Quiz: Introduction à la fonction exponentielle — 6 Fragen

1. Quelle condition caractérise la fonction exponentielle ?

A. Elle vérifie simultanément f'(x)=f(x) pour tout réel x et f(0)=1.

B. Elle vérifie f'(x)=-f(x) pour tout réel x et f(0)=0.

C. Elle est notée ln et vérifie f(1)=0.

D. Elle est définie sur R mais n’est pas nécessairement dérivable.

Answer: (A)

Erklärung

La fonction exponentielle est définie par les deux conditions f'(x)=f(x) pour tout réel x et f(0)=1, et elle est notée exp. À revoir : Définition unique et caractérisation de la fonction exponentielle par son équation. Appui du cours : « Fonction exponentielle : Fonction définie et dérivable sur R qui vérifie simultanément f'(x)=f(x) pour tout réel x et f(0)=1 ; elle est notée exp. »

2. Quelle propriété de la dérivée explique que la fonction exponentielle soit strictement croissante ?

A. Sa dérivée est négative sur R

B. Sa dérivée est positive sur R

C. Sa dérivée est nulle sur R

D. Sa dérivée change de signe sur R

Answer: (B)

Erklärung

La fonction exponentielle est strictement croissante parce que sa dérivée est positive sur R. Le passage source formule explicitement cette relation de cause à effet. À revoir : Positivité et croissance stricte de la fonction exponentielle. Appui du cours : « La croissance stricte découle du fait que (exp(x))' = exp(x) et que cette dérivée est positive sur R. »

3. Que fait la fonction exponentielle lorsqu’elle transforme une différence ?

A. Elle la transforme en quotient

B. Elle la transforme en produit

C. Elle la transforme en différence

D. Elle la transforme en somme

Answer: (A)

Erklärung

Le passage indique explicitement que la fonction exponentielle transforme une différence en quotient. À revoir : Propriétés algébriques et relation fonctionnelle de la fonction exponentielle. Appui du cours : « La fonction exponentielle transforme une somme en produit et une différence en quotient. »

4. Quelle conséquence géométrique est associée à la tangente de la courbe exp au point d’abscisse 1 ?

A. Elle a pour équation y = x + 1.

B. Elle coupe l’axe des abscisses en x = 1.

C. Elle est parallèle à l’axe des ordonnées.

D. Elle passe par l’origine du repère.

Answer: (D)

Erklärung

Au point d’abscisse 1, la tangente à la courbe exp est donnée comme passant par l’origine du repère. Les autres propositions reprennent des propriétés d’autres tangentes ou ajoutent une conséquence non mentionnée. À revoir : Représentation graphique et tangentes de la fonction exponentielle. Appui du cours : « La tangente à C au point d’abscisse 1 a pour équation y = ex et passe par l’origine du repère. »

5. Quel est l’effet du coefficient m lors de la dérivation de f(x) = e^(mx+p) ?

A. Il reste devant l’exponentielle dans f'(x).

B. Il remplace p dans l’expression dérivée.

C. Il devient l’exposant de e dans f'(x).

D. Il disparaît après la dérivation.

Answer: (A)

Erklärung

Lors de la dérivation de e^(mx+p), le coefficient m est conservé comme facteur multiplicatif devant l’exponentielle : f'(x) = m e^(mx+p). À revoir : Dérivation et fonctions composées de la forme x ↦ e^{mx+p. Appui du cours : « Le coefficient m multiplie directement la dérivée de la fonction composée : il reste devant l’exponentielle dans l’expression de f'(x). »

6. Dans la suite définie par u_n = e^(na), que représente q ?

A. Le terme général de la suite, égal à e^(na)

B. La différence entre deux termes consécutifs

C. La raison de la suite, égale à e^a

D. Le premier terme de la suite, égal à 1

Answer: (C)

Erklärung

Ici, q désigne la raison de la suite géométrique, et la source précise qu’elle vaut e^a. Les autres propositions confondent q avec le premier terme, le terme général ou une différence additive. À revoir : Lien entre la fonction exponentielle et les suites géométriques. Appui du cours : « La raison de cette suite est q = e^a. »