Lernzettel: Ensembles de nombres et intervalles

📋 Plan du Cours

1. Ensembles numériques fondamentaux
2. Nombres rationnels et irrationnels
3. Intervalles de la droite réelle
4. Réunion intersection et inégalités

📖 1. Ensembles numériques fondamentaux

🔑 Notions clés & Définitions

• Nombres naturels : Les éléments de l’ensemble noté N, comprenant notamment 0, 1, 2, 3
• Nombres entiers relatifs : Les éléments de l’ensemble Z : ..., −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3
• Nombres décimaux : Les nombres de la forme $\frac{a}{10^p}$, où a est un entier et p un entier naturel, et leur écriture décimale comporte un nombre fini de chiffres après la virgule.

📝 Points essentiels

• Les inclusions entre les ensembles numériques sont $N \subset Z \subset D \subset Q \subset R$.

📖 2. Nombres rationnels et irrationnels

🔑 Notions clés & Définitions

• Nombres rationnels : Les réels qui s’écrivent sous la forme $\frac{a}{b}$, où a et b sont des entiers et b est non nul.
• Nombres irrationnels : Les nombres réels qui ne sont pas rationnels.

📖 3. Intervalles de la droite réelle

🔑 Notions clés & Définitions

• Intervalle fermé : Pour a<b, l’intervalle [a ; b] est l’ensemble des réels x tels que a ≤ x ≤ b.
• Intervalle semi-ouvert : Pour a<b, [a ; b[ contient les réels x tels que a ≤ x < b, tandis que ]a ; b] contient les réels x tels que a < x ≤ b.

📝 Points essentiels

• Les intervalles non bornés vérifient [a ; +∞[ = {x réel | x ≥ a}, ]a ; +∞[ = {x réel | x > a}, et ]−∞ ; a[ = {x réel | x < a}.

📖 4. Réunion intersection et inégalités

🔑 Notions clés & Définitions

• Réunion d’ensembles : La réunion de deux ensembles est l’ensemble des éléments appartenant au moins à l’un des deux ensembles.
• Intersection d’ensembles : L’intersection de deux ensembles est l’ensemble des éléments appartenant à la fois aux deux ensembles.

📝 Points essentiels

• Les symboles <, ≤, > et ≥ signifient respectivement « strictement inférieur à », « inférieur ou égal à », « strictement supérieur à » et « supérieur ou égal à ».

📊 Tableaux de synthèse

Inclusions des ensembles numériques

Ensemble	Caractérisation	Inclusion suivante
N	Nombres naturels	N ⊂ Z
Z	Entiers relatifs	Z ⊂ D
D	Écriture décimale finie	D ⊂ Q
Q	Quotient de deux entiers à dénominateur non nul	Q ⊂ R