Lernzettel: Fonctions linéaires et affines

📋 Plan du Cours

1. Définition des fonctions linéaires
2. Représentation graphique des fonctions linéaires
3. Applications aux pourcentages avec fonctions linéaires
4. Définition des fonctions affines
5. Représentation graphique des fonctions affines

📖 1. Définition des fonctions linéaires

🔑 Notions clés & Définitions

• Fonction linéaire : Une fonction linéaire associe à chaque nombre $x$ l’image $ax$, avec $a$ fixé.
• Coefficient a : Le coefficient $a$ est le nombre fixé qui multiplie $x$ pour donner l’image $f(x)$.

📝 Points essentiels

• Une fonction linéaire s’écrit $f:x\mapsto ax$ et son image est notée $f(x)$.
• Pour $a=2$, on a $f(x)=2x$, donc $f(5)=10$, $f(-3)=-6$ et $f(1)=2$.
• Le tableau de proportionnalité correspond à $f(x)=2\times x$ avec coefficient de proportionnalité $2$.

💡 Astuce mémo

Coefficient = multiplicateur : $f(x)=a\times x$.

📖 2. Représentation graphique des fonctions linéaires

🔑 Notions clés & Définitions

• Représentation graphique : La représentation graphique d’une fonction linéaire est l’ensemble des points $(x;ax)$ dans un repère.
• Équation $y=ax$ : L’équation $y=ax$ décrit la droite associée à la fonction linéaire de coefficient $a$.

📝 Points essentiels

• La droite passe par l’origine et par le point $(1;a)$.
• Le coefficient $a$ est le coefficient directeur, lié à l’inclinaison de la droite.
• Si $a=0$, la droite se confond avec l’axe des abscisses.

💡 Astuce mémo

Deux points sûrs : $(0;0)$ et $(1;a)$.

📖 3. Applications aux pourcentages avec fonctions linéaires

🔑 Notions clés & Définitions

• Multiplication par un facteur : Les variations en pourcentage se traduisent par une multiplication de $x$ par un facteur constant.
• Facteurs 5% : Prendre, augmenter ou diminuer de 5% correspond à multiplier par $0{,}05$, $1{,}05$ ou $0{,}95$.

📝 Points essentiels

• Prendre $5\%$ de $x$ : $f(x)=0{,}05x$.
• Augmenter $x$ de $5\%$ : $g(x)=1{,}05x$ et diminuer de $5\%$ : $h(x)=0{,}95x$.
• Exemple avec $20$ : $f(20)=1$, $g(20)=21$, $h(20)=19$.

💡 Astuce mémo

+5% → $\times 1{,}05$ ; -5% → $\times 0{,}95$.

📖 4. Définition des fonctions affines

🔑 Notions clés & Définitions

• Fonction affine : Une fonction affine associe à chaque nombre $x$ l’image $ax+b$, avec $a$ et $b$ fixés.
• Ordonnée à l’origine b : Le paramètre $b$ est la valeur de la fonction quand $x=0$.

📝 Points essentiels

• Une fonction affine s’écrit $g:x\mapsto ax+b$ et son image est notée $g(x)$.
• Pour $g(x)=2x-3$, on a $g(5)=7$, $g(-3)=-9$ et $g(0)=-3$.
• La fonction $g(x)=2x$ est la fonction linéaire associée à $f$ (on enlève le terme $b$).

💡 Astuce mémo

Affine = linéaire + décalage : $ax+b$.

📖 5. Représentation graphique des fonctions affines

🔑 Notions clés & Définitions

• Représentation graphique d’une fonction affine : La représentation graphique d’une fonction affine est l’ensemble des points $(x;ax+b)$.
• Équation $y=ax+b$ : L’équation $y=ax+b$ décrit la droite associée à la fonction affine.

📝 Points essentiels

• La droite est parallèle à celle de la fonction linéaire associée.
• La droite passe par le point $(0;b)$.
• $a$ est le coefficient directeur et $b$ est l’ordonnée à l’origine (hauteur de coupe avec l’axe des ordonnées).

💡 Astuce mémo

Ordonnée à l’origine : $(0;b)$.

⚠️ Pièges & confusions fréquents

1. Confondre $f(x)=ax$ (linéaire) avec $g(x)=ax+b$ (affine) : le terme $b$ décale la droite.
2. Se tromper de facteur pour les pourcentages : +5% n’est pas $\times 0{,}05$ mais $\times 1{,}05$.
3. Inverser les signes sur les exemples : avec $a=2$, $f(-3)=-6$ et avec $g(x)=2x-3$, $g(-3)=-9$.

✅ Checklist Examen

1. Savoir écrire une fonction linéaire sous la forme $f:x\mapsto ax$ et calculer $f(x)$ pour des valeurs données.
2. Savoir placer la droite $y=ax$ avec les points $(0;0)$ et $(1;a)$ et interpréter le cas $a=0$.
3. Savoir transformer une variation en pourcentage en multiplication : $5\%\to\times 0{,}05$, $+5\%\to\times 1{,}05$, $-5\%\to\times 0{,}95$.
4. Savoir écrire une fonction affine sous la forme $g:x\mapsto ax+b$ et calculer $g(x)$ pour des valeurs données.
5. Savoir décrire la droite $y=ax+b$ : parallèle à la linéaire associée, passant par $(0;b)$, avec $a$ directeur et $b$ ordonnée à l’origine.