Lernzettel: Fonctions polynômes du second degré

📋 Plan du Cours

1. Définition du trinôme
2. Forme canonique et méthode
3. Variations et extremum
4. Parabole et représentation graphique

📖 1. Définition du trinôme

🔑 Notions clés & Définitions

• Fonction polynôme du second degré : Une fonction définie sur ℝ par $f(x)=ax^2+bx+c$, où a, b et c sont des réels et $a\ne0$.

★ À maîtriser

📌 La fonction $j(x)=(x-4)(5-2x)$ est une fonction polynôme du second degré, tandis que $k(x)=5x-3$ est du premier degré et $l(x)=5x^4-7x^3+3x-8$ est du quatrième degré.

Compléments

• Une fonction polynôme du second degré est aussi appelée un trinôme.

• Les fonctions $f(x)=3x^2-7x+3$, $g(x)=\frac{1}{2}x^2-5x+\frac{3}{5}$ et $h(x)=4-2x^2$ sont des fonctions polynômes du second degré.

📖 2. Forme canonique et méthode

🔑 Notions clés & Définitions

• Forme canonique : Toute fonction $f(x)=ax^2+bx+c$ avec $a\ne0$ peut s'écrire $f(x)=a(x-\alpha)^2+\beta$, appelée forme canonique.

★ À maîtriser

📐 Formule — Pour $f(x)=ax^2+bx+c$, les paramètres de la forme canonique vérifient $\alpha=-\frac{b}{2a}$ et $\beta=-\frac{b^2-4ac}{4a}$.

• Pour obtenir la forme canonique, on met d'abord a en facteur devant les termes en x, on complète le carré, puis on simplifie l'expression.

Compléments

• La fonction $f(x)=2x^2-20x+10$ s'écrit sous forme canonique $f(x)=2(x-5)^2-40$.

📖 3. Variations et extremum

★ À maîtriser

📌 Si $a>0$, la fonction est d'abord décroissante puis croissante, tandis que si $a<0$, elle est d'abord croissante puis décroissante.

📌 Pour une fonction sous la forme $f(x)=a(x-\alpha)^2+\beta$, si $a>0$, le minimum est atteint en $x=\alpha$ et vaut $\beta$.

📌 Pour une fonction sous la forme $f(x)=a(x-\alpha)^2+\beta$, si $a<0$, le maximum est atteint en $x=\alpha$ et vaut $\beta$.

Compléments

📐 Formule — Pour $f(x)=ax^2+bx+c$, l'abscisse de l'extremum est $\alpha=-\frac{b}{2a}$ et son ordonnée est $\beta=f\left(-\frac{b}{2a}\right)$.

📖 4. Parabole et représentation graphique

🔑 Notions clés & Définitions

• Parabole : La représentation graphique d'une fonction polynôme du second degré s'appelle une parabole.
• Sommet de la parabole : Le point de coordonnées $(\alpha;\beta)$ et correspond à l'extremum de la fonction.

★ À maîtriser

• L'axe de symétrie de la parabole a pour équation $x=\alpha$.

Compléments

• Pour représenter une parabole, on détermine sa forme canonique et son sommet, on calcule quelques points de la courbe, puis on complète les points par symétrie par rapport à la droite $x=\alpha$.

• La fonction $f(x)=-x^2+4x$ s'écrit $f(x)=-(x-2)^2+4$ et possède donc un maximum égal à 4 atteint en $x=2$.

📊 Tableaux de synthèse

Effet du signe de a

Condition	Variations	Extremum
a > 0	Décroissante puis croissante	Minimum en α, égal à β
a < 0	Croissante puis décroissante	Maximum en α, égal à β