Lernzettel: Introduction à la dérivabilité et dérivées fondamentales

📋 Plan du Cours

1. Fonctions dérivables sur un intervalle et définition de la fonction dérivée
2. Dérivabilité et fonction dérivée des fonctions usuelles (carré, cube, inverse, racine, monomes, affines)
3. Propriétés et formules des fonctions dérivées usuelles résumées
4. Opérations sur les fonctions dérivables : somme, produit, quotient, inverse, multiplication par un réel
5. Dérivation des fonctions composées et fonctions de la forme f(ax + b)
6. Calculs d’ensembles de dérivabilité et fonctions dérivées par application des règles
7. Notations et interprétations du nombre dérivé et de la fonction dérivée (dy/dx, taux de variation)
8. Applications pratiques : calculs de dérivées, équations de tangentes et exercices d’entraînement

📖 1. Fonctions dérivables sur un intervalle et définition de la fonction dérivée

🔑 Notions clés & Définitions

• Nombre dérivé : Le nombre dérivé en un point est la limite du taux d'accroissement de la fonction lorsque l'incrément tend vers zéro, représentant la pente de la tangente à la courbe en ce point.
• Fonction dérivée : F une fonction définie sur Df et dérivable sur I.

📝 Points essentiels

• Il faut distinguer rigoureusement la fonction dérivée (objet fonction) du nombre dérivé (valeur numérique en un point).
• Une fonction f est dérivable sur un intervalle I si elle est dérivable en tout point a ∈ I.
• On appelle fonction dérivée de f la fonction définie sur I qui à un réel x ∈ I associe le nombre dérivé de f en x.
• Donc pour tout a ∈ R la fonction f est dérivable en a et son nombre dérivé est f ′(a) = 6a.

💡 À retenir

Il faut distinguer rigoureusement la fonction dérivée (objet fonction) du nombre dérivé (valeur numérique en un point).

📖 2. Dérivabilité et fonction dérivée des fonctions usuelles (carré, cube, inverse, racine, monomes, affines)

🔑 Notions clés & Définitions

• Preuve : Un raisonnement mathématique rigoureux qui établit la validité d'une propriété ou d'un résultat, comme la dérivabilité d'une fonction.
• Fonction carrée : Une fonction définie sur R qui associe à chaque nombre réel son carré, c'est-à-dire le produit du nombre par lui-même.
• Fonction cube : Une fonction définie sur R qui associe à chaque nombre réel son cube, c'est-à-dire le produit du nombre par lui-même deux fois.
• Fonction inverse : Une fonction définie sur R* qui associe à chaque nombre réel non nul son inverse, c'est-à-dire 1 divisé par ce nombre.

📝 Points essentiels

• La fonction carrée est dérivable sur R avec f'(x) = 2x.
• La fonction cube est dérivable sur R avec f'(x) = 3x².
• Les fonctions affines et les monômes sont dérivables sur R avec des dérivées respectives f'(x) = a et f'(x) = n·a·x^(n-1).

💡 À retenir

Maîtriser les dérivées explicites des fonctions usuelles fondamentales et leurs domaines de dérivabilité.

📖 3. Propriétés et formules des fonctions dérivées usuelles résumées

🔑 Notions clés & Définitions

• Fonctions dérivées : Alors f est dérivable sur R et f ′(x)

📝 Points essentiels

• Le tableau récapitule les dérivées des fonctions usuelles avec leurs ensembles de définition et dérivabilité.
• La fonction exponentielle est dérivable sur R avec dérivée égale à elle-même.
• La fonction sinus est dérivable sur R avec dérivée cosinus.
• Les notations a, b, n désignent respectivement un réel non nul, un réel quelconque et un entier positif.

💡 À retenir

Une synthèse claire et complète des dérivées des fonctions usuelles facilite les calculs et reconnaissances rapides.

📖 4. Opérations sur les fonctions dérivables : somme, produit, quotient, inverse, multiplication par un réel

🔑 Notions clés & Définitions

• Somme : Opération qui associe à chaque point d'un intervalle la somme des valeurs de deux fonctions dérivables définies sur cet intervalle.
• Produit : Opération qui associe à chaque point d'un intervalle le produit des valeurs de deux fonctions dérivables définies sur cet intervalle.
• Quotient : Opération qui associe à chaque point d'un intervalle la division des valeurs de deux fonctions dérivables, sous la condition que le dénominateur ne s'annule pas sur cet intervalle.

📝 Points essentiels

• La somme de deux fonctions dérivables sur un intervalle est dérivable, et sa dérivée est la somme des dérivées.
• Le produit de deux fonctions dérivables sur un intervalle est dérivable, avec une dérivée donnée par la règle du produit.
• L'inverse d'une fonction dérivable non nulle est dérivable, avec une dérivée égale à -v'(x)/(v(x))².
• Soit u et v deux fonctions définies et dérivables sur I.
• On suppose que v ne s’annule pas sur I.

💡 À retenir

Comprendre et appliquer précisément les règles d'opérations sur fonctions dérivables permet de construire des dérivées complexes.

📖 5. Dérivation des fonctions composées et fonctions de la forme f(ax + b)

🔑 Notions clés & Définitions

• Fonction définie et dérivable : Une fonction est dérivable sur un intervalle si elle est définie sur cet intervalle et possède une dérivée en chaque point de celui-ci.

📝 Points essentiels

• La dérivée d'une fonction composée f(u(x)) est donnée par f'(u(x))·u'(x).
• Les formules s'appliquent aux fonctions usuelles composées avec des fonctions affines en argument.
• On dit que f est dérivable sur I si pour tout a ∈ I la fonction f est dérivable en a.

💡 À retenir

Savoir appliquer la règle de dérivation des fonctions composées, notamment pour les fonctions affines en argument, en utilisant la formule f'(u(x))·u'(x).

📖 6. Calculs d’ensembles de dérivabilité et fonctions dérivées par application des règles

🔑 Notions clés & Définitions

• Ensemble de dérivabilité : L'ensemble des points d'un intervalle où une fonction est dérivable, c'est-à-dire où sa dérivée existe.
• Dérivabilité et la fonction dérivée : La propriété d'une fonction d'admettre une dérivée en chaque point d'un ensemble, permettant de définir une nouvelle fonction appelée fonction dérivée qui associe à chaque point la valeur de cette dérivée.
• Fonctions dérivables : Les fonctions définies sur un intervalle pour lesquelles la dérivée existe en chaque point de cet intervalle.

📝 Points essentiels

• L'ensemble de dérivabilité d'une fonction composée ou résultant d'opérations est l'intersection des ensembles où chaque fonction est dérivable et où les dénominateurs ne s'annulent pas.
• Les exercices consistent à déterminer l'ensemble de dérivabilité puis la fonction dérivée explicite, en faisant attention aux domaines de définition et dérivabilité.
• Les fonctions usuelles combinées nécessitent une attention particulière aux domaines de définition et dérivabilité.

💡 À retenir

Maîtriser la détermination rigoureuse des ensembles de dérivabilité et le calcul systématique des dérivées par application des règles.

📖 7. Notations et interprétations du nombre dérivé et de la fonction dérivée (dy/dx, taux de variation)

🔑 Notions clés & Définitions

• Taux de variation : Rapport entre la différence des valeurs de la fonction et la différence des valeurs de la variable indépendante entre deux points, représentant la pente moyenne du segment joignant ces points.

📝 Points essentiels

• La notation dy/dx désigne la dérivée de y = f(x) par rapport à x.
• On peut écrire f'(x) = dy/dx pour exprimer la fonction dérivée dans un contexte adapté.
• La distinction entre taux de variation et nombre dérivé est essentielle pour comprendre la notion de dérivée comme limite.
• Ces notations facilitent les liens avec d'autres disciplines et applications pratiques.
• Calculons le taux d’accroissement entre a et a + h pour f .
• Or la quantité 6a est un nombre réel pour tout a ∈ R.

💡 À retenir

Intégrer les notations dy/dx et le concept de taux de variation permet une compréhension intuitive et formelle de la dérivée.

📖 8. Applications pratiques : calculs de dérivées, équations de tangentes et exercices d’entraînement

🔑 Notions clés & Définitions

• Courbe représentative : Représentation graphique d'une fonction dans un plan, illustrant la relation entre les valeurs de la variable indépendante et celles de la fonction.
• Madame Valide - Première Spé Chapitre : Madame Valide - Première Spé Chapitre 7 - 2/10 2025-2026 exemple Soit f (x) = 3x2 pour tout x ∈ R.

📝 Points essentiels

• L'équation de la tangente à la courbe de f au point d'abscisse a est y = f'(a)(x - a) + f(a).
• Les exercices permettent de déterminer l'ensemble de dérivabilité, calculer la fonction dérivée et écrire l'équation de la tangente.

💡 À retenir

Consolider les compétences par la pratique des calculs de dérivées et l'utilisation des tangentes pour des applications concrètes.

📊 Tableaux de Synthèse

Comparaison des dérivées des fonctions usuelles

Opérations sur les fonctions dérivables

⚠️ Pièges & Confusions Fréquentes

1. Confondre la fonction dérivée et le nombre dérivé en un point.
2. Oublier que la dérivabilité sur un intervalle implique dérivabilité en chaque point.
3. Appliquer incorrectement la règle du produit ou du quotient.
4. Ne pas vérifier que la fonction est définie et dérivable sur le domaine considéré.
5. Confondre la dérivée d'une fonction composée avec la simple dérivée de la fonction extérieure.
6. Utiliser la notation dy/dx sans comprendre son sens en tant que limite.
7. Calculer la dérivée d'une fonction non dérivable en un point sans vérification.

✅ Checklist Examen

1. Savoir définir la fonction dérivée et le nombre dérivé.
2. Maîtriser la dérivation des fonctions usuelles.
3. Savoir appliquer les règles de dérivation (somme, produit, quotient).
4. Savoir dériver une fonction composée.
5. Identifier l'ensemble de dérivabilité d'une fonction.
6. Interpréter le nombre dérivé comme taux de variation.
7. Calculer l'équation de la tangente en un point.
8. Utiliser la notation dy/dx pour exprimer la dérivée.
9. Résoudre des exercices d'entraînement sur la dérivation.
10. Vérifier la dérivabilité sur un domaine donné.
11. Différencier la fonction dérivée et le taux de variation.