Lernzettel: Fonction exponentielle : définitions et propriétés

📋 Plan du Cours

1. Définition de la fonction exponentielle
2. Premières conséquences
3. Dérivée de exp(ax+b
4. Propriétés de l'exponentielle
5. Notation e et puissances
6. Variation et tangente
7. Exercices d'application

📖 1. Définition de la fonction exponentielle

🔑 Notions clés & Définitions

• fonction exponentielle exp : La fonction exponentielle exp est l’unique fonction dérivable sur ℝ telle que sa dérivée soit égale à elle-même et que exp(0)=1.
• condition f' = f : La condition f' = f impose que la pente de la fonction soit toujours proportionnelle à sa valeur, ce qui caractérise exp avec une condition initiale.

📝 Points essentiels

• Il existe une unique fonction dérivable sur ℝ vérifiant f' = f et f(0)=1, et cette fonction est notée exp.
• Si f est dérivable sur ℝ, vérifie f' = f et f(0)=1, alors f ne s’annule jamais sur ℝ.

📖 2. Premières conséquences

🔑 Notions clés & Définitions

• exp'(x) = exp(x) : La dérivée de la fonction exponentielle coïncide avec la fonction elle-même sur tout ℝ.
• exp(0) = 1 : La fonction exponentielle vaut 1 au point 0, ce qui sert de valeur de référence.

📝 Points essentiels

• Pour tout réel x, exp(x) est défini et exp(0)=1.
• Pour tout réel x, exp'(x)=exp(x).
• Pour tout réel x, exp(x) ≠ 0.
• Pour tout réel x, exp(-x)=1/exp(x).

📖 3. Dérivée de exp(ax+b

🔑 Notions clés & Définitions

• fonction g(x)=exp(ax+b) : Une fonction de la forme g(x)=exp(ax+b) reste dérivable sur ℝ et sa dérivée se réécrit facilement grâce au facteur a.
• règle de dérivation exp(ax+b) : La dérivation de l’exponentielle avec argument affine fait apparaître le coefficient a comme multiplicateur.

📝 Points essentiels

• Si g(x)=exp(ax+b) avec a et b réels, alors g est dérivable sur ℝ.
• Pour tout réel x, g'(x)=a×exp(ax+b).
• Exemple : si g(x)=exp(2x+5), alors g'(x)=2×exp(2x+5).

📖 4. Propriétés de l'exponentielle

🔑 Notions clés & Définitions

• propriété exp(x+y) : La propriété additive relie l’exponentielle d’une somme à un produit d’exponentielles séparées.
• fonction strictement positive : La fonction exponentielle prend uniquement des valeurs positives sur tout ℝ.
• notation exp(x)=e^x : On peut écrire exp(x) sous la forme e^x pour tout réel x, avec e définie par exp(1).

📝 Points essentiels

• Pour tous réels x et y, exp(x+y)=exp(x)×exp(y).
• Pour tout réel x et tout entier relatif n, exp(nx)=[exp(x)]^n.
• Pour tous réels x et y, exp(x-y)=exp(x)/exp(y).
• Pour tout réel x, exp(x)>0 (pas de valeur nulle).

📖 5. Notation e et puissances

🔑 Notions clés & Définitions

• nombre e : Le nombre e est défini comme la valeur de la fonction exponentielle en 1, c’est-à-dire e=exp(1).
• puissance entière de e : Pour tout entier n, exp(n)=e^n est obtenu en répétant la multiplication par exp(1).
• écriture e^x : Pour tout réel x, on note e^x la valeur de l’exponentielle, c’est-à-dire e^x=exp(x).

📝 Points essentiels

• On a exp(1)=e et une valeur approchée donnée est e≈2,72.
• Pour tout entier n, exp(n)=[exp(1)]^n=e^n.
• Pour tout réel x et y, e^(x+y)=e^x×e^y et e^(x−y)=e^x/e^y.
• Pour tout réel x, exp'(x)=e^x (donc la dérivée de e^x est e^x).
• On a e^0=1 et e^x>0. (Ces écritures sont regroupées dans le cours.)

📖 6. Variation et tangente

🔑 Notions clés & Définitions

• croissance de l’exponentielle : La fonction exponentielle est strictement croissante car sa dérivée est strictement positive.
• tangente en a pour e^x : La tangente à la courbe y=e^x au point d’abscisse a s’obtient avec le coefficient directeur g'(a) et la valeur g(a).

📝 Points essentiels

• La fonction exponentielle est strictement croissante sur ℝ.
• Comme e^x>0 pour tout x, on a exp'(x)=e^x>0, ce qui garantit la croissance.
• Tangente en A(0;1) à la courbe y=e^x : T0 a pour équation y=x+1. (Ici, g'(0)=1 et g(0)=1.)

📖 7. Exercices d'application

🔑 Notions clés & Définitions

• dérivation produit u·v : La dérivée d’un produit s’obtient en combinant la dérivée de chaque facteur : (uv)'=u'v+uv'.
• variations via signe de la dérivée : Le sens de variation d’une fonction dérivable se déduit du signe de sa dérivée sur l’intervalle étudié.
• forme affine dans l’exponentielle : Quand l’exponentielle a un argument affine, la dérivée garde l’exponentielle et multiplie par le coefficient directeur de l’argument.

📝 Points essentiels

• Exercice 1 : si u=x+2 et v'=e^x avec v=e^x, alors (x+2)e^x+e^x=(x+3)e^x.
• Exercice 3 : la suite ou calcul menant à une forme géométrique est indiqué avec une raison e^3 et un premier terme 1 sous la forme u_{n+1}=q u_n.
• Exercice 4 : pour h(x)= (x²+2x)/e^x (donné à la fin de l’extrait), la dérivée aboutit à h'(x) de signe -x²+2 et aux solutions x=−√2 et x=√2 pour l’annulation du signe.
• Exercice 10 : pour g(t)=e^t/(2t) sur [1,3], la dérivée a pour signe celui de 2t−2, donc g est strictement croissante sur [1,3], avec g(1)=e/2 et g(3)=e^3/6.

⚠️ Pièges & confusions fréquents

1. Confondre la définition f' = f avec la formule de dérivation : exp'(x)=exp(x) mais pour exp(ax+b) il faut aussi multiplier par a.
2. Oublier que exp(x) ne s’annule jamais : toute équation exp(t)=0 n’a aucune solution réelle.
3. Se tromper dans exp(-x) : ce n’est pas exp(x) mais 1/exp(x).
4. Mélanger exp(x+y)=exp(x)exp(y) avec exp(x−y) : il faut passer par la division exp(x)/exp(y).
5. Dans e^(x+y), ne pas appliquer n à x+y : le cours donne (e^x)^n = e^(nx).
6. Pour la tangente à e^x en 0, confondre g'(0)=1 avec g'(x)=e^x : la pente vaut 1 seulement au point A(0;1).

✅ Checklist Examen

1. Savoir caractériser la fonction exponentielle comme l’unique solution sur ℝ de f' = f avec la condition f(0)=1.
2. Montrer/reciter que exp(x) ne s’annule jamais sur ℝ et que exp(x)>0.
3. Calculer exp'(x) et exploiter exp(-x)=1/exp(x).
4. Savoir dériver exp(ax+b) : obtenir g'(x)=a×exp(ax+b).
5. Appliquer exp(x+y)=exp(x)×exp(y) à des expressions en somme et en différence via la division.
6. Utiliser exp(nx)=[exp(x)]^n pour un entier relatif n (y compris n négatif).
7. Passer correctement à la notation e^x : e=exp(1), exp(x)=e^x, et écrire e^(x−y)=e^x/e^y.
8. Déterminer le sens de variation de e^x sur ℝ à partir du signe de sa dérivée (strictement croissante).
9. Construire l’équation de la tangente à y=e^x au point A(0;1) : y=x+1.
10. Maîtriser les réflexes de calculs d’exercices : dérivation d’un produit (uv)'=u'v+uv' et étude du signe de la dérivée sur un intervalle (comme sur [1,3]).