatifs.
• Nombres rationnels : Un nombre rationnel peut s'écrire comme une fraction $\frac{a}{b}$ avec $a$ et $b$ entiers et $b \ne 0$.
• Nombres réels : Tous les points de la droite graduée, y compris les nombres irrationnels comme $\sqrt{2}$ et $\pi$.

📝 Points essentiels

• Les ensembles de nombres sont emboîtés selon l'inclusion $\mathbb{N} \subset \mathbb{Z} \subset \mathbb{D} \subset \mathbb{Q} \subset \mathbb{R}$.

📖 2. Intervalles et opérations ensemblistes

🔑 Notions clés & Définitions

• Intervalle fermé : $[a;b]$ contient toutes les valeurs $x$ telles que $a\le x\le b$.
• Intervalle ouvert : $]a;b[\,\!$ contient toutes les valeurs $x$ telles que $a<x<b$.

📝 Points essentiels

• Un intervalle allant vers l'infini s'écrit avec une borne ouverte du côté de l'infini, par exemple $[a;+\infty[\,\!$ pour $x\ge a$ et $]-\infty;b]$ pour $x\le b$.

📖 3. Identités remarquables

📝 Points essentiels

📐 Formule — Le carré d'une somme vérifie $(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$.

📐 Formule — Le carré d'une différence vérifie $(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$.

📐 Formule — La différence de deux carrés vérifie $a^2-b^2=(a-b)(a+b)$.

📖 4. Priorités et règles de calcul

🔑 Notions clés & Définitions

• Valeur absolue : Vérifie $|x|=x$ si $x\ge0$ et $|x|=-x$ si $x<0$ ; par exemple, $|-5|=5$.

📝 Points essentiels

• L'ordre des opérations est le suivant:

  • parenthèses
  • puissances
  • multiplications et divisions
  • puis additions
  • soustractions

• Pour les produits, deux signes identiques donnent un résultat positif et deux signes différents donnent un résultat négatif : $(-)\times(-)=(+)$ et $(+)\times(-)=(-)$.

📐 Formule — Pour multiplier des fractions, on utilise $\frac{a}{b}\times\frac{c}{d}=\frac{ac}{bd}$, et pour diviser, on utilise $\frac{a}{b}\div\frac{c}{d}=\frac{a}{b}\times\frac{d}{c}$.

💡 Astuce mémo

Parenthèses → puissances → multiplications/divisions → additions/soustractions

📊 Tableaux de synthèse

Inclusion des ensembles de nombres

Ensemble	Caractéristique	Exemples
$\mathbb{N}$	Entiers naturels non négatifs	0, 1, 2
$\mathbb{Z}$	Entiers relatifs	−2, −1, 0, 1
$\mathbb{D}$	Écriture décimale finie	0,5 ; −3,14
$\mathbb{Q}$	Quotient de deux entiers	1/3 ; −7/5
$\mathbb{R}$	Points de la droite graduée	$\sqrt{2}$ ; $\pi$