Revision sheet: Fonctions et variations

📋 Plan du Cours

1. Vocabulaire et calculs fondamentaux
2. Représentations et tableaux
3. Variations et extrema
4. Fonctions de référence
5. Résolutions graphique et algébrique
6. Signe et taux de variation
7. Composition et erreurs fréquentes

📖 1. Vocabulaire et calculs fondamentaux

🔑 Notions clés & Définitions

• Fonction : Associe à chaque nombre x un unique nombre appelé image, noté f(x).

★ À maîtriser

• Si f(4)=11, alors 4 est un antécédent de 11 et 11 est l’image de 4.

• Pour calculer l’image d’un nombre, on remplace x par ce nombre dans l’expression de la fonction.

📌 Lorsqu’une valeur négative remplace x, elle doit être placée entre parenthèses, car (−3)^2=9 alors que −3^2=−9.

Compléments

• Pour f(x)=2x+3, on obtient f(4)=2×4+3=11.

💡 Astuce mémo

L’antécédent entre, l’image sort

📖 2. Représentations et tableaux

🔑 Notions clés & Définitions

• Courbe représentative : D’une fonction est l’ensemble de ses points, généralement de coordonnées (x;f(x)).

★ À maîtriser

• Pour trouver un antécédent de a, il faut résoudre l’équation f(x)=a.

• Pour lire graphiquement f(3), on part de 3 sur l’axe des abscisses, on monte jusqu’à la courbe, puis on lit l’ordonnée correspondante.

• Pour trouver graphiquement les antécédents de 4, on part de 4 sur l’axe des ordonnées, on rejoint horizontalement la courbe, puis on lit les abscisses correspondantes.

Compléments

• Pour f(x)=2x+5, l’antécédent de 13 est trouvé par 2x+5=13, donc x=4.

📌 Si f(2)=5, alors le point (2;5) appartient à la courbe de la fonction.

• Pour f(x)=x^2−1, le tableau de valeurs donne f(−2)=3, f(−1)=0, f(0)=−1, f(1)=0 et f(2)=3.

📖 3. Variations et extrema

🔑 Notions clés & Définitions

• Fonction croissante : Une fonction est croissante lorsque, si x augmente, f(x) augmente également.
• Fonction décroissante : Une fonction est décroissante lorsque, si x augmente, f(x) diminue.
• Maximum : La plus grande valeur atteinte par une fonction.
• Minimum : La plus petite valeur atteinte par une fonction.

📝 Points essentiels

• Si f(x)≤7, alors 7 est un maximum de f, et si f(x)≥−3, alors −3 est un minimum de f.

• Dans le tableau de variations fourni, la fonction décroît jusqu’à x=2, atteint un minimum en x=2, puis croît.

💡 Astuce mémo

Croître monte, décroître descend

📖 4. Fonctions de référence

🔑 Notions clés & Définitions

• Fonction affine : Une fonction de la forme $f(x)=ax+b$, dont la représentation graphique est une droite.
• Fonction linéaire : Une fonction affine de la forme $f(x)=ax$, donc avec b=0, et sa courbe passe par l’origine (0;0).
• Fonction carré : Définie par $f(x)=x^2$ et sa courbe est une parabole.
• Fonction inverse : Définie par $f(x)=\frac{1}{x}$, sa courbe est une hyperbole et elle n’est pas définie en 0.
• Fonction racine carrée : Définie par $f(x)=\sqrt{x}$ uniquement pour x≥0, sur le domaine [0;+∞[.

★ À maîtriser

• Pour une fonction affine, a>0 donne une fonction croissante, a<0 une fonction décroissante et a=0 une fonction constante.

• La fonction carré est décroissante sur ]−∞;0], croissante sur [0;+∞[, et possède un minimum égal à 0 atteint en x=0.

• Le domaine de définition de la fonction inverse est ℝ∖{0}; elle est décroissante sur ]−∞;0[ et sur ]0;+∞[.

Compléments

• Dans une fonction affine $f(x)=ax+b$, a est le coefficient directeur et b est l’ordonnée à l’origine.

• Pour tout réel x, x^2≥0 et (−x)^2=x^2, donc la fonction carré est paire.

📌 Pour la fonction inverse, f(x)>0 si x>0 et f(x)<0 si x<0.

• La fonction racine carrée est croissante sur son domaine [0;+∞[.

📖 5. Résolutions graphique et algébrique

★ À maîtriser

• Résoudre graphiquement f(x)=0 revient à chercher les abscisses des points où la courbe coupe l’axe des abscisses.

• Résoudre graphiquement f(x)=k revient à chercher les abscisses des intersections entre la courbe et la droite horizontale y=k.

• Pour f(x)=x^2−4, résoudre f(x)=0 revient à factoriser x^2−4=(x−2)(x+2), d’où x=−2 ou x=2.

Compléments

• Pour résoudre graphiquement f(x)>0, on cherche les portions de courbe situées au-dessus de l’axe des abscisses.

• Pour résoudre graphiquement f(x)<0, on cherche les portions de courbe situées en dessous de l’axe des abscisses.

📖 6. Signe et taux de variation

🔑 Notions clés & Définitions

• Signe d’une fonction : Étudier le signe d’une fonction consiste à déterminer où f(x)>0, où f(x)=0 et où f(x)<0.

★ À maîtriser

📐 Formule — Entre a et b, le taux de variation d’une fonction est $\frac{f(b)-f(a)}{b-a}$.

Compléments

• Pour f(x)=(x−2)(x+3), les valeurs importantes pour construire le tableau de signes sont x=2 et x=−3.

• Pour f(x)=x^2 entre 1 et 3, le taux de variation vaut $\frac{f(3)-f(1)}{3-1}=\frac{9-1}{2}=4$.

📖 7. Composition et erreurs fréquentes

🔑 Notions clés & Définitions

• Fonction composée : L’expression f(g(x)) signifie qu’on calcule d’abord g(x), puis qu’on applique f au résultat.

★ À maîtriser

📌 Il faut regarder tout l’intervalle demandé pour conclure qu’une fonction est croissante, et non seulement une portion de courbe qui monte.

• La fonction inverse n’existe pas pour x=0, tandis que la fonction racine carrée n’est pas définie dans ℝ pour x<0.

Compléments

• Si f(x)=x^2 et g(x)=x+1, alors f(g(x))=(x+1)^2.

📊 Tableaux de synthèse

Fonctions de référence

Fonction	Domaine	Variations et propriétés
Carré $x^2$	ℝ	Décroissante sur ]−∞;0], croissante sur [0;+∞[, minimum 0 en 0, paire
Inverse $\frac{1}{x}$	ℝ∖{0}	Décroissante sur ]−∞;0[ et ]0;+∞[; signe de x
Racine carrée $\sqrt{x}$	[0;+∞[	Croissante sur son domaine