Lernzettel: Géométrie : triangles, médiatrices, médianes

📋 Plan du Cours

1. Inégalité triangulaire
2. Médiatrices d'un triangle
3. Médianes et cercle circonscrit

📖 1. Inégalité triangulaire

🔑 Notions clés & Définitions

• Inégalité triangulaire : Dans un triangle, la longueur de chaque côté est strictement inférieure à la somme des deux autres côtés.
• Condition d’existence d’un triangle : Pour que trois longueurs forment un triangle, elles doivent satisfaire l’inégalité triangulaire pour chaque côté.

📝 Points essentiels

• Si le triangle ABC existe, alors on peut écrire trois inégalités triangulaires : $BC<BA+AC$, $BA<BC+CA$ et $AC<AB+BC$.
• Dans l’exemple $AB=6$, $AC=2{,}5$ et $BC=3$, l’inégalité $6<2{,}5+3$ est fausse, donc ce triangle n’est pas possible.
• Si $BC=BM+MC$, alors les points $B$, $M$ et $C$ sont alignés et $M\in[AB]$.
• L’égalité seule (au lieu d’un $<$) correspond à un cas limite qui mène à une configuration alignée des points.

💡 Astuce mémo

Mémoriser : chaque côté est plus petit que la somme des deux autres (côté < somme).

📖 2. Médiatrices d'un triangle

🔑 Notions clés & Définitions

• Médiatrice d’un triangle : Une médiatrice d’un triangle est une médiatrice construite sur un de ses côtés ; un triangle en possède donc trois.
• Médiatrice d’un côté : Une médiatrice est une droite issue de la médiation d’un côté, utilisée ici pour définir les médiatrices du triangle.

📝 Points essentiels

• Un triangle possède trois médiatrices, chacune étant la médiatrice de l’un de ses côtés.
• Les médiatrices d’un triangle se croisent en un même point : elles sont concourantes.

💡 Astuce mémo

Trois côtés ⇒ trois médiatrices, toutes vers le même point (concourance).

📖 3. Médianes et cercle circonscrit

🔑 Notions clés & Définitions

• Médiane d’un triangle : Une médiane d’un triangle est la droite passant par un sommet et par le milieu du côté opposé.
• Médianes d’un triangle : Les médianes d’un triangle sont les trois droites obtenues en traçant une médiane issue de chaque sommet.
• Cercle circonscrit : Le cercle circonscrit au triangle ABC est le cercle associé au triangle dont la mention figure dans le cours.

📝 Points essentiels

• Une médiane issue d’un sommet est la droite reliant ce sommet au milieu du côté opposé.
• Un triangle possède trois médianes, une pour chacun de ses sommets.

💡 Astuce mémo

Médiane = sommet → milieu (3 sommets donc 3 médianes).

⚠️ Pièges & confusions fréquents

1. Confondre la condition d’existence : les côtés doivent vérifier $<$ pour chaque inégalité triangulaire, sinon la figure ne peut pas être un triangle.
2. Croire qu’une seule inégalité suffit : il faut écrire les trois inégalités triangulaires, une par côté.
3. Penser qu’il peut exister un triangle si une longueur est exactement égale à la somme des deux autres ; le cours traite l’égalité comme menant à une configuration alignée.
4. Mélanger médiatrice et médiane : la médiatrice concerne un côté, alors que la médiane relie un sommet au milieu du côté opposé.
5. Oublier le nombre : un triangle a trois médiatrices et trois médianes.
6. Penser que les médiatrices ne se croisent pas toutes ; elles sont concourantes en un même point.
7. Lire trop vite la remarque $BC=BM+MC$ et croire que cela donne directement un triangle : la remarque aboutit à l’alignement des points.

✅ Checklist Examen

1. Énoncer la propriété de l’inégalité triangulaire : chaque côté d’un triangle est strictement inférieur à la somme des deux autres.
2. À partir de trois longueurs, tester l’existence du triangle en écrivant les trois inégalités $BC<BA+AC$, $BA<BC+CA$ et $AC<AB+BC$.
3. Repérer un cas impossible en utilisant un exemple du type $AB>AC+BC$.
4. Utiliser la remarque : si $BC=BM+MC$, conclure l’alignement de $B$, $M$ et $C$ et la position annoncée de $M$.
5. Définir une médiatrice d’un triangle comme la médiatrice d’un de ses côtés.
6. Savoir que le triangle possède exactement trois médiatrices.
7. Conclure que les médiatrices d’un triangle sont concourantes en un même point.
8. Définir une médiane issue d’un sommet comme la droite passant par ce sommet et le milieu du côté opposé.
9. Donner le nombre de médianes d’un triangle : trois.
10. Identifier le thème “cercle circonscrit au triangle ABC” comme un élément abordé dans la partie correspondante du cours.