Lernzettel: Introduction à la cinématique des solides

📋 Plan du Cours

1. Compétences du programme officiel
2. Cinématique du point
3. Dérivation vectorielle
4. Cinématique du solide
5. Position d’un point du solide
6. Vitesse et accélération du solide
7. Torseur cinématique
8. Composition des mouvements et vitesses

📖 1. Compétences du programme officiel

🔑 Notions clés & Définitions

• Solide indéformable : Un solide indéformable est un objet dont la distance entre deux points reste constante au cours du temps.
• Liaison entre solides : Une liaison décrit la géométrie des contacts entre deux solides et les contraintes de mouvement associées.
• Base de temps commune : Une base de temps commune $t$ est utilisée pour exprimer le même instant pour tous les objets étudiés dans le cours.
• Vecteur vitesse angulaire : Le vecteur vitesse angulaire $\vec\Omega$ caractérise la rotation d’un référentiel par rapport à un autre.

📝 Points essentiels

• On peut modéliser un solide indéformable en lui associant un repère, puis en identifiant ses degrés de liberté par rapport à un autre solide.
• La dérivée temporelle d’un vecteur doit être prise par rapport à un référentiel choisi, car le résultat dépend du référentiel.
• Les mouvements d’une chaîne cinématique se ferment par des relations de fermeture et on cherche une loi entrée-sortie cinématique.
• Le programme attend une composition des vitesses et des vitesses angulaires entre solides successifs.

💡 Astuce mémo

Dérivation dépend du référentiel : même $t$, mais pas même résultat.

📖 2. Cinématique du point

🔑 Notions clés & Définitions

• Cinématique : La cinématique décrit le mouvement d’un corps sans traiter les causes, uniquement par la position, la vitesse et l’accélération.
• Cinématique du point : On utilise la cinématique du point quand l’objet peut être ramené à un point, en négligeant orientation et dimensions.
• Vecteur position : Le vecteur position $\overrightarrow{OM}(t)$ donne, à chaque instant $t$, la position du point $M$ par rapport au repère d’observation.
• Trajectoire : La trajectoire $T_{M/R_0}$ est l’ensemble des positions successives du point $M$ dans le repère $R_0$ au cours du temps.
• Vecteur vitesse : La vitesse du point $M$ par rapport à un repère $R_0$ est la dérivée temporelle du vecteur position exprimé dans ce cadre.

📝 Points essentiels

• La trajectoire $T_{M/R_0}$ se note comme une suite continue de points et décrit la courbe parcourue par $M$ dans $R_0$.
• Le vecteur vitesse $\vec V(M/R_0)$ vaut $\frac{d\,\overrightarrow{OM}(t)}{dt}$ et dépend du référentiel choisi.
• La direction instantanée de $\vec V(M/R_0)$ coïncide avec la tangente à la trajectoire au point $M(t)$.
• La norme de la vitesse s’exprime en m/s dans le système international.
• L’accélération $\vec a(M/R_0)$ est la dérivée temporelle du vecteur vitesse par rapport à $R_0$, donc $\vec a(M/R_0)=\frac{d\vec V(M/R_0)}{dt}$.

💡 Astuce mémo

Vitesse tangente : $\vec V$ pointe sur la tangente à $T_{M/R_0}$.

📖 3. Dérivation vectorielle

🔑 Notions clés & Définitions

• Base de projection : La base de projection est la base dans laquelle on exprime les composantes d’un vecteur.
• Repère d’observation : Le repère d’observation $R_0$ fixe l’origine spatiale et la base, et sert de cadre pour la dérivation temporelle.
• Référentiel : Un référentiel combine le repère et une base de temps, ce qui fixe le cadre de la dérivée temporelle d’un vecteur.
• Dérivée d’un vecteur : La dérivée d’un vecteur se définit par rapport à un référentiel, car le résultat peut changer si le référentiel change.

📝 Points essentiels

• Pour $\vec A(t)=x(t)\,\vec x_0+y(t)\,\vec y_0+z(t)\,\vec z_0$, on obtient $\frac{d\vec A}{dt}\big|_{R_0}=\dot x(t)\,\vec x_0+\dot y(t)\,\vec y_0+\dot z(t)\,\vec z_0$.
• Les vecteurs directeurs du repère d’observation sont constants dans $R_0$, donc leurs dérivées temporelles y sont nulles.
• La dérivation d’un vecteur s’écrit toujours avec une condition verticale de référentiel, par exemple $\,\big|_{R_0}$.
• Si $\vec A(t)$ est exprimé dans une autre base, il faut tenir compte de la variation des vecteurs directeurs de cette base.
• La dérivée d’un vecteur directeur unitaire s’obtient via la formule de Bour : $\frac{d\vec v_1}{dt}\big|_{R_0}=\vec\Omega_{1/0}\wedge \vec v_{1}$ (notation du cours).

💡 Astuce mémo

Repère d’observation = base figée : dériver seulement les composantes.

📖 4. Cinématique du solide

🔑 Notions clés & Définitions

• Solide : Un solide est un objet indéformable dont la distance entre ses points reste constante au cours du temps.
• Mouvement du solide : Un mouvement du solide par rapport à $R_0$ existe dès qu’une coordonnée d’un de ses points dans $R_0$ varie avec le temps.
• Translation pure : La translation pure est un mouvement où tous les points du solide ont la même vitesse par rapport au repère.
• Rotation pure : La rotation pure est un mouvement où un point (ou un segment) a une vitesse nulle par rapport au repère.
• Centre d’axe de rotation : Le centre (ou l’axe) de rotation est le point (ou la droite) du solide immobile dans l’autre repère pendant la rotation.

📝 Points essentiels

• Un solide est en mouvement par rapport à $R_0$ si au moins une coordonnée d’un de ses points dans $R_0$ dépend du temps.
• En translation pure, tous les points ont la même vitesse instantanée par rapport au repère.
• En rotation pure, un point ou un segment a une vitesse nulle par rapport au repère.
• En rotation, les points décrivent des arcs de cercle centrés sur le centre ou l’axe, et tous ces arcs valent le même angle entre deux instants.
• Le cours associe une liaison rotule (rotation autour d’un point) ou pivot (rotation autour d’un axe) à la rotation.

💡 Astuce mémo

Rotation : même angle pour tout le solide autour du même centre/axe.

📖 5. Position d’un point du solide

🔑 Notions clés & Définitions

• Trajectoire d’un point lié au solide : La trajectoire d’un point $M$ appartenant à un repère lié $R_1$ par rapport à un repère d’observation $R_0$ est la courbe donnée par ses positions successives dans $R_0$.
• Notation de trajectoire : On note la trajectoire $T_{M,R_1/R_0}$ pour exprimer le parcours de $M$ de $R_1$ observé dans $R_0$.
• Centre instantané dans un repère : Un point du solide immobile dans un autre repère sert de référence pour décrire des trajectoires pendant rotation.

📝 Points essentiels

• La trajectoire $T_{M,R_1/R_0}$ décrit la courbe géométrique formée par les positions successives du point $M$ vues dans $R_0$.
• Il ne faut pas confondre trajectoire d’un point et mouvement d’un solide lors d’un même système.
• Pour une roue en contact, $B$ (centre de la liaison entre pièces 1 et 2) reste en coïncidence, donc la trajectoire de $B$ se réduit à un point.
• Le segment $A$ lié à la poignée décrit un cycloïde pour $T_{A,1/0}$ tandis que $T_{A,1/2}$ est un cercle de centre $B$ et de rayon $AB$.

💡 Astuce mémo

Trajectoire = dessin au sol du point, pas du solide entier.

📖 6. Vitesse et accélération du solide

🔑 Notions clés & Définitions

• Champ des vitesses : Le champ des vitesses d’un repère lié est l’ensemble des vecteurs vitesses de tous ses points à un instant donné dans un référentiel fixe.
• Centre instantané de rotation : Le centre instantané de rotation est le point qui permet de voir le mouvement d’un solide comme une rotation autour de ce point qui se déplace.
• Vecteur vitesse d’un point lié : La vitesse d’un point $P$ appartenant à un solide (repère $R_1$) par rapport à $R_0$ est la dérivée temporelle du vecteur position associé dans $R_0$.
• Vecteur accélération d’un point lié : L’accélération d’un point $P$ est la dérivée temporelle de sa vitesse, toujours par rapport au référentiel $R_0$.

📝 Points essentiels

• Le cours définit $\vec V(P,1/0)=\frac{d\,\overrightarrow{OP}}{dt}\big|_{R_0}$ et $\vec a(P,1/0)=\frac{d^2\,\overrightarrow{OP}}{dt^2}\big|_{R_0}$.
• Comme les grandeurs vectorielles dépendent du référentiel, la vitesse et l’accélération n’ont de sens que vis-à-vis de $R_0$.
• L’ensemble des vecteurs $\vec V(P,1/0)$ pour $P\in R_1$ constitue le champ des vitesses du solide (1) par rapport au (0).
• L’accélération s’exprime en m/s² dans le système international d’unités du cours.

💡 Astuce mémo

Accélération = dérivée de la vitesse, même référentiel à chaque fois.

📖 7. Torseur cinématique

🔑 Notions clés & Définitions

• Torseur cinématique : Un torseur cinématique associe une résultante et un moment pour décrire le champ cinématique du mouvement entre deux repères.
• Résultante du torseur : La résultante d’un torseur cinématique est un champ constant, indépendante du point considéré.
• Moment du torseur : Le moment d’un torseur cinématique est défini par le champ des vitesses du point étudié.
• Torseur glisseur : Un torseur est glisseur lorsqu’il vérifie une relation entre vitesse d’un point et vitesse angulaire, ce qui rend possible un axe central.
• Axe central : L’axe central $\Delta$ est l’axe parallèle à $\vec\Omega$ autour duquel s’organise le mouvement lorsque le torseur admet cet axe.

📝 Points essentiels

• Un torseur cinématique est le couple résultante-moment, avec une résultante constante $\vec\Omega_{1/0}$ et un moment donné par $\vec V(M,1/0)$.
• La vitesse angulaire $\vec\Omega_{1/0}$ joue le rôle de résultante dans le torseur, tandis que $\vec V(M,1/0)$ sert de moment.
• Si $\vec\Omega_{1/0}=\vec 0$, alors le solide est immobile et $\vec V(A,1/0)=\vec 0$ pour tout point $A$.
• Si $\vec\Omega_{1/0}=\vec 0$ mais $\vec V(A,1/0)\neq \vec 0$, le mouvement est une translation.
• Si $\vec\Omega_{1/0}\neq \vec 0$ et $\vec V(A,1/0)\neq \vec 0$ avec $\vec V(A,1/0)$ perpendiculaire à $\vec\Omega_{1/0}$ et $\vec V(O,1/0)=\vec 0$ pour $O\in\Delta$, le torseur est un glisseur et le mouvement est une rotation autour de $\Delta$.
• Si $\vec\Omega_{1/0}\neq \vec 0$ et $\vec V(A,1/0)\neq \vec 0$ sans perpendicularité, alors le torseur est quelconque et la vitesse du point sur $\Delta$ vérifie $\vec V(O,1/0)=\lambda\,\vec\Omega_{1/0}$.

💡 Astuce mémo

Torseur = $\vec\Omega$ (constante) + champ $\vec V$ (qui dépend du point).

📖 8. Composition des mouvements et vitesses

🔑 Notions clés & Définitions

• Mouvement absolu : Le mouvement absolu relie le mouvement d’un solide par rapport au repère de référence le plus externe.
• Mouvement relatif : Le mouvement relatif relie le mouvement d’un solide par rapport à un autre solide intermédiaire.
• Vitesse d’entraînement : La vitesse d’entraînement est la vitesse du solide intermédiaire par rapport au repère externe, intervenant dans la composition des vitesses.
• Composition des vitesses : La composition des vitesses relie la vitesse absolue d’un point à la somme de la vitesse relative et de la vitesse d’entraînement.
• Composition des vitesses angulaires : La composition des vitesses angulaires relie les vitesses angulaires entre trois référentiels successifs par une relation d’addition vectorielle.

📝 Points essentiels

• Entre trois solides (0),(1),(2), le mouvement est composé par $Mvt(2/0)=Mvt(2/1)+Mvt(1/0)$, où (2/0) est absolu et (2/1) relatif.
• Pour un point $M$ appartenant à (2), la vitesse vérifie $\vec V(M,2/0)=\vec V(M,2/1)+\vec V(M,1/0)$.
• Le cours étend la composition à $n$ solides sous forme d’une somme de vitesses relatives successives.
• Les vitesses angulaires vérifient $\vec\Omega_{2/0}=\vec\Omega_{2/1}+\vec\Omega_{1/0}$ entre trois référentiels successifs.
• L’égalité des torseurs cinématiques se traduit au point $M$ par l’addition des torseurs : $\{\vec V(2/0)\}=\{\vec V(2/1)\}+\{\vec V(1/0)\}$ avec une décomposition utilisant $\vec\Omega$ et $\vec V$.

💡 Astuce mémo

Absolu = relatif + entraînement (même logique pour $\vec V$ et pour $\vec\Omega$).

⚠️ Pièges & confusions fréquents

1. Confondre référentiel et base d’écriture : la dérivée vectorielle dépend du référentiel, pas uniquement des composantes dans une base.
2. Oublier que $\vec V(M/R_0)$ et $\vec a(M/R_0)$ n’ont de sens que par rapport à un repère d’observation fixé.
3. Confondre trajectoire d’un point et mouvement d’un solide lors d’une rotation d’ensemble.
4. Croire que la vitesse est indépendante du changement de base : la direction et la valeur vectorielle dépendent du référentiel utilisé.
5. Penser que rotation pure et translation pure signifient la même chose : en rotation pure, il existe un point/axe de vitesse nulle.
6. Penser que $\vec\Omega=\vec 0$ implique toujours une immobilité : ici, il faut aussi vérifier $\vec V(A,1/0)$.
7. Mélanger “glisseur” et “quelconque” : la différence tient à la relation géométrique entre $\vec V(A,1/0)$ et $\vec\Omega_{1/0}$.

✅ Checklist Examen

1. Définir la cinématique et préciser les conditions d’usage de la cinématique du point.
2. Exprimer la trajectoire $T_{M/R_0}$ et relier la vitesse à la tangente à la trajectoire.
3. Donner les définitions vectorielles de $\vec V(M/R_0)$ et $\vec a(M/R_0)$ en indiquant le référentiel.
4. Calculer la dérivée vectorielle quand les composantes sont projetées sur une base fixe du repère d’observation.
5. Expliquer pourquoi la dérivée d’un vecteur dépend du référentiel et écrire la notation correcte $(\cdot)\big|_{R_0}$.
6. Savoir caractériser translation pure, rotation pure et mouvement général à partir de la vitesse des points.
7. Définir rotation autour d’un centre/axe et associer correctement rotule/pivot à ces mouvements.
8. Classer un mouvement plan et indiquer comment les composantes de position/vitesse/accélération se projettent dans le plan.
9. Définir $T_{M,R_1/R_0}$ et distinguer trajectoire du point et mouvement du solide.
10. Écrire les expressions de $\vec V(P,1/0)$ et $\vec a(P,1/0)$ via des dérivées temporelles par rapport à $R_0$.
11. Expliquer ce qu’est le champ des vitesses et ce que représente le centre instantané de rotation.
12. Décrire la structure du torseur cinématique : résultante constante $\vec\Omega$ et moment $\vec V(M,1/0)$.
13. Identifier les cas du torseur : immobile, translation, glisseur (rotation autour de $\Delta$) et quelconque (hélicoïdal autour de $\Delta$).
14. Écrire la composition des mouvements : $Mvt(2/0)=Mvt(2/1)+Mvt(1/0)$.