Lernzettel: Équations de droites et systèmes

📋 Plan du Cours

1. Vecteurs directeurs d’une droite
2. Équations cartésiennes de droite
3. Déterminer une équation cartésienne
4. Parallélisme et sécance
5. Systèmes et intersections
6. Méthode par substitution
7. Méthode par combinaison

📖 1. Vecteurs directeurs d’une droite

🔑 Notions clés & Définitions

• Vecteur directeur : D’une droite est un vecteur non nul dont la direction est celle de la droite.

★ À maîtriser

• Un vecteur non nul est directeur de la droite (AB) si et seulement s’il est colinéaire au vecteur $\overrightarrow{AB}$.

• Par un point donné et dans une direction donnée par un vecteur non nul, il passe une unique droite.

Compléments

• Toute droite admet une infinité de vecteurs directeurs.

📐 Formule — Pour deux points A(x_A;y_A) et B(x_B;y_B), on a $\overrightarrow{AB}=(x_B-x_A;y_B-y_A)$.

📖 2. Équations cartésiennes de droite

🔑 Notions clés & Définitions

• Équation cartésienne : De droite est une équation de la forme $ax+by+c=0$, où a et b ne sont pas simultanément nuls.

★ À maîtriser

• Toute droite de vecteur directeur $(-b;a)$ possède une équation de la forme $ax+by+c=0$, et toute équation de cette forme représente une droite.

📌 Un point appartient à une droite si et seulement si ses coordonnées vérifient l’équation de cette droite.

Compléments

• Une droite possède une unique équation réduite mais une infinité d’équations cartésiennes proportionnelles entre elles.

💡 Astuce mémo

ABC : ax + by + c = 0

📖 3. Déterminer une équation cartésienne

★ À maîtriser

• Pour une droite d’équation réduite $y=mx+p$, le vecteur $(1;m)$ est un vecteur directeur.

• Pour une droite verticale d’équation $x=k$, le vecteur $(0;1)$ est un vecteur directeur.

• Pour déterminer une équation cartésienne à partir d’un vecteur directeur et d’un point, on associe le vecteur $(-b;a)$ à la forme $ax+by+c=0$, puis on utilise les coordonnées du point pour calculer c.

Compléments

• Pour déterminer une équation de la droite (AB), on calcule $\overrightarrow{AB}$ puis on impose la colinéarité de $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AM}$, où M(x;y) est un point quelconque de la droite.

• La droite passant par A(1;−1) et de vecteur directeur (−1;3) admet l’équation cartésienne $3x+y-2=0$.

📖 4. Parallélisme et sécance

★ À maîtriser

📐 Formule — Deux droites d’équations $ax+by+c=0$ et $a'x+b'y+c'=0$ sont parallèles si et seulement si $ab'-a'b=0$.

• Si $ab'-a'b\ne0$, les deux droites ne sont pas parallèles et sont donc sécantes.

Compléments

📌 Deux droites non verticales d’équations réduites sont sécantes si et seulement si leurs coefficients directeurs sont différents.

• Pour trouver la parallèle à $3x-2y+3=0$ passant par A(−1;−2), on conserve les coefficients 3 et −2, puis on obtient $3x-2y-1=0$ en utilisant le point A.

• Les droites $y=-x-2$ et $y=-\frac13x-1$ sont sécantes et leur point d’intersection est (−1,5;−0,5).

💡 Astuce mémo

Même direction : parallèles ; directions différentes : sécantes

📖 5. Systèmes et intersections

🔑 Notions clés & Définitions

• Système linéaire : De deux équations à deux inconnues est de la forme $\begin{cases}ax+by=c\\a'x+b'y=c'\end{cases}$, avec des inconnues de degré 1.
• Solution d’un système : Résoudre un système consiste à trouver tous les couples réels (x;y) qui vérifient simultanément ses deux équations.

★ À maîtriser

• Les solutions d’un système sont les coordonnées des points d’intersection des deux droites associées.

📌 Si $ab'-a'b=0$, le système admet soit aucune solution, soit une infinité de solutions selon que les droites sont parallèles distinctes ou confondues.

Compléments

• Le système $\begin{cases}4x-y=6\\5x+2y=1\end{cases}$ admet un unique couple solution car $ab'-a'b=13\ne0$.

📖 6. Méthode par substitution

★ À maîtriser

• La substitution consiste à isoler une inconnue, remplacer cette expression dans l’autre équation, résoudre l’équation à une inconnue, puis calculer et vérifier l’autre inconnue.

Compléments

• La substitution est particulièrement adaptée lorsqu’une inconnue a le coefficient 1 ou −1 dans une équation.

• Dans le problème du zoo, 30 € pour un adulte, 18 € pour un enfant, 630 visiteurs et 16 020 € de recette conduisent à 390 adultes et 240 enfants.

📖 7. Méthode par combinaison

★ À maîtriser

• La combinaison consiste à multiplier les équations pour obtenir des coefficients opposés ou égaux devant une inconnue, éliminer cette inconnue, résoudre l’équation restante, puis calculer et vérifier l’autre inconnue.

Compléments

• La méthode par combinaison est généralement utilisée lorsqu’aucune inconnue n’a le coefficient 1 ou −1 dans les équations.

• Pour le système $\begin{cases}2x+3y=-3\\4x-2y=3\end{cases}$, on obtient l’unique solution $\left(\frac{3}{16};-\frac98\right)$.

📊 Tableaux de synthèse

Position relative et nombre de solutions

Condition	Droites	Solutions du système
$ab'-a'b\ne0$	Sécantes	Un unique couple
$ab'-a'b=0$ et droites distinctes	Parallèles distinctes	Aucune solution
$ab'-a'b=0$ et droites confondues	Confondues	Une infinité de solutions