Revision sheet: Préparation mathématique à l’ECS

📋 Plan du Cours

1. Rédaction et quantificateurs
2. Raisonnements par récurrence
3. Preuves par contradiction et analyse-synthèse
4. Sommes, produits et factorielles
5. Trigonométrie et nombres complexes
6. Inégalités et trinômes réels
7. Signe d’un trinôme
8. Calcul des dérivées
9. Tangente à un graphe
10. Applications de la dérivation
11. Techniques de calcul des limites
12. Rappels d’intégration
13. Intégration par parties

📖 1. Rédaction et quantificateurs

🔑 Notions clés & Définitions

• Quantificateurs : Le quantificateur universel $\forall$ signifie « pour tout », tandis que le quantificateur existentiel $\exists$ signifie « il existe ».
• Convergence d'une suite vers zéro : Une suite réelle $(u_n)_{n\geq 0}$ converge vers zéro lorsque $\forall \varepsilon>0,\ \exists N\in\mathbb{N},\ \forall n\in\mathbb{N},\ n\geq N\Rightarrow |u_n|\leq\varepsilon$.

📝 Points essentiels

• Un objet mathématique doit être déclaré avant son utilisation, notamment en précisant sa nature par une formulation comme « soit n un élément de N* ».

📌 Une démonstration mathématique doit être rédigée en phrases complètes et les quantificateurs ainsi que les symboles d’implication et d’équivalence ne doivent pas servir d’abréviations dans le discours.

📖 2. Raisonnements par récurrence

🔑 Notions clés & Définitions

• Récurrence forte : Démontre $P_{n+1}$ en supposant vraies toutes les propriétés $P_0,\ldots,P_n$.

★ À maîtriser

• Pour démontrer par récurrence qu'une propriété $P_n$ est vraie pour tout entier naturel, il faut établir l'initialisation puis l'hérédité, c'est-à-dire montrer que $P_n$ entraîne $P_{n+1}$.

📐 Formule — Pour tout entier naturel non nul $n$, la somme des carrés vérifie $1^2+2^2+\cdots+n^2=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$.

Compléments

• Une récurrence portant sur les entiers de $\mathbb{N}^*$ commence par la vérification de $P_1$, et non de $P_0$.

📖 3. Preuves par contradiction et analyse-synthèse

★ À maîtriser

• Un raisonnement par l'absurde suppose la négation de la propriété à établir, puis conduit cette hypothèse à une contradiction.

• La preuve de l'irrationalité de $\sqrt{2}$ suppose $\sqrt{2}=p/q$ avec une fraction irréductible, puis montre que $p$ et $q$ sont tous deux pairs, ce qui est contradictoire.

• Un raisonnement par analyse-synthèse détermine d'abord les propriétés nécessaires d'une solution éventuelle, puis vérifie lesquelles des solutions candidates satisfont effectivement le problème initial.

Compléments

📐 Formule — Toute fonction réelle $f$ se décompose de manière unique en une fonction paire et une fonction impaire définies par $p(x)=\frac{f(x)+f(-x)}{2}$ et $i(x)=\frac{f(x)-f(-x)}{2}$.

• Les fonctions dérivables $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ vérifiant $f(x+y)=f(x)+f(y)$ pour tous réels $x,y$ sont exactement les fonctions linéaires $f(x)=ax$ avec $a\in\mathbb{R}$.

💡 Astuce mémo

Analyser les candidats, puis vérifier la solution.

📖 4. Sommes, produits et factorielles

🔑 Notions clés & Définitions

• Somme télescopique : Si $a_n=b_{n+1}-b_n$, alors $\sum_{k=0}^{n}a_k=b_{n+1}-b_0$, car les termes intermédiaires se simplifient deux à deux.
• Factorielle : Pour $n\in\mathbb{N}^*$, la factorielle est définie par $n!=1\times2\times\cdots\times n$, avec par convention $0!=1$.

★ À maîtriser

📐 Formule — Pour tout entier naturel $n$, la somme des entiers de $1$ à $n$ vaut $\sum_{k=1}^{n}k=\frac{n(n+1)}{2}$.

📐 Formule — Pour $a\neq1$, la somme géométrique vérifie $\sum_{k=0}^{n}a^k=\frac{a^{n+1}-1}{a-1}$.

Compléments

📐 Formule — Pour tout entier $n\geq1$, on a $\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{k(k+1)}=1-\frac{1}{n+1}$, et cette somme tend vers $1$ lorsque $n$ tend vers $+\infty$.

📐 Formule — Les coefficients binomiaux vérifient $\binom{n}{m}=\frac{n!}{m!(n-m)!}$ et la formule de symétrie $\binom{n}{n-m}=\binom{n}{m}$.

📖 5. Trigonométrie et nombres complexes

🔑 Notions clés & Définitions

• Forme trigonométrique : Tout nombre complexe non nul peut s'écrire sous la forme $z=re^{i\theta}$ avec $r\in\mathbb{R}_+^*$ et $\theta\in\mathbb{R}$.

★ À maîtriser

📐 Formule — Les formules d'addition sont $\cos(x+y)=\cos x\cos y-\sin x\sin y$ et $\sin(x+y)=\sin x\cos y+\sin y\cos x$.

📐 Formule — Les formules de duplication sont $\cos(2x)=2\cos^2x-1=1-2\sin^2x$ et $\sin(2x)=2\sin x\cos x$.

Compléments

📐 Formule — Pour tout nombre complexe $z$, son module et son conjugué vérifient $|z|^2=z\overline{z}$.

• Le programme étudié comprend la représentation géométrique des nombres complexes et la résolution dans $\mathbb{C}$ des équations du second degré à coefficients réels.

📖 6. Inégalités et trinômes réels

🔑 Notions clés & Définitions

• Discriminant : Pour le trinôme $f(x)=ax^2+bx+c$ avec $a\neq0$, le discriminant est $\Delta=b^2-4ac$.

★ À maîtriser

📌 Pour manipuler une inégalité, il faut maîtriser les règles de signe et factoriser l'expression lorsque cela facilite l'étude de son signe.

📐 Formule — Pour tous réels positifs ou nuls $x,y$, l'inégalité arithmético-géométrique donne $\sqrt{xy}\leq\frac{x+y}{2}$, avec égalité si et seulement si $x=y$.

• Un trinôme de discriminant nul possède une racine réelle double $-\frac{b}{2a}$, un discriminant positif donne deux racines réelles distinctes, et un discriminant négatif donne deux racines complexes conjuguées non réelles.

📌 Lorsque $a>0$ et $\Delta>0$, le trinôme est positif à l'extérieur de l'intervalle formé par ses deux racines et négatif entre elles.

Compléments

📐 Formule — Si $x_1$ et $x_2$ sont les racines complexes d'un trinôme $ax^2+bx+c$, alors $x_1+x_2=-\frac{b}{a}$ et $x_1x_2=\frac{c}{a}$.

📖 7. Signe d’un trinôme

📝 Points essentiels

📐 Formule — Pour les racines x₁ et x₂ de $ax^2+bx+c$, on a $x_1+x_2=-\frac{b}{a}$ et $x_1x_2=\frac{c}{a}$.

📌 Si $c/a>0$, les deux racines réelles sont de même signe, et leur signe commun est celui de $-b/a$.

📌 Si $c/a<0$, le trinôme possède deux racines réelles non nulles de signes opposés.

📌 Si a>0 et Δ>0, le trinôme est strictement positif sauf en ses deux racines, où il s’annule.

• Si a>0 et Δ<0, le trinôme est strictement positif sur R ; si Δ=0, il est positif partout et s’annule uniquement à la racine double ; si Δ>0, il est positif à l’extérieur des racines et négatif entre elles.

📖 8. Calcul des dérivées

🔑 Notions clés & Définitions

• Dérivée d’une composée : Si g∘f est définie et si f est dérivable en x ainsi que g en f(x), alors $(g\circ f)'(x)=g'(f(x))\,f'(x)$.

★ À maîtriser

📐 Formule — La dérivée d’un produit vérifie $(uv)'=u'v+uv'$, tandis que celle d’un quotient se calcule par $\left(\frac{u}{v}\right)'=\frac{u'v-uv'}{v^2}$ lorsque v ne s’annule pas.

Compléments

• Les dérivées des fonctions usuelles et des fonctions composées permettent notamment de dériver les polynômes, la racine carrée, le logarithme, l’exponentielle et les fonctions trigonométriques.

💡 Astuce mémo

Extérieure puis intérieure : dériver la composée.

📖 9. Tangente à un graphe

🔑 Notions clés & Définitions

• Pente de la tangente : Lorsque f est dérivable, le nombre f′(a) représente la pente de la tangente au graphe de f au point d’abscisse a.

📝 Points essentiels

📐 Formule — L’équation de la tangente au graphe de f au point d’abscisse a est $y=f(a)+f'(a)(x-a)$.

📐 Formule — La méthode de Newton associe à une approximation xₙ d’une racine de f(x)=0 l’approximation suivante $x_{n+1}=x_n-\frac{f(x_n)}{f'(x_n)}$.

📖 10. Applications de la dérivation

★ À maîtriser

• Pour étudier une fonction dérivable, on détermine le signe de sa dérivée, on en déduit ses variations, puis on utilise le tableau de variations pour compter et positionner les solutions de f(x)=λ.

📐 Formule — Pour tout réel x, l’inégalité exponentielle fondamentale est $e^x\geq x+1$, avec égalité si et seulement si x=0.

Compléments

• Pour f(x)=x⁵−5x, la fonction est strictement croissante sur ]−∞,−1], strictement décroissante sur [−1,1], puis strictement croissante sur [1,+∞[, avec f(−1)=4 et f(1)=−4.

📐 Formule — Pour a>0, la suite de Newton de la racine carrée vérifie $u_{n+1}=\frac12\left(u_n+\frac{a}{u_n}\right)$ et converge vers $\sqrt a$.

💡 Astuce mémo

Signe de la dérivée → variations → solutions et inégalités.

📖 11. Techniques de calcul des limites

★ À maîtriser

• Pour calculer une limite à l’infini, on peut utiliser les opérations sur les limites, l’encadrement, les taux de variation, les croissances comparées, la factorisation du terme prépondérant ou la forme exponentielle.

📐 Formule — Si P et Q sont des polynômes de degrés p et q, de coefficients dominants aₚ et b_q, alors la limite de $P(x)/Q(x)$ en +∞ vaut 0 si q>p, $a_p/b_q$ si p=q, et tend vers ±∞ selon le signe de $a_p/b_q$ si p>q.

📐 Formule — La définition de la dérivée donne $\frac{f(x)-f(a)}{x-a}\longrightarrow f'(a)$ lorsque x tend vers a.

Compléments

• Les limites fondamentales en zéro sont $\frac{e^x-1}{x}\to1$ et $\frac{\sin x}{x}\to1$ lorsque x tend vers 0.

• La fonction x↦sin(1/x) n’a pas de limite en 0, tandis que sa limite en +∞ vaut 0.

📖 12. Rappels d’intégration

🔑 Notions clés & Définitions

• Primitive : F d’une fonction f sur un intervalle vérifie F′=f ; si f est continue, la fonction $x\mapsto\int_a^x f(t)\,dt$ est une primitive de f.

★ À maîtriser

📐 Formule — Pour α≠−1, les primitives de $x^\alpha$ sur R₊* sont $\frac{x^{\alpha+1}}{\alpha+1}+C$, tandis que les primitives de $1/x$ sont $\ln(x)+C$.

📐 Formule — L’intégrale est linéaire : $\int_a^b(f+g)=\int_a^b f+\int_a^b g$ et $\int_a^b\lambda f=\lambda\int_a^b f$.

📐 Formule — La forme intégrale de l’inégalité triangulaire est $\left|\int_a^b f(t)\,dt\right|\leq\int_a^b|f(t)|\,dt$.

Compléments

📌 Si a<b et f(t)≤g(t) sur [a,b], alors $\int_a^b f(t)\,dt\leq\int_a^b g(t)\,dt$.

📖 13. Intégration par parties

🔑 Notions clés & Définitions

• Intégration par parties : Pour u et v suffisamment régulières, $\int_a^b u(t)v'(t)\,dt=[u(t)v(t)]_a^b-\int_a^b u'(t)v(t)\,dt$.

★ À maîtriser

• L’intégration par parties est utile lorsque la primitive de u′v est plus simple à calculer que celle de uv′.

Compléments

• Pour x réel, on a $\int_0^x t\cos(t)\,dt=x\sin(x)+\cos(x)-1$.

• Pour x>0, on a $\int_1^x\ln(t)\,dt=x\ln(x)-x+1$, donc les primitives de ln sur R₊* sont $x\ln(x)-x+C$.

📊 Tableaux de synthèse

Cas du discriminant

Condition	Racines	Signe pour a>0
$\Delta<0$	Deux racines complexes conjuguées non réelles	Positif sur $\mathbb{R}$
$\Delta=0$	Une racine réelle double	Positif sauf à la racine
$\Delta>0$	Deux racines réelles distinctes	Négatif entre les racines, positif à l'extérieur

Signe d’un trinôme selon le discriminant

Condition	Racines	Signe pour a>0
Δ<0	Aucune racine réelle	Positif partout
Δ=0	Une racine double	Positif sauf à la racine
Δ>0	Deux racines réelles	Positif à l’extérieur, négatif entre elles