Lernzettel: Introduction à la dérivée et aux tangentes

📋 Plan du Cours

1. Tangente à une courbe
2. Nombre dérivé
3. Équation de la tangente
4. Fonction dérivée et calcul
5. Dérivée et variations

📖 1. Tangente à une courbe

🔑 Notions clés & Définitions

• Tangente : Une tangente est une droite qui touche la courbe représentative d’une fonction en un point donné.
• Courbe représentative : Une courbe représentative est le tracé de la fonction associant à chaque abscisse la valeur de la fonction.

📝 Points essentiels

• Pour f(x)=x² sur [-2;2], on peut tracer une droite qui « touche » la courbe en un point A : c’est la tangente.
• Le coefficient directeur de la tangente au point A est le nombre dérivé de f en l’abscisse de A.
• Dans l’exemple de f(x)=x³−2x²+30, la tangente T1 au point A(−2;14) et la tangente T2 au point B(3;39) sont tracées sur une courbe Cf.

📖 2. Nombre dérivé

🔑 Notions clés & Définitions

• Nombre dérivé : Le nombre dérivé de f en xA est le coefficient directeur de la tangente à la courbe de f au point d’abscisse xA.
• Notation f’(xA) : La notation f’(xA) désigne la valeur du nombre dérivé de f au point d’abscisse xA.
• Coefficient directeur : Le coefficient directeur d’une droite est le rapport de la variation de l’ordonnée sur la variation de l’abscisse.

📝 Points essentiels

• Dans l’exemple avec tangente à f(x)=x³−2x²+30, on obtient f’(−2)=20 à partir du coefficient directeur lu.
• Avec deux points de la tangente, le coefficient directeur se calcule par (y2−y1)/(x2−x1).
• Toujours dans l’exemple, le calcul au point B(3;39) donne f’(3)=15.

📖 3. Équation de la tangente

🔑 Notions clés & Définitions

• Équation de la tangente : L’équation de la tangente est la relation qui décrit toutes les solutions x,y appartenant à la droite tangente.
• Formule y = f’(xA)(x − xA) + f(xA) : La formule exprime la droite tangente en utilisant l’abscisse xA, l’ordonnée f(xA) et le nombre dérivé f’(xA).

📝 Points essentiels

• La tangente en A(xA;yA) s’écrit y = f’(xA)(x − xA) + f(xA).
• Pour T1 au point A(−2;14) avec f’(xA)=20, on obtient y=20(x+2)+14 puis y=20x+54.
• Pour T2 au point B(3;39) avec f’(xA)=15, on obtient y=15(x−3)+39 puis y=15x−6.

📖 4. Fonction dérivée et calcul

🔑 Notions clés & Définitions

• Fonction dérivée : La fonction dérivée associe à chaque x le nombre dérivé f’(x) de la fonction f en ce point.
• Notation f’ : La fonction dérivée se note f’ et se lit f prime.
• Tableau des nombres dérivés : Un tableau de valeurs regroupe les abscisses et les nombres dérivés correspondants pour aider à vérifier une relation.

📝 Points essentiels

• Pour f(x)=x², les nombres dérivés aux points −3, −1, 0, 1, 3 sont indiqués comme −6, −2, 0, 2, 6.
• Ces valeurs permettent de vérifier la relation f’(x)=2x pour x=−3 et x=−1.
• La dérivée au point correspond au coefficient directeur de la tangente tracée en ce point.

📖 5. Dérivée et variations

🔑 Notions clés & Définitions

• Extremum local : Un extremum local est une valeur atteinte par la fonction au voisinage d’un point lorsque la dérivée s’annule et change de signe.
• Signe de f’(x) : Le signe de la dérivée indique le sens des variations de la fonction sur un intervalle.
• Tableau de variations : Le tableau de variations synthétise les signes de f’(x), les points où f’ s’annule et le sens des variations de f.

📝 Points essentiels

• Pour étudier les variations sur I : on détermine f’(x), on résout f’(x)=0, puis on repère les changements de signe autour des zéros.
• Si f’(x)>0 sur I alors f est croissante sur I, et si f’(x)<0 alors f est décroissante sur I.
• La table de variations doit inclure les bornes de I et les x qui annulent la dérivée, avec les signes (+, −, 0) et les variations correspondantes.

⚠️ Pièges & confusions fréquents

1. Confondre le nombre dérivé avec la pente de n’importe quelle droite : c’est la pente de la tangente à la courbe au point considéré.
2. Oublier que l’équation de la tangente utilise bien f’(xA) et f(xA), donc pas seulement la pente.
3. Calculer le coefficient directeur en inversant l’ordre des variations : (y2−y1)/(x2−x1) doit respecter les points choisis.
4. Dire que f’(x)=0 donne automatiquement un extremum : il faut aussi le changement de signe autour du point.
5. Dans un tableau de variations, oublier d’inclure les bornes et les zéros de f’(x) peut conduire à un sens de variations faux.

✅ Checklist Examen

1. Savoir définir une tangente et relier sa pente au nombre dérivé en ce point.
2. Savoir donner la notation du nombre dérivé f’(xA).
3. Savoir déterminer un nombre dérivé à partir du coefficient directeur (lecture graphique ou calcul par (y2−y1)/(x2−x1)).
4. Savoir écrire l’équation de la tangente en A sous la forme y = f’(xA)(x − xA) + f(xA).
5. Savoir remplacer correctement f(xA) par l’ordonnée yA du point d’appui.
6. Savoir passer de f à la fonction dérivée : comprendre que f’(x) est le nombre dérivé en x.
7. Savoir utiliser les formules de dérivation données : dérivée de c, x, ax+b, x², ax²+bx+c et les règles somme/produit par une constante.
8. Savoir appliquer la méthode d’étude des variations : calculer f’(x), résoudre f’(x)=0, repérer les changements de signe.
9. Savoir conclure le sens des variations avec le signe de f’(x) : croissante si f’(x)>0, décroissante si f’(x)<0.
10. Savoir construire un tableau de variations avec bornes, zéros de la dérivée, signes (+, −, 0) et flèches de variations.
11. Savoir utiliser la définition d’extrémum local : annulation de f’(x0) avec changement de signe.