L’énoncé qui a la valeur de vérité opposée à P
Erklärung
La négation de P est le contraire logique de P : si P est vraie, non P est fausse, et inversement. Les autres choix ne décrivent pas une inversion de valeur de vérité.
L’une est vraie exactement quand l’autre est fausse
Erklärung
Une proposition et sa négation s’excluent : si l’une est vraie, l’autre est fausse. Elles ne peuvent donc pas avoir la même valeur de vérité ni être vraies ensemble.
Dès que P est vraie, Q doit aussi être vraie
Erklärung
Une implication affirme que la vérité de P entraîne celle de Q. Ce n’est pas la réciproque, qui inverse les rôles de P et Q.
Quand P ⇒ Q et Q ⇒ P sont toutes deux vraies
Erklärung
Une équivalence signifie que les deux implications sont vraies dans les deux sens. Cela veut dire que P et Q sont vraies simultanément et fausses simultanément.
La propriété est vraie pour tous les éléments considérés
Erklärung
Le symbole ∀ exprime une vérité pour tous les éléments d’un ensemble donné. Il ne suffit donc pas d’un seul exemple.
Il existe exactement un seul élément vérifiant la propriété
Erklärung
Le quantificateur ∃! impose l’existence et l’unicité d’un élément satisfaisant la propriété. Il est plus fort que ∃, qui n’exige qu’au moins un exemple.
Un exemple qui contredit une proposition universelle ou générale
Erklärung
Un contre-exemple sert à réfuter une proposition générale en montrant un cas où elle échoue. Il doit donc respecter les hypothèses tout en violant la conclusion.
Donner un seul entier qui ne vérifie pas X
Erklärung
Un seul contre-exemple suffit pour montrer qu’un énoncé universel est faux. Il faut exhiber un entier qui contredit la conclusion annoncée.
On suppose le contraire de la conclusion puis on cherche une contradiction
Erklärung
Le raisonnement par l’absurde commence par supposer le contraire de ce qu’on veut démontrer. On obtient ensuite une contradiction, ce qui valide la conclusion voulue.
non B implique non A
Erklärung
La contraposée de « A ⇒ B » est bien « non B ⇒ non A ». Elle est équivalente à l’implication de départ, contrairement à la réciproque.
L’initialisation
Erklärung
L’initialisation sert à montrer que la propriété est vraie pour le rang de départ n₀. L’hypothèse de récurrence consiste au contraire à supposer P(n) vraie pour prouver P(n+1).
Si P(n) est vraie, alors P(n+1) est vraie pour tout n supérieur ou égal à n₀
Erklärung
L’étape héréditaire établit que la vérité de P(n) entraîne celle de P(n+1) à partir du rang de départ. C’est cette propriété de propagation qui permet ensuite de conclure pour tous les n ≥ n₀.
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Proposition — définition ?
Énoncé vrai ou faux.
Négation — rôle ?
Inverse la valeur de vérité.
Implication — symbole ?
P ⇒ Q signifie : si P alors Q.
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