Lernzettel: Introduction à la dérivée et ses applications

📋 Plan du Cours

1. Définition et interprétations de la dérivée
2. Dérivées usuelles et règles
3. Tangente et variations d’une fonction
4. Extremums et dérivée seconde
5. Approximation locale et applications
6. Continuité, méthode et exercices
7. Dérivées implicites et primitives

📖 1. Définition et interprétations de la dérivée

🔑 Notions clés & Définitions

• Dérivée : La dérivée mesure la variation instantanée d’une fonction au voisinage d’un point.
• Taux d’accroissement : Le taux d’accroissement est le rapport entre la variation de la fonction et la variation de la variable, avant passage à la limite.
• Vitesse instantanée : La vitesse instantanée correspond à la dérivée d’une distance $d(t)$ par rapport au temps.
• Pente de tangente : La dérivée au point donne le coefficient directeur de la tangente à la courbe en ce point.

📝 Points essentiels

• La dérivée en $a$ est définie par une limite : $f'(a)=\lim_{h\to 0} \frac{f(a+h)-f(a)}{h}$.
• Le quotient $\frac{f(a+h)-f(a)}{h}$ mesure une pente moyenne entre $a$ et $a+h$.
• Le signe de $f'(a)$ indique le sens : strictement positif la fonction monte, strictement négatif elle descend, nul donne une tangente horizontale.

💡 Astuce mémo

Dérivée = pente instantanée (tangente) = variation instantanée (limite du taux).

📖 2. Dérivées usuelles et règles

🔑 Notions clés & Définitions

• Fonction constante : Une fonction constante $f(x)=k$ a une dérivée nulle partout.
• Fonction puissance : Une fonction puissance $x^n$ a une dérivée $nx^{n-1}$ pour $n$ dans le cadre du cours.
• Fonction inverse : La fonction inverse $x\mapsto x^{-1}$ a pour dérivée $-x^{-2}$.},{

📝 Points essentiels

• Pour $f(x)=k$, on a $f'(x)=0$.
• Pour $f(x)=x$, on a $f'(x)=1$.
• Pour $f(x)=x^n$, on a $\frac{d}{dx}(x^n)=nx^{n-1}$, et par exemples $(x^2)'=2x$ et $(x^5)'=5x^4$.
• Pour $\left(x^{\frac12}\right)'$, on obtient $\frac{1}{2}x^{-\frac12}$ comme indiqué via la racine carrée.
• Règles : $(u+v)'=u'+v'$, $(ku)'=ku'$, $(uv)'=u'v+uv'$.
• Règle de chaîne : $(f(g(x)))'=f'(g(x))\,g'(x)$.

💡 Astuce mémo

Connaître $x^n$ puis ajouter les règles : somme, produit, quotient, chaîne.

📖 3. Tangente et variations d’une fonction

🔑 Notions clés & Définitions

• Équation de la tangente : L’équation de la tangente en $x=a$ utilise $f(a)$ et la pente $f'(a)$.
• Fonction croissante : Une fonction est dite croissante lorsque sa dérivée reste positive sur un intervalle étudié.
• Extremum via variations : Les changements de signe de la dérivée permettent d’identifier des maxima ou minima.

📝 Points essentiels

• La tangente en $x=a$ s’écrit $y=f'(a)(x-a)+f(a)$.
• Si $f'(x)>0$, alors la fonction est croissante ; si $f'(x)<0$, elle est décroissante.
• Dans $f(x)=x^2-4x+1$, la dérivée est $f'(x)=2x-4$ et l’annulation donne $x=2$.

💡 Astuce mémo

Tangente : pente $f'(a)$ + point $f(a)$ ; variations : signe de $f'(x)$.

📖 4. Extremums et dérivée seconde

🔑 Notions clés & Définitions

• Extremum : Un extremum est un point où la fonction atteint un maximum ou un minimum.
• Condition nécessaire d’extremum : Pour un extremum en $a$, on impose en général $f'(a)=0$ comme condition nécessaire dans le cours.
• Dérivée seconde : La dérivée seconde $f''(x)$ est la dérivée de $f'(x)$ et sert à étudier la forme de la courbe.

📝 Points essentiels

• Condition nécessaire : $f'(a)=0$ peut correspondre à un extremum, mais ce n’est pas suffisant en général.
• Exemple : pour $f(x)=x^3$, on a $f'(x)=3x^2$ donc $f'(0)=0$ sans maximum ni minimum.
• Convexité : si $f''(x)>0$ la courbe est convexe, et si $f''(x)<0$ elle est concave.

💡 Astuce mémo

$f'(a)=0$ dit seulement “stationnaire”, et $f''$ aide à trancher la convexité.

📖 5. Approximation locale et applications

🔑 Notions clés & Définitions

• Approximation affine : Près de $a$, une fonction est approchée par une fonction linéaire à partir de $f(a)$ et $f'(a)$.
• Approximation locale : L’approximation locale remplace une fonction par son développement affine autour d’un point.

📝 Points essentiels

• Près de $a$, on utilise $f(x)\approx f(a)+f'(a)(x-a)$ comme approximation affine.
• Cette approximation est directement cohérente avec l’idée que $f'(a)$ est la pente de la tangente en $a$.
• Applications mentionnées : vitesse et accélération en physique, coût marginal et profit maximal en économie, optimisation et descente de gradient en informatique, évolution d’un phénomène en médecine.

💡 Astuce mémo

Près de $a$ : valeur $f(a)$ + pente $f'(a)$ fois déplacement $(x-a)$.

📖 6. Continuité, méthode et exercices

🔑 Notions clés & Définitions

• Dérivable : Une fonction dérivable est une fonction pour laquelle la dérivée existe en chaque point considéré.
• Continuité : La continuité décrit l’absence de “rupture” de la fonction au point étudié.
• Méthode de dérivation : La méthode consiste à identifier la structure (somme, produit, quotient, composition) puis appliquer les formules et simplifier.

📝 Points essentiels

• Une fonction dérivable est toujours continue, mais une fonction continue peut ne pas être dérivable.
• Exemple : $f(x)=|x|$ est continue en $0$ mais non dérivable en $0$.
• Méthode : identifier somme/produit/quotient/composition, appliquer les formules, puis simplifier.
• Exercice 1 : si $f(x)=3x^2+5x-2$, alors $f'(x)=6x+5$.
• Exercice 2 : avec la formule du quotient, le cours aboutit à $f'(x)=\frac{x^2}{x^2-1}$.
• Exercice 3 : si $f(x)=e^{x^2}$, alors par composition $f'(x)=2xe^{x^2}$.

💡 Astuce mémo

Dérivable ⇒ continue ; et “structure d’abord” : somme/produit/quotient/chaîne puis simplifier.

📖 7. Dérivées implicites et primitives

🔑 Notions clés & Définitions

• Dérivée implicite : La dérivation implicite permet de trouver $y'(x)$ quand la relation entre $x$ et $y$ n’est pas donnée sous forme $y=f(x)$.
• Primitive : Une primitive est une fonction dont la dérivée redonne la fonction donnée.
• Calcul de variation : Calculer une dérivée revient à déterminer la variation instantanée d’une fonction.

📝 Points essentiels

• Exemple : pour $x^2+y^2=1$, on dérive pour obtenir $2x+2yy'=0$.
• Dans cet exemple, on isole $y'$ et on obtient $y'=-\frac{y}{x}$.
• Le cours relie dériver et variation : $\left(x^3\right)'=3x^2$.
• Le cours donne une opération inverse : $\int 3x^2\,dx=x^3+C$.

💡 Astuce mémo

Implicite : on dérive “tout”, puis on isole $y' ; primitives : intégrale comme inverse de la dérivation.

⚠️ Pièges & confusions fréquents

1. Confondre dérivée et taux d’accroissement : la dérivée correspond à la limite quand $h\to 0$.
2. Oublier le signe dans la règle de l’inverse ou dans la convexité : $f'(a)>0$ fait monter et $f''(x)>0$ fait être convexe.
3. Appliquer la règle de chaîne sans remplacer correctement : $(f(g(x)))'=f'(g(x))\,g'(x)$, pas seulement $f'(\cdot)$.
4. Croire que $f'(a)=0$ suffit pour conclure à un extremum : l’exemple $x^3$ montre le contraire.
5. Écrire l’équation de la tangente en oubliant $f(a)$ ou en remplaçant $x-a$ par $x$.
6. Prendre une fonction continue pour forcément dérivable : $|x|$ est l’exemple contraire au point $0$.

✅ Checklist Examen

1. Écrire la définition limite de la dérivée $f'(a)=\lim_{h\to 0}\frac{f(a+h)-f(a)}{h}$ et interpréter le taux d’accroissement.
2. Donner l’interprétation géométrique : coefficient directeur de la tangente, et relier le signe de $f'(a)$ à montée/descente/tangente horizontale.
3. Savoir dériver les fonctions usuelles données : constante, identité, puissance $x^n$, inverse, racine carrée, $e^x$, $\ln x$, $\sin x$, $\cos x$, $\tan x$.
4. Appliquer correctement les règles : somme, constante, produit, quotient, et la règle de chaîne avec composition.
5. Construire l’équation de la tangente en $x=a$ sous la forme $y=f'(a)(x-a)+f(a)$.
6. Utiliser le signe de la dérivée pour déterminer les variations : $f'(x)>0$ croissante et $f'(x)<0$ décroissante.
7. Identifier un extremum via la condition nécessaire $f'(a)=0$ et justifier à l’aide d’un contre-exemple quand le cours l’indique.
8. Employez la dérivée seconde : conclure convexité si $f''(x)>0$ ou concavité si $f''(x)<0$.
9. Réaliser l’approximation locale près de $a$ avec $f(x)\approx f(a)+f'(a)(x-a)$.
10. Résoudre une dérivation par la méthode en 3 étapes : identifier la structure, appliquer les formules, simplifier.
11. Savoir l’énoncé de continuité vs dérivabilité : dérivable ⇒ continue, et citer l’exemple $|x|$ au point $0$.
12. Maîtriser les exemples de la feuille : $f(x)=3x^2+5x-2$, $f(x)=e^{x^2}$, et l’exercice d’application de quotient menant à $f'(x)=\frac{x^2}{x^2-1}$.
13. Réaliser une dérivée implicite (exemple $x^2+y^2=1$) et isoler $y'$.
14. Utiliser la relation dérivée/primitives : reconnaître $\left(x^3\right)'=3x^2$ et $\int 3x^2\,dx=x^3+C$.