Lernzettel: Généralités sur les suites

📋 Plan du Cours

1. Notion de suite numérique
2. Définition et calcul des termes
3. Représentation graphique
4. Modélisation des évolutions

📖 1. Notion de suite numérique

🔑 Notions clés & Définitions

• Suite numérique : Une fonction qui associe à chaque entier naturel n un nombre réel noté uₙ, et elle se note (uₙ).

📝 Points essentiels

• Les suites numériques permettent de modéliser des phénomènes qui évoluent étape par étape.
  • ⚠️ Une suite numérique décrit une évolution discrète par étapes, contrairement à une évolution continue.

📖 2. Définition et calcul des termes

🔑 Notions clés & Définitions

• Suite définie explicitement : Une suite est définie explicitement lorsqu’elle s’exprime sous la forme $u_n=f(n)$, où f est une fonction.
  • ⚠️ Une définition explicite donne uₙ en fonction de n, contrairement à une définition par récurrence qui utilise le terme précédent.
• Suite définie par récurrence : Une suite est définie par récurrence lorsqu’un premier terme est donné et qu’une relation $u_{n+1}=f(u_n)$ permet de calculer chaque terme à partir du précédent.

📝 Points essentiels

★ À maîtriser

• Pour calculer un terme d’une suite définie explicitement, on remplace directement n par sa valeur dans la formule.

  • ⚠️ Le calcul direct remplace n dans une formule, alors que le calcul itératif utilise les termes précédents.

• Le calcul d’une suite définie par récurrence se fait de proche en proche, à partir du premier terme donné.

Compléments

• Pour la suite définie par $u_n=3n^2-n+1$, on obtient $u_0=1$, $u_3=25$ et $u_{10}=291$.

• Si $u_0=1$ et $u_{n+1}=3u_n+2$, alors $u_1=5$ puis $u_2=17$.

📖 3. Représentation graphique

📝 Points essentiels

• La représentation graphique d’une suite est un nuage de points de coordonnées $(n,u_n)$ dans un repère.

  • ⚠️ Une suite se représente par des points isolés, contrairement à une fonction représentée par une courbe continue.

• Dans le repère d’une suite, l’axe des abscisses représente l’indice n, qui est un entier naturel, et l’axe des ordonnées représente la valeur uₙ.

  • ⚠️ L’indice n se lit sur l’axe des abscisses, tandis que la valeur uₙ se lit sur l’axe des ordonnées.

• Pour représenter une suite, il faut calculer ses premiers termes, déterminer une échelle adaptée aux valeurs, puis placer les points $(0,u_0)$, $(1,u_1)$, $(2,u_2)$, sans les relier par une courbe continue.

📖 4. Modélisation des évolutions

📝 Points essentiels

★ À maîtriser

• Pour modéliser un phénomène discret par une suite, on identifie la situation initiale et la relation entre deux termes successifs.
  • ⚠️ La modélisation par suite concerne une évolution par paliers, contrairement à une évolution continue.

📐 Formule — Une évolution linéaire par ajout constant est modélisée par $u_{n+1}=u_n+r$.

• ⚠️ L’évolution linéaire ajoute une constante r, alors que l’évolution géométrique multiplie par une constante q.

📐 Formule — Une évolution géométrique par multiplication constante est modélisée par $u_{n+1}=q\times u_n$.

Compléments

📐 Formule — Une évolution mixte est modélisée par $u_{n+1}=a\times u_n+b$.

• Une population initiale de 500 lapins augmentant de 20 % par an se modélise par $u_0=500$ et $u_{n+1}=1,2\times u_n$.

📊 Tableaux de synthèse

Modes de définition d’une suite

Mode	Relation	Calcul d’un terme
Explicite	$u_n=f(n)$	Calcul direct à partir de n
Récurrence	$u_{n+1}=f(u_n)$ avec un premier terme	Calcul de proche en proche