Karteikarten: Fondements des espaces préhilbertiens — 21 Karten

Espace préhilbertien — définition ?

Espace vectoriel avec produit scalaire symétrique, défini positif.

Forme bilinéaire — rôle ?

Fonction linéaire bilatérale sur un espace vectoriel.

Produit scalaire — propriété clé ?

Linéarité, symétrie, positivité.

Norme euclidienne — relation ?

$ orm{x} = oot{2} ext{(x|x)}$.

Orthogonalité — condition ?

$(x|y) = 0$.

Projection orthogonale — définition ?

Projection d’un vecteur sur un sous-espace, orthogonale à son complément.

Endomorphisme orthogonal — caractéristique ?

Préserve le produit scalaire.

Matrices orthogonales — condition ?

$A^ op A = I$.

Rotation en 2D — matrice ?

$egin{pmatrix}\cos heta & -\sin heta \ \sin heta & \cos heta \\end{pmatrix}$.

Rotation en 3D — caractéristique ?

Autour d’un axe, conserve norme et angle.

Réduction endomorphismes symétriques — but ?

Diagonaliser dans une base orthonormée de vecteurs propres.

Forme bilinéaire symétrique — propriété ?

$orall x,y$, $ ext{ϕ}(x,y) = ext{ϕ}(y,x)$.

Produit scalaire — notation usuelle ?

$(x|y)$.

Norme euclidienne — propriété ?

Inégalité de Cauchy-Schwarz.

Orthogonalité — sous-espaces ?

Deux sous-espaces orthogonaux si $(x|y)=0$ pour tout $x,y$.

Projection orthogonale — formule ?

$p_F(x) = extstyle\sum_{i=1}^r (e_i|x) e_i$.

Endomorphisme orthogonal — matrice ?

Matériel dans $O(n)$, conserve produit scalaire.

Matrice orthogonale — propriété ?

Inverse = transposée.

Rotation 2D — groupe ?

$SO(2)$, rotations d’angle $ heta$.

Rotation 3D — axe ?

Vecteur propre associé à 1, axe de rotation.

Réduction endomorphismes symétriques — théorème ?

Diagonalisation dans base orthonormée de vecteurs propres.