Lernzettel: Introduction à la probabilité et à la statistique

📋 Plan du Cours

1. Variable aléatoire et univers
2. Loi de probabilité
3. Gains algébriques dans les jeux
4. Espérance d’une variable aléatoire
5. Variance et écart type

📖 1. Variable aléatoire et univers

🔑 Notions clés & Définitions

• Univers 1 : L’univers 1 est l’ensemble fini des issues possibles d’une experience aleatoire.
• Variable aleatoire X : Une variable aleatoire X associe un nombre reel chaque issue de l’univers.
• Evenement (X=xi) : L’evenement (X=xi) est l’ensemble des issues associees la valeur xi de la variable.
• Jeu de somme cachee de deux des : Dans l’exemple, X associe chaque issue la somme des deux numeros caches, avec 16 issues possibles et des valeurs 3 9.

📝 Points essentiels

• Dans l’exemple des deux des tetraedriques, l’univers contient 16 issues quiprobables et la variable X prend 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.
• La probabilite se calcule par le rapport : p(X=xi)=nombre d’issues donnant xi divise par 16.
• La loi de probabilite donne les valeurs possibles de X et leurs probabilites, qui ne sont pas toutes quiprobables.
• Pour X dans l’exemple, p(X=3)=1/16, p(X=4)=2/16, p(X=5)=3/16, p(X=6)=4/16, p(X=7)=3/16, p(X=8)=2/16, p(X=9)=1/16.

📖 2. Loi de probabilité

🔑 Notions clés & Définitions

• Loi de probabilite : La loi de probabilite associe chaque valeur xi (ou issue) une probabilite comprise entre 0 et 1.
• Tableau de probabilite : Le tableau de loi de probabilite relie chaque valeur xi sa probabilite p(X=xi).
• Jeu pair/impair : Le jeu avec un de definit une variable T qui vaut 2 quand le reultat est pair et -3 quand il est impair.
• Loterie gain G : Dans la loterie, la variable G associe un gain de 60, ou 10, ou 0 selon les probabilites donnees.

📝 Points essentiels

• La somme des probabilites de toutes les valeurs possibles d’une variable aleatoire vaut 1.
• Pour le jeu avec un de 6 faces quiilibre, on a (T=-3)=1/2 et (T=2)=1/2.
• Pour la loterie, la mise initiale de 10€ conduit trois gains possibles : -10 (p=0.55), 0 (p=0.35) et 50 (p=0.10).

📖 3. Gains algébriques dans les jeux

🔑 Notions clés & Définitions

• Gain algebrique : Le gain algebrique d’un joueur est la difference entre ce qu’il re oit et ce qu’il depense.
• Variables T et G : On note T pour le jeu de de et G pour la loterie, chacune representant un gain algebrique.

📝 Points essentiels

• Dans l’exercice du de, si le reultat est pair le joueur gagne 2€ et s’il est impair il perd 3€, d’ou T { -3, 2 }.
• Dans l’etude de la loterie, la variable G prend les valeurs -10, 0 et 50 avec probabilites 0.55, 0.35 et 0.10.
• Le lien entre gain favorable et depense est fait via la difference : gain algebrique = reeu - depense.

📖 4. Espérance d’une variable aléatoire

🔑 Notions clés & Définitions

• Esperance E(X) : L’esperance E(X) est une moyenne ponderee des valeurs xi par leurs probabilites p(X=xi).
• Interpretation frequentiste : L’esperance est la valeur moyenne que prendrait X quand on re pete tres grand nombre de fois l’experience.
• Jeu equitable : Un jeu est equitable quand l’esperance du gain algebrique de tous les joueurs vaut 0.
• Jeu favorable : Un jeu est favorable au joueur quand l’esperance de son gain algebrique est positive.

📝 Points essentiels

• Si X prend les valeurs x1,x2,...,xn avec probabilites p1,p2,...,pn, alors E(X)=\sum_{i=1}^{n} p_i x_i.
• Pour le de, E(T)=(-3)\times(1/2)+2\times(1/2)=-1/2, donc en moyenne le joueur perd 0.50€.
• Pour la loterie, E(G)=(-10)\times0.55+0\times0.35+50\times0.10=-0.5, donc en moyenne le joueur perd 0.50€.
• Dans les deux exemples, l’esperance des gains algebriques est identique et vaut -0.50€.

📖 5. Variance et écart type

🔑 Notions clés & Définitions

• Variance V(X) : La variance V(X) mesure l’eclatement des valeurs de X autour de son esperance E(X).
• Ecarts a la moyenne : Les termes (xi-E(X)) representent l’ecart entre une valeur et l’esperance.
• Ecarts type \u03c3(X) : L’ecart type \u03c3(X) est la racine carree de la variance et fournit une mesure de dispersion.
• Dispersion : Une dispersion plus grande correspond une variance et un ecart type plus eleves.

📝 Points essentiels

• La variance s’ecrit V(X)=\sum_{i=1}^{n} p_i (x_i-E(X))^2.
• L’ecart type se calcule par \u03c3(X)=\sqrt{V(X)}.
• Pour le de, V(T)=25/4 et \u03c3(T)=2.5.
• Pour la loterie, V(G)=304.75 et \u03c3(G)\u2248 17.46.
• On obtient \u03c3(G)\u003e\u03c3(T), indiquant que les gains de la loterie sont bien plus disperses que ceux du de.

📊 Tableaux de synthèse

Comparaison : jeu de de vs loterie

Jeu	Esperance (gain)	Ecarts type
De	E(T)=-0.5	\u03c3(T)=2.5
Loterie	E(G)=-0.5	\u03c3(G)\u2248 17.46

⚠️ Pièges & confusions fréquents

1. Penser que l’esperance suffit elle seule : deux jeux peuvent avoir la meme esperance (ici -0.5) mais des dispersions differentes.
2. Confondre univers \u00151 et ensemble des valeurs possibles de X : l’univers regroupe des issues, pas des xi.
3. Calculer une probabilite sans compter correctement les issues donnant xi (exemple : p(X=6)=4/16).
4. Oublier que les probabilites d’une loi doivent s’additionner 1.
5. Se tromper dans la variance en utilisant |xi-E(X)| au lieu de (xi-E(X))^2.
6. Inverser signe et valeurs pour le jeu du de (pair gagne +2, impair perd -3).

✅ Checklist Examen

1. Savoir definir l’univers \u00151 comme ensemble fini des issues d’une experience aleatoire.
2. Savoir definir une variable aleatoire X : associer un nombre reel chaque issue.
3. Savoir que (X=xi) est l’ensemble des issues associees la valeur xi.
4. Savoir calculer p(X=xi) par le nombre d’issues donnant xi divise par le nombre total d’issues.
5. Savoir que la loi de probabilite associe chaque valeur xi une probabilite entre 0 et 1.
6. Savoir utiliser la regle : somme des probabilites de toutes les valeurs possibles vaut 1.
7. Savoir calculer l’esperance E(X)=\sum p_i x_i.
8. Savoir interpreter E(X) en moyenne sur un grand nombre de repetitions.
9. Savoir dire quand un jeu est equitable (esperance nulle) et quand il est favorable (esperance positive).
10. Savoir identifier les valeurs et probabilites de T pour le de (=-3 ou 2, chacune avec 1/2).
11. Savoir calculer ou retrouver E(T)=-1/2 et E(G)=-0.5 avec les donnees de la loterie.
12. Savoir calculer V(X)=\sum p_i (x_i-E(X))^2 puis \u03c3(X)=\sqrt{V(X)}.
13. Savoir comparer la dispersion des jeux via l’ecart type : \u03c3(G)\u003e\u03c3(T) ici.