Introduction à la dérivation et à la tangente

📋 Plan du Cours

1. Nombre dérivé et taux de variation
2. Dérivabilité en un point
3. Tangent à une courbe
4. Équation de la tangente
5. Fonction dérivée
6. Dérivées des fonctions usuelles
7. Opérations sur les dérivées
8. Méthodes et formules essentielles

📖 1. Nombre dérivé et taux de variation

🔑 Notions clés & Définitions

• Taux de variation : Le taux de variation de f entre a et a + h est le quotient (f(a + h) − f(a)) / h.
• Nombre dérivé : Le nombre dérivé de f en a est la limite, si elle existe, du taux de variation quand h tend vers 0.
• Limite h → 0 : Calculer f'(a) revient à étudier la limite de (f(a + h) − f(a)) / h quand h devient proche de 0.
• h → 0+ : L’écriture h → 0+ signifie que h tend vers 0 en restant strictement positif.
• h → 0− : L’écriture h → 0− signifie que h tend vers 0 en restant strictement négatif.

📝 Points essentiels

• Le taux de variation est défini pour h ≠ 0 tel que a + h ∈ I, puis τ(h) = (f(a + h) − f(a)) / h.
• Si lim(h→0) τ(h) existe et vaut un réel, f est dérivable en a et ce réel est f'(a).
• Pour une fonction affine f(x)=mx+p, on obtient τ(h)=m pour tout h ≠ 0, donc f'(a)=m partout.
• Pour f(x)=x² et a=0, on a τ(h)=h et donc lim(h→0) τ(h)=0, ainsi f'(0)=0.
• Pour g(x)=|x| en a=0, les limites de τ(h) valent 1 par h→0+ et −1 par h→0−, donc g n’est pas dérivable en 0.

💡 Astuce mémo

Pense à la pente: τ(h) est la pente de la corde (A,H), et f'(a) est la pente limite quand H “colle” à A.