Lernzettel: Introduction à la fonction exponentielle et logarithmique

📋 Plan du Cours

1. Fonction exponentielle : définition et propriétés
2. Fonction exponentielle : dérivée et limites
3. Logarithme népérien : définition et propriétés
4. Logarithme népérien : dérivée et limites

📖 1. Fonction exponentielle : définition et propriétés

🔑 Notions clés & Définitions

• Fonction exponentielle : La fonction exponentielle modélise une croissance continue et s’écrit sous la forme $e^x$ pour tout réel $x$.
• Base $e$ : La base $e$ est le nombre utilisé pour définir la fonction exponentielle et son inverse, le logarithme népérien.
• Exponentielle toujours positive : L’exponentielle $e^x$ reste strictement positive pour tout réel $x$.

📝 Points essentiels

• Pour tout réel $x$, on a $e^x>0$.
• Pour tous réels $x$ et $y$, on a $e^{x+y}=e^x\times e^y$.
• Pour tout réel $x$ et tout réel $a$, on a $\big(e^x\big)^a=e^{ax}$.
• Pour tout réel $x$, on a $e^{-x}=\dfrac{1}{e^x}$.
• Pour tous réels $x$ et $y$, on a $\dfrac{e^x}{e^y}=e^{x-y}$.
• On a $e^x=e^y$ si et seulement si $x=y$.

💡 Astuce mémo

Base e : tu additionnes les exposants quand tu multiplies les exponentielles.

📖 2. Fonction exponentielle : dérivée et limites

🔑 Notions clés & Définitions

• Auto-dérivée : La dérivée de la fonction exponentielle $e^x$ est elle-même : elle conserve sa forme après dérivation.
• Asymptote horizontale : Une asymptote horizontale est une droite vers laquelle la courbe se rapproche quand $x$ tend vers une valeur limite.
• Limites inversées : Les limites de fonctions inverses se correspondent en échangeant les directions de croissance et de décroissance.

📝 Points essentiels

• La fonction $e^x$ est dérivable sur $\mathbb{R}$ et $\dfrac{d}{dx}(e^x)=e^x$.
• Pour tout réel $a$, la dérivée de $e^{ax}$ vaut $a\,e^{ax}$.
• La fonction $e^x$ admet une asymptote horizontale en $-\infty$ : la droite $y=0$.
• On a des limites “inversées” pour l’autre direction : quand $x\to +\infty$, $e^x$ diverge alors que quand $x\to -\infty$ elle tend vers $0$.

💡 Astuce mémo

“Même formule après dérivation” : $e^x$ dérive en $e^x$, comme si ça ne changeait jamais.

📖 3. Logarithme népérien : définition et propriétés

🔑 Notions clés & Définitions

• Logarithme népérien : Le logarithme népérien, noté $\ln$, est la fonction inverse de l’exponentielle $e^x$ sur $\mathbb{R}_{+}^*$.
• Inverse de l’exponentielle : Être inverse signifie qu’appliquer $e^x$ puis $\ln$ (ou l’inverse) redonne la valeur de départ.
• Domaine de définition : Le logarithme népérien n’est défini que pour les arguments strictement positifs.
• Logarithme négatif/positif : Le signe de $\ln(x)$ dépend de si $x$ est inférieur ou supérieur à $1$.

📝 Points essentiels

• $\ln(x)$ est défini pour tout $x>0$.
• On a $\ln(e^x)=x$ et $e^{\ln(x)}=x$ pour $x>0$.
• Si $0<x<1$, alors $\ln(x)<0$.
• Si $x>1$, alors $\ln(x)>0$.
• Pour tous réels $x$ et $y$ strictement positifs, $\ln(xy)=\ln(x)+\ln(y)$.
• Pour $x>0$, $\ln\left(\dfrac{1}{x}\right)=-\ln(x)$.

💡 Astuce mémo

“Produit devient somme” : $\ln(xy)=\ln x+\ln y$.

📖 4. Logarithme népérien : dérivée et limites

🔑 Notions clés & Définitions

• Dérivée de $\ln$ : La dérivée du logarithme népérien s’exprime simplement en fonction de l’argument.
• Dérivée d’un logarithme composé : Quand $\ln$ porte une fonction $u(x)$, sa dérivation utilise la dérivée de $u$ et le quotient.
• Asymptote verticale : Une asymptote verticale est une droite que la courbe approche quand $x$ tend vers une valeur qui rend la fonction non définie.

📝 Points essentiels

• La fonction $\ln(x)$ est dérivable sur $\mathbb{R}_{+}^*$ et $\dfrac{d}{dx}(\ln x)=\dfrac{1}{x}$.
• Pour une fonction dérivable $u(x)>0$, on a $\dfrac{d}{dx}(\ln(u(x)))=\dfrac{u'(x)}{u(x)}$.
• La fonction $\ln(x)$ admet une asymptote verticale en $0$ : la droite $x=0$.

💡 Astuce mémo

Le $\ln$ dérive en “1 sur ce qu’il y a en dessous”.

⚠️ Pièges & confusions fréquents

1. Confondre le domaine : $e^x$ existe pour tout réel, tandis que $\ln(x)$ exige $x>0$.
2. Inverser un signe : $\ln(1/x)=-\ln(x)$ et non $\ln(1/x)=\ln(x)$.
3. Mélanger les identités : $\ln(xy)=\ln x+\ln y$ (somme) et $e^{a+b}=e^a e^b$ (produit).
4. Oublier la dérivée : $\dfrac{d}{dx}(\ln x)$ n’est pas $\ln x$ mais $\dfrac{1}{x}$.
5. Traiter $e^{x}$ comme un polynôme : $\dfrac{d}{dx}(e^x)=e^x$ et pas une constante multiple sans facteur.
6. Se tromper sur l’asymptote : $e^x$ a une asymptote horizontale $y=0$ en $-\infty$, tandis que $\ln(x)$ a une asymptote verticale $x=0$.
7. Croire que $\ln(x)=y$ donne $x=y$ ; l’équivalence correcte est $\ln(x)=y$ si et seulement si $x=e^y$.

✅ Checklist Examen

1. Écrire $e^x$ comme fonction exponentielle et donner son domaine (tous réels).
2. Donner le signe de $e^x$ pour tout réel $x$.
3. Utiliser $e^{x+y}=e^x e^y$ pour transformer une expression en produit.
4. Utiliser $(e^x)^a=e^{ax}$ pour simplifier une exponentielle élevée à une puissance.
5. Transformer $e^{-x}$ en frac{1}{e^x} et inversement.
6. Transformer un quotient d’exponentielles en différence d’exposants : $\dfrac{e^x}{e^y}=e^{x-y}$.
7. Résoudre $e^x=e^y$ en concluant $x=y$.
8. Donner la dérivée de $e^x$ : $\dfrac{d}{dx}(e^x)=e^x$.
9. Donner la dérivée de $e^{ax}$ : $a\,e^{ax}$.
10. Donner l’asymptote horizontale de $e^x$ quand $x\to -\infty$ : $y=0$.
11. Définir le logarithme népérien comme inverse : $\ln(e^x)=x$ et $e^{\ln(x)}=x$ pour $x>0$.
12. Donner le domaine de $\ln(x)$ : $x>0$.
13. Donner le signe de $\ln(x)$ selon que $x$ est inférieur ou supérieur à $1$.
14. Appliquer les propriétés : $\ln(xy)=\ln x+\ln y$ et $\ln(1/x)=-\ln(x)$.