Lernzettel: Ensembles et calculs numériques

📋 Plan du Cours

1. Ensembles de nombres
2. Intervalles et opérations ensemblistes
3. Identités remarquables
4. Priorités et règles de calcul

📖 1. Ensembles de nombres

🔑 Notions clés & Définitions

• Entiers naturels : Les nombres $0{,}1{,}2{,}3,\ldots$ et ne contiennent aucun nombre négatif.
• Nombres décimaux : Un nombre décimal possède une écriture décimale finie, comme $0{,}5$ ou $-3{,}14$.
• Nombres rationnels : Un nombre rationnel peut s'écrire comme une fraction $\frac{a}{b}$ avec $a,b\in\mathbb{Z}$ et $b\ne0$.
• Nombres réels : Correspondent à tous les points de la droite graduée, y compris les nombres irrationnels comme $\sqrt{2}$ et $\pi$.

📝 Points essentiels

• Chaque ensemble de nombres est inclus dans le suivant selon la chaîne $\mathbb{N} \subset \mathbb{Z} \subset \mathbb{D} \subset \mathbb{Q} \subset \mathbb{R}$.

💡 Astuce mémo

Naturels → relatifs → décimaux → rationnels → réels

📖 2. Intervalles et opérations ensemblistes

🔑 Notions clés & Définitions

• Intervalle fermé : $[a;b]$ contient toutes les valeurs vérifiant $a\le x\le b$.
• Intervalle ouvert : $]a;b[\,$ contient toutes les valeurs vérifiant $a<x<b$.
• Union et intersection : L'union $A\cup B$ contient les éléments de $A$ ou de $B$, tandis que l'intersection $A\cap B$ contient leurs éléments communs.

📝 Points essentiels

📌 À l'infini, on utilise toujours un crochet ouvert, par exemple $[a;+\infty[\,$ ou $]-\infty;b]$, car l'infini n'est pas un nombre atteignable.

📖 3. Identités remarquables

📝 Points essentiels

📐 Formule — La première identité remarquable est $\left(a+b\right)^2=a^2+2ab+b^2$.

📐 Formule — La deuxième identité remarquable est $\left(a-b\right)^2=a^2-2ab+b^2$.

📐 Formule — La troisième identité remarquable est $a^2-b^2=(a-b)(a+b)$.

📖 4. Priorités et règles de calcul

🔑 Notions clés & Définitions

• Valeur absolue : Pour tout réel $x$, $|x|=x$ si $x\ge0$ et $|x|=-x$ si $x<0$.

📝 Points essentiels

• Pour calculer une expression, on effectue successivement les parenthèses, les puissances, les multiplications et divisions, puis les additions et soustractions.

• Dans $3+2\times4$, on calcule d'abord $2\times4$, donc le résultat est $11$ et non $20$.

📐 Formule — Pour multiplier des fractions, on utilise $\frac{a}{b}\times\frac{c}{d}=\frac{ac}{bd}$, et pour diviser, $\frac{a}{b}\div\frac{c}{d}=\frac{a}{b}\times\frac{d}{c}$.

💡 Astuce mémo

Parenthèses → puissances → multiplications/divisions → additions/soustractions