Lernzettel: Géométrie des cercles et droites

📋 Plan du Cours

1. Équation cartésienne d'une droite
2. Forme générale d'un cercle
3. Intersection d'une droite et d'un cercle
4. Vecteur normal à une droite
5. Équation d'un cercle de centre et rayon
6. Cercle de diamètre donné

📖 1. Équation cartésienne d'une droite

🔑 Notions clés & Définitions

• Équation cartésienne ax+by+c=0 : Une équation cartésienne de type ax+by+c=0 représente un droit dans le plan.
• Vecteur normal m~ (a,b) : Un vecteur normal m~ (a,b) est un vecteur orthogonal à un vecteur directeur du droit.
• Point A(xA,yA) et droite : Une droite passant par A vérifie une équation obtenue à partir de la condition d’orthogonalité avec un vecteur normal.

📝 Points essentiels

• Si la droite passe par A(xA,yA) et a pour vecteur normal m~(a,b), alors tout point M(x,y) de la droite vérifie (x-xA,y-yA)·(a,b)=0.
• En développant, on obtient l’équation ax+by+c=0 avec c=-axA-byA.
• Réciproquement, l’équation ax+by+c=0 correspond à une droite dont un vecteur normal est m~(a,b).
• Exemple avec A(2,1) et m~(3,-1) : on obtient 2x+3y+c=0 puis la forme 2x+3y+(-2·2-3·1)=0 (donc c fixé par c=-axA-byA).

💡 Astuce mémo

Condition m∥perp : (x-xA,y-yA)·(a,b)=0 ⇒ ax+by+c=0.

📖 2. Forme générale d'un cercle

🔑 Notions clés & Définitions

• Forme x²+y²+ax+by+c=0 : La forme x²+y²+ax+by+c=0 est une écriture algébrique générale d’un cercle (ou d’un cas dégénéré/vide selon les valeurs).
• Cercle de centre (h,k) : Un cercle peut s’écrire sous la forme (x-h)²+(y-k)²=r² où (h,k) est son centre.
• Rayon r : Le rayon r correspond à la valeur telle que (x-h)²+(y-k)²=r².

📝 Points essentiels

• En complétant les carrés, x²+y²+ax+by+c=0 se met sous la forme (x-h)²+(y-k)²=r².
• Exemple : x²+y²-2x+10y+17=0 ⇔ (x-1)²+(y+5)²=9, donc centre (1,-5) et rayon 3.
• Exemple : x²+y²-16x+6y+83=0 ⇔ (x-8)²+(y+3)²=10, ce qui est déclaré impossible donc l’ensemble est vide.
• Exemple : x²+y²-2x+4y+5=0 ⇔ (x-1)²+(y+2)²=0, donc c’est un seul point (1,-2).

💡 Astuce mémo

Toujours chercher la forme carrés : (x-h)²+(y-k)² = r².

📖 3. Intersection d'une droite et d'un cercle

🔑 Notions clés & Définitions

• Intersection droite (d) et cercle (c) : L’intersection d’une droite et d’un cercle se trouve en remplaçant l’équation de la droite dans celle du cercle.
• Cercle de centre A(xA,yA) : Un cercle est décrit par (x-xA)²+(y-yA)²=R².
• Droite 2x-y+2=0 : Une droite peut être fournie directement sous une équation cartésienne du type ax+by+c=0.

📝 Points essentiels

• Si (c) : (x-2)²+(y-1)²=(5/2)² et (d) : 2x-y+2=0, alors l’équation du cercle se développe en x²+y²-4x-2y+5/4=0.
• Le système (d) avec x²+y²-4x-2y+5/4=0 permet de déterminer les points d’intersection.
• Dans l’exemple, la transformation du cercle se fait par expansion : (x-2)²+(y-1)²=25/4 ⇔ x²+y²-4x-2y+5/4=0.

💡 Astuce mémo

Intersection = résoudre ensemble : équation du cercle et équation de la droite.

📖 4. Vecteur normal à une droite

🔑 Notions clés & Définitions

• Vecteur normal à une droite : Un vecteur normal m~ à une droite est un vecteur orthogonal à un vecteur directeur de cette droite.
• Orthogonalité avec le produit scalaire : La droite est caractérisée par la condition d’orthogonalité, formulée à l’aide d’un produit scalaire avec le vecteur normal.
• Équation d’un droit de vecteur normal : Un droit ayant pour vecteur normal (a,b) peut s’écrire sous la forme ax+by+c=0.

📝 Points essentiels

• Un vecteur normal m~(a,b) est orthogonal à un vecteur directeur u~ du droit, donc la direction du droit est compatible avec une équation obtenue par produit scalaire.
• Propriété : un droit de vecteur normal (a,b) admet une équation cartésienne ax+by+c=0.
• Réciproquement, une équation ax+by+c=0 représente un droit dont (a,b) est un vecteur normal.
• Le vecteur normal sert aussi à produire la constante c quand on connaît un point A(xA,yA) appartenant à la droite via axA+byA+c=0.

💡 Astuce mémo

Normal = orthogonal à la direction : m~ · u~ = 0 (et cela mène à ax+by+c=0).

📖 5. Équation d'un cercle de centre et rayon

🔑 Notions clés & Définitions

• Cercle de centre A(a,b) : Un cercle de centre A(a,b) a pour équation générale (x-a)²+(y-b)²=r² après identification.
• Forme canonique du cercle : La forme (x-a)²+(y-b)²=r² isole directement le centre et le rayon.

📝 Points essentiels

• L’équation d’un cercle de centre A( a,b ) et de rayon r est (x-2a)²+(y-b)²=r² d’après la propriété affichée dans l’extrait.
• Exemple : si (x-1)²+(y-2)²=1, alors en imposant x=1 on obtient y=1 ou y=3 (deux points du cercle).
• Dans l’exemple du cours, le rayon 1 correspond bien à l’égalité (x-1)²+(y-2)²=1.

💡 Astuce mémo

Centre dans les parenthèses : (x-a)²+(y-b)²=r².

📖 6. Cercle de diamètre donné

🔑 Notions clés & Définitions

• Cercle de diamètre [AB] : Le cercle de diamètre [AB] est décrit par une condition de perpendicularité reliant les vecteurs MA et MB.
• Condition MA·MB=0 : Le cercle de diamètre [AB] est l’ensemble des points M tels que les vecteurs MA et MB soient orthogonaux.
• Équation développée avec A et B : À partir de MA·MB=0, on obtient une équation polynomiale en x et y de la forme x²+y²+...=0.

📝 Points essentiels

• Pour le cercle de diamètre [AB], l’ensemble des points M vérifie MA·MB=0.
• Exemple avec A(3,1) et B(2,6) : la condition devient (x-3)(x-2)+(y-1)(y-6)=0.
• En développant, on obtient x²+y²-5x-7y+12=0.
• L’extrait relie directement la donnée des deux extrémités A et B au calcul de l’équation du cercle par expansion.

💡 Astuce mémo

Diamètre = angle droit : MA ⟂ MB ⇒ MA·MB=0.

⚠️ Pièges & confusions fréquents

1. Confondre vecteur normal et vecteur directeur : le normal sert à écrire ax+by+c=0, pas directement la direction.
2. Oublier que la constante c dépend du point A : c=-axA-byA quand on connaît A et le vecteur normal (a,b).
3. Croire qu’une équation x²+y²+ax+by+c=0 donne forcément un cercle “avec points” : l’extrait montre aussi un ensemble vide et même un seul point.
4. Mal appliquer l’intersection : on ne “compare” pas au hasard, on résout le système (équations du cercle et de la droite).
5. Confondre l’orthogonalité de vecteurs MA et MB avec une simple égalité de distances : pour le diamètre, c’est bien MA·MB=0.
6. Confondre “centre” et “rayon” dans l’équation : le centre apparaît dans les termes (x-a)² et (y-b)², le rayon dans r².

✅ Checklist Examen

1. Savoir écrire l’équation d’une droite passant par A(xA,yA) et de vecteur normal (a,b) sous la forme ax+by+c=0 avec c=-axA-byA.
2. Savoir justifier qu’une équation ax+by+c=0 décrit une droite de vecteur normal (a,b).
3. Savoir passer de x²+y²+ax+by+c=0 à (x-h)²+(y-k)²=r² par complétion des carrés.
4. Savoir lire le centre et le rayon à partir de (x-h)²+(y-k)²=r².
5. Savoir traiter les cas de l’extrait : cercle impossible (ensemble vide) et équation donnant un seul point lorsque r²=0.
6. Savoir déterminer une équation du cercle puis construire le système avec la droite pour trouver les points d’intersection.
7. Savoir utiliser MA·MB=0 pour écrire l’équation du cercle de diamètre [AB].
8. Savoir développer (x-xA)(x-xB)+(y-yA)(y-yB)=0 pour obtenir une équation du cercle en x et y.
9. Vérifier sur l’exemple du cours : pour (x-1)²+(y-2)²=1, que x=1 donne bien y=1 ou y=3.