Lernzettel: Introduction à la cinématique des solides

📋 Plan du Cours

1. Composition des vecteurs vitesse et vitesse d’entraînement dans un changement de référentiel
2. Vecteur accélération d’un point et accélération de Coriolis en référentiels mobiles
3. Définition et expression du torseur cinématique d’un solide
4. Caractérisation des mouvements de translation par le torseur cinématique
5. Vitesse de glissement entre deux solides en contact et condition de maintien du contact
6. Vecteurs roulement et pivotement, cas particuliers de glissement et adhérence
7. Opérations sur les torseurs : addition, multiplication scalaire, comoment et automoment
8. Axe central d’un torseur et torseurs particuliers : nul, couple et glisseur

📖 1. Composition des vecteurs vitesse et vitesse d’entraînement dans un changement de référentiel

🔑 Notions clés & Définitions

• Remarque : Le cas de rotations multiples sera revu dans la suite dans un cas plus général de la composition des mouvements.
• D−−−→ OiM dt ∣ ∣ ∣ ∣ ∣Bi : La relation de Chasles permet d’ecrire : −−−→ OiM
• La relation −→ Γ M ∈Rk /Ri : L'accélération d’un point M dans un référentiel Rk est la dérivée du vecteur vitesse VM/Rk dans la base liée à Rk.
• Vecteur vitesse d’un point dans un référentiel : Il s'agit du vecteur qui exprime la vitesse instantanée d’un point M dans un référentiel donné, calculée par la dérivée du vecteur position dans ce référentiel.
• Composition des vecteurs vitesse : La vitesse d’un point M dans un référentiel Ri se décompose en la vitesse du point M dans un autre référentiel Rk plus la vitesse d’entraînement due au mouvement de Rk par rapport à Ri, incluant la vitesse de rotation du référentiel Rk.

📝 Points essentiels

• La vitesse d’entraînement du point M dans le mouvement du repère Rk par rapport à Ri est définie par : V_M∈Rk/Ri = V_Ok/Ri + (MOk) ∧ Ω_Rk/Ri.
• Le vecteur vitesse d’entraînement est antisymétrique : V_M∈Rk/Ri = - V_M∈Ri/Rk.

💡 À retenir

La vitesse d’entraînement du point M dans le mouvement du repère Rk par rapport à Ri est définie par : V_M∈Rk/Ri = V_Ok/Ri + (MOk) ∧ Ω_Rk/Ri.

📖 2. Vecteur accélération d’un point et accélération de Coriolis en référentiels mobiles

🔑 Notions clés & Définitions

• Exemple : B2 en rotation d’angle θ21 autour de −→z1 par rapport à B1, alors −→ Ω B2/B1 = ˙θ21−→z1 .
• Vecteur accélération d’un point dans un référentiel : 35 | Modélisation cinématique des systèmes de solides Cours I.4 Vecteur accélération d’un point dans un référentiel donné Définition L’accélération d’un point M par rapport à un référentiel Rk(Ok, −→xk, −→yk , −→zk ) est égale à la dérivée du vecteur vitesse −→ V M/Rk en utilisant la base Bk comme base de dérivation : −→ Γ M/Rk = d−→ V M/Rk dt ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣Bk .

📝 Points essentiels

• La vitesse d’entraînement du point M dans le mouvement du repère Rk par rapport à Ri est définie par : V_M∈Rk/Ri = V_Ok/Ri + (MOk) ∧ Ω_Rk/Ri.
• Le vecteur vitesse d’entraînement est antisymétrique : V_M∈Rk/Ri = - V_M∈Ri/Rk.

💡 À retenir

La vitesse d’entraînement du point M dans le mouvement du repère Rk par rapport à Ri est définie par : V_M∈Rk/Ri = V_Ok/Ri + (MOk) ∧ Ω_Rk/Ri.

📖 3. Définition et expression du torseur cinématique d’un solide

🔑 Notions clés & Définitions

• Torseur cinématique d’un solide : Le torseur cinématique d’un solide Sk par rapport à un référentiel Ri en un point A est un champ antisymétrique de vecteurs vitesse caractérisé par deux vecteurs : le vecteur taux de rotation Ω_k/i et le vecteur vitesse V_A∈k/i, exprimés en A.
• Éléments de réduction du torseur : Les deux vecteurs qui caractérisent un torseur cinématique : la résultante Ω_k/i, représentant la vitesse angulaire, et le moment V_A∈k/i, représentant la vitesse en un point A du solide.

📝 Points essentiels

• La formule de Varignon permet de calculer les éléments du torseur en un autre point B à partir de ceux en A : V_B∈k/i = V_A∈k/i + BA ∧ Ω_k/i.
• Figure 1 – Figure de projection associée au paramètre θ21 Propriété Le vecteur taux de rotation (ou vecteur vitesse angulaire) est colinéaire à la direction de la rotation et proportionnel à la dérivée du paramètre angulaire : −→ Ω Ri/Rj = ˙θji−→zi . Remarque : Le cas de rotations multiples sera revu dans la suite dans un cas plus général de la composition des mouvements. Propriété Le vecteur taux de rotation est antisymétrique. Soit un repère Ri et un repère Rj , alors on a : −→ Ω Ri/Rj = −−→ Ω Rj /Ri . Remarque : Le vecteur taux de rotation −→ Ω Ri/Rj , est uniforme pour tous les points du solide Si en mouvement par rapport à Rj . I.2 Vecteur vitesse d’un point dans un référentiel donné Soit un point quelconque de l’espace M et deux repères Ri et Rk. Le point M n’est lié à aucun des deux repères, il est donc possible d’étudier son mouvement par rapport au repère Ri et/ou au repère Rk. Définition La vitesse d’un point M par rapport au référentiel Rk(Ok, −→xk, −→yk , −→zk ) est égale à la dérivée du vecteur position −−−→ OkM (t) en utilisant la base Bk comme base de dérivation : −→ V M/Rk = d−−−→ OkM (t) dt ∣ ∣ ∣ ∣ ∣Bk . 2 5 | Modélisation cinématique des systèmes de solides Cours De même, par définition, la vitesse d’un point M par rapport à un référentiel Ri(Oi, −→xi , −→yi , −→zi ) est égale à la dérivée du vecteur position −−−→ OiM en utilisant la base Bi comme base de
• II.2 Torseur cinématique Nous venons de montrer que le champ des vecteurs-vitesse pour tout point A appartenant au solide Sk par rapport à un repère Ri s’écrit : −→ V A∈Sk /Ri = −→ V Ok ∈Sk /Ri + −−→ AOk ∧ −→ Ω Rk /Ri .

💡 À retenir

Le torseur cinématique synthétise le mouvement d’un solide en un point, facilitant la manipulation et le changement de point d’expression.

📖 4. Caractérisation des mouvements de translation par le torseur cinématique

🔑 Notions clés & Définitions

• D’après la relation de changement de point : ∀A ∈ Sk, ∀B ∈ Sk, nous avons : −→ V B∈k/i = −→ V A∈k/i + −−→ BA ∧ −→ Ω k/i = −→ V A∈k/i.
• Ainsi : Terme utilisé pour introduire une conséquence ou une conclusion déduite des relations précédentes dans l’analyse cinématique.
• Torseur cinématique : Outil mathématique antisymétrique représentant le champ des vecteurs vitesse des points d’un solide, caractérisé par un vecteur rotation et un vecteur vitesse en un point donné.

📝 Points essentiels

• Dans un mouvement de translation, le torseur cinématique s’écrit avec un vecteur rotation nul et une vitesse quelconque en tout point.
• Le torseur cinématique d’un solide en translation est un torseur couple, invariant en tout point.
• 5 Modélisation cinématique des systèmes de solides Compétences attendues ✓ Associer à chaque liaison son torseur cinématique. ✓ Déterminer le torseur cinématique d’un solide par rapport à un autre solide. ✓ Connaitre et utiliser les propriétés de l’outil torseur. ✓ Déterminer la position, la vitesse et l’accélération d’un point d’un solide par rapport à un autre solide. ✓ Déterminer les relations de fermeture de la chaine cinématique. ✓ Déterminer la loi entrée-sortie cinématique d’une chaine cinématique. I Cinématique du point : vecteurs vitesse et accélération Considérons tous les points d’un solide Sk au cours de son déplacement par rapport à un repère Ri. À un instant donné, considérons les vecteurs vitesse et les vecteurs accélération de tous ces points : — l’ensemble de ces vecteurs-vitesse constitue le champ des vecteurs vitesse du solide en mouvement, — l’ensemble de ces vecteurs-accélération constitue le champ des vecteurs-accélération du solide en mouvement. L’étude des mouvements particuliers (translation, rotation) montre que la connaissance du vecteur- vitesse (vecteur accélération) d’un point appartenant à un solide permet d’obtenir les vecteurs-vitesse (vecteurs accélération) de tous les autres points du solide. I.1 Vecteur vitesse de rotation Définition Le vecteur taux de rotation −→ Ω Rk /Ri caractérise la vitesse de changement d’orientation du repère Rk
• II Cinématique du solide indéformable : torseur cinématique II.1 Champ des vecteurs vitesse d’un solide par rapport à un référentiel En cinématique du solide, nous allons maintenant étudier le mouvement d’un point A, appartenant physiquement au solide Sk, auquel est associé le repère Rk.

💡 À retenir

Identifier un mouvement de translation par la forme particulière du torseur cinématique permet de simplifier l’analyse cinématique des solides.

📖 5. Vitesse de glissement entre deux solides en contact et condition de maintien du contact

🔑 Notions clés & Définitions

• On note : La notation −→ Ω Rk /Ri désigne le vecteur vitesse de rotation du repère Rk par rapport au repère Ri, défini par sa direction comme l'axe de rotation, sa norme comme la vitesse angulaire en rad/s, et son sens selon cet axe.
• Entre deux solides : L’intermédiaire de plusieurs liaisons.
• Condition cinématique de maintien du contact : La condition cinématique de maintien du contact s’écrit donc : −→ V I∈Sk /Si · −→n = −→ 0 .

📝 Points essentiels

• La condition cinématique de maintien du contact s’écrit : V_I∈Sk/Si · n = 0, où n est la normale au plan tangent π ; sinon les solides se séparent ou s’interpénètrent.
• Ces 2 relations vectorielles peuvent ensuite être projetées sur les 3 vecteurs d’une base orthonormée, et permettent donc d’obtenir 6 relations scalaires. Ce sont ces relations qui permettent d’exprimer les paramètres cinématiques les uns en fonction des autres. V Cinématique du contact ponctuel entre deux solides V.1 Vitesse de glissement Soient deux solides Si et Sk en contact par les surfaces Σi et Σk qui les limitent et Ri et Rk les repères respectivement associés à ces solides. Les deux surfaces sont tangentes en un point I et le contact est ponctuel (modélisé par une liaison sphère-plan). On note π le plan tangent commun aux deux solides 175 | Modélisation cinématique des systèmes de solides Cours au point I et −→n le vecteur normal à ce plan passant par I.
• Table 2 – Cas particuliers courants Fondamental : roulement sans glissement (voir la note de cours à la fin du poly). Un cas particulier fréquemment rencontré est le cas du roulement sans glissement (contact d’une roue sur le sol, engrènement, etc.). La condition cinématique de roulement sans glissement du solide Sk par rapport au solide Si, en contact au point I, s’écrit −→ V I∈Sk /Si = −→ 0 . 20 5 Annexes Annexe A : Dérivation vectorielle I Produit vectoriel Définition On appelle produit vectoriel de deux vecteurs −→u et −→v le vecteur, noté −→u ∧ −→v = −→w tel que :
  • sa norme est : ∥−→u ∧ −→v ∥ = ∥−→u ∥ · ∥−→v ∥ · | sin(−→u , −→v )| ;
  • sa direction est orthogonale à −→u et −→v ;
  • son sens est tel que la base (−→u , −→v , −→w ) soit directe. Propriété Le produit vectoriel respecte les propriétés suivantes :
  • Anticommutativité : −→u ∧ −→v = −−→v ∧ −→u
  • Distributivité : −→u ∧ (−→v + −→w ) = −→u ∧ −→v + −→u ∧ −→w
  • Si −→u ∧ −→v = −→ 0 , alors −→u = −→ 0 ou −→v = −→ 0 ou les deux vecteurs sont colinéaires. Expression analytique Dans une base orthonormée directe (−→x , −→y , −→z ), on peut montrer que le produit vectoriel est défini par la relation entre les coordonnées : −→u ∧ −→v = B ux uy uz ∧ B vx vy vz = B uyvz − uz vy uz vx − uxvz uxvy − uyvx Pour éviter de poser les calculs en colonne, on utilisera les relations élémentaires suivantes : −→x ∧ −→y = −→z , −→y ∧ −→z =

💡 À retenir

La condition cinématique de maintien du contact s’écrit : V_I∈Sk/Si · n = 0, où n est la normale au plan tangent π ; sinon les solides se séparent ou s’interpénètrent.

📖 6. Vecteurs roulement et pivotement, cas particuliers de glissement et adhérence

🔑 Notions clés & Définitions

• C’est-à-dire : D’établir les relations liant les paramètres cinématiques inconnus (sortie) du mécanisme et les paramètres cinématiques donnés (entrée) ;
• Vecteur roulement : Composante du vecteur vitesse angulaire Ω_Sk/Si qui est perpendiculaire au plan tangent au point de contact entre deux solides.
• Vecteur pivotement : Composante du vecteur vitesse angulaire Ω_Sk/Si qui est contenue dans le plan tangent au point de contact entre deux solides.

📝 Points essentiels

• Le vecteur roulement correspond à la composante Ω_n, tandis que le vecteur pivotement correspond à la composante Ω_t.
• Les cas particuliers de glissement et d’adhérence sont caractérisés par la nullité respective des vecteurs pivotement et roulement.

💡 À retenir

Analyser la décomposition du vecteur vitesse angulaire en roulement et pivotement éclaire la compréhension des phénomènes de glissement et adhérence au contact.

📖 7. Opérations sur les torseurs : addition, multiplication scalaire, comoment et automoment

🔑 Notions clés & Définitions

• Annexe C : Annexe présentant les propriétés des vecteurs rotation, vitesse et accélération, notamment les relations de changement de référentiel en mécanique du solide.
• Comoment de deux torseurs : Scalaire invariant défini par la somme du produit de la résultante du premier torseur par le moment du second et de la résultante du second torseur par le moment du premier, avec les moments exprimés au même point.
• Automoment d’un torseur : Scalaire égal à la moitié du comoment du torseur avec lui-même, calculé comme le produit scalaire de la résultante par le moment exprimé au même point.

📝 Points essentiels

• L’addition de deux torseurs s’effectue en additionnant leurs vecteurs résultants et moments exprimés au même point de réduction.
• La multiplication d’un torseur par un scalaire multiplie ses deux composantes vectorielles, résultante et moment, par ce scalaire.
• L’automoment d’un torseur est la moitié de son comoment par lui-même : A = ½ T⊗T = R·M_A.
• Figure 8 – Le graphe de liaisons indique la structure du mécanisme Définition Dans le cas d’un mécanisme en chaîne fermée, on appelle cycle un chemin fermé du graphe ne passant pas deux fois par le même sommet (solide). Parmi les cycles qui peuvent être mis en évidence dans un graphe, un certain nombre sont indépendants. Le nombre γ de cycles indépendants, appelé nombre cyclomatique, peut être calculé par la relation γ = nL − nP + 1 avec nP le nombre de solides (bâti compris) constituant le mécanisme et nL le nombre de liaisons reliant les solides. La mise en évidence des cycles indépendants est particulièrement intéressante pour étudier le compor- tement géométrique et cinématique d’un mécanisme. Dans le cas d’un mécanisme en chaîne fermée, le nombre cyclomatique permet de déterminer le nombre de relations de fermetures cinématiques indé- pendantes qu’il est possible d’écrire. Définition Une relation de fermeture cinématique est une somme de torseur égale au torseur nul, écrite par composition des mouvements dans une chaîne cinématique fermée. À partir de cette somme torsorielle, il est possible d’écrire 2 relations vectorielles (une relation portant sur les vecteurs vitesse de rotation et une relation portant sur les vecteurs vitesse).
• Comme pour la somme, les deux moments doivent être exprimés au même point.

💡 À retenir

Maîtriser les opérations sur torseurs permet de combiner et analyser efficacement les mouvements complexes des solides.

📖 8. Axe central d’un torseur et torseurs particuliers : nul, couple et glisseur

🔑 Notions clés & Définitions

• Axe central d’un torseur : Ensemble des points où le moment du torseur est colinéaire au vecteur résultant, caractérisé par la relation M_I = α R.
• Torseur nul : Torseur dont le vecteur résultant et le moment sont nuls en tout point de l’espace.
• Torseur couple : Torseur dont le vecteur résultant est nul et le moment est constant et non nul en tout point, sans axe central.
• Torseur glisseur : Torseur dont l’automoment est nul, c’est-à-dire que le moment est toujours perpendiculaire à la résultante et nul sur l’axe central.

📝 Points essentiels

• Un torseur glisseur a un vecteur résultant non nul et un moment perpendiculaire à ce vecteur résultant, avec un automoment nul.
• Figure 1 – Figure de projection associée au paramètre θ21 Propriété Le vecteur taux de rotation (ou vecteur vitesse angulaire) est colinéaire à la direction de la rotation et proportionnel à la dérivée du paramètre angulaire : −→ Ω Ri/Rj = ˙θji−→zi . Remarque : Le cas de rotations multiples sera revu dans la suite dans un cas plus général de la composition des mouvements. Propriété Le vecteur taux de rotation est antisymétrique. Soit un repère Ri et un repère Rj , alors on a : −→ Ω Ri/Rj = −−→ Ω Rj /Ri . Remarque : Le vecteur taux de rotation −→ Ω Ri/Rj , est uniforme pour tous les points du solide Si en mouvement par rapport à Rj . I.2 Vecteur vitesse d’un point dans un référentiel donné Soit un point quelconque de l’espace M et deux repères Ri et Rk. Le point M n’est lié à aucun des deux repères, il est donc possible d’étudier son mouvement par rapport au repère Ri et/ou au repère Rk. Définition La vitesse d’un point M par rapport au référentiel Rk(Ok, −→xk, −→yk , −→zk ) est égale à la dérivée du vecteur position −−−→ OkM (t) en utilisant la base Bk comme base de dérivation : −→ V M/Rk = d−−−→ OkM (t) dt ∣ ∣ ∣ ∣ ∣Bk . 2 5 | Modélisation cinématique des systèmes de solides Cours De même, par définition, la vitesse d’un point M par rapport à un référentiel Ri(Oi, −→xi , −→yi , −→zi ) est égale à la dérivée du vecteur position −−−→ OiM en utilisant la base Bi comme base de
• 5 Modélisation cinématique des systèmes de solides Compétences attendues ✓ Associer à chaque liaison son torseur cinématique. ✓ Déterminer le torseur cinématique d’un solide par rapport à un autre solide. ✓ Connaitre et utiliser les propriétés de l’outil torseur. ✓ Déterminer la position, la vitesse et l’accélération d’un point d’un solide par rapport à un autre solide. ✓ Déterminer les relations de fermeture de la chaine cinématique. ✓ Déterminer la loi entrée-sortie cinématique d’une chaine cinématique. I Cinématique du point : vecteurs vitesse et accélération Considérons tous les points d’un solide Sk au cours de son déplacement par rapport à un repère Ri. À un instant donné, considérons les vecteurs vitesse et les vecteurs accélération de tous ces points : — l’ensemble de ces vecteurs-vitesse constitue le champ des vecteurs vitesse du solide en mouvement, — l’ensemble de ces vecteurs-accélération constitue le champ des vecteurs-accélération du solide en mouvement. L’étude des mouvements particuliers (translation, rotation) montre que la connaissance du vecteur- vitesse (vecteur accélération) d’un point appartenant à un solide permet d’obtenir les vecteurs-vitesse (vecteurs accélération) de tous les autres points du solide. I.1 Vecteur vitesse de rotation Définition Le vecteur taux de rotation −→ Ω Rk /Ri caractérise la vitesse de changement d’orientation du repère Rk

💡 À retenir

Identifier la nature particulière d’un torseur et son axe central est fondamental pour caractériser le type de mouvement ou d’effort représenté.

📊 Tableaux de Synthèse

Comparaison des vecteurs en cinématique

Propriété	Vecteur
Vitesse d’un point dans un référentiel	−→ V M/Rk
Vitesse d’entraînement	V_M∈Rk/Ri
Vitesse de rotation	−→ Ω Rk /Ri

Cas de contact entre solides

Condition	Expression
Maintien du contact	V_I∈Sk/Si · n = 0
Glissement	V_I∈Sk/Si · n ≠ 0

⚠️ Pièges & Confusions Fréquentes

1. Confondre vitesse d’entraînement et vitesse du point dans un référentiel.
2. Oublier que le vecteur vitesse d’entraînement est antisymétrique.
3. Confondre vecteur roulement et vecteur pivotement.
4. Mélanger propriétés du torseur cinématique avec celles du torseur d’effort.
5. Négliger l’impact de la composition des mouvements sur la vitesse totale.
6. Confondre vecteur rotation et vecteur vitesse angulaire.
7. Oublier que le vecteur taux de rotation est antisymétrique.

✅ Checklist Examen

1. Identifier le type de mouvement à partir du torseur cinématique.
2. Calculer la vitesse d’un point à partir du torseur.
3. Vérifier la condition de maintien du contact.
4. Distinguer roulement et pivotement dans un contact.
5. Utiliser les opérations sur torseurs pour simplifier des calculs.
6. Identifier l’axe central d’un torseur.
7. Reconnaître un torseur nul, couple ou glisseur.
8. Appliquer la formule de Varignon pour changer de point.
9. Comprendre la relation antisymétrique du vecteur rotation.