Lernzettel: Introduction à la représentation des fonctions

📋 Plan du Cours

1. Représentations d’une fonction
2. Image, antécédent et domaine
3. Courbe représentative
4. Construction d’une courbe
5. Variations graphiques
6. Tableau de variations
7. Maximum et minimum

📖 1. Représentations d’une fonction

🔑 Notions clés & Définitions

• Expression littérale : Représentation d’une fonction où la valeur y est calculée à partir de x via une formule.
• Courbe d’équation y=f(x) : Représentation où chaque point du plan correspond à une valeur x de l’ensemble de définition et à y égal à f(x).
• Notation x → f(x) : Écriture indiquant que chaque x est associé au nombre réel f(x).

📝 Points essentiels

• Une fonction associe à chaque x de l’ensemble de définition une seule valeur f(x).
• Sur l’égalité y=f(x), chaque point M a pour coordonnées (x ; f(x)) avec x dans l’ensemble de définition D.
• Si l’on connaît l’expression, on peut calculer l’image d’un x donné en remplaçant x par cette valeur.

💡 Astuce mémo

Formule = calcul, courbe = points {(x;f(x))}.

📖 2. Image, antécédent et domaine

🔑 Notions clés & Définitions

• Image d’un nombre : Valeur obtenue quand on remplace x par un nombre donné dans la fonction f.
• Antécédent : Nombre x qui, une fois substitué, donne une valeur y quand on calcule f(x).
• Ensemble de définition Df : Ensemble des réels pour lesquels l’expression de la fonction fournit une image calculable.

📝 Points essentiels

• Un x a une et une seule image, tandis qu’un y peut avoir plusieurs antécédents ou aucun antécédent.
• Chercher les antécédents de y revient à résoudre l’équation f(x)=y.
• Pour la fonction f : x → (1/2)x − 4, la valeur x=2 est interdite et l’ensemble de définition est ]−∞;2[ ∪ ]2;+∞[.

💡 Astuce mémo

Antécédent = on résout f(x)=y, image = on calcule f(x).

📖 3. Courbe représentative

🔑 Notions clés & Définitions

• Repère (O, i, j) : Système de coordonnées du plan servant à placer les points associés aux valeurs de x et f(x).
• Courbe représentative Cf : Ensemble des points M correspondant à tous les x de l’ensemble de définition, avec y=f(x).

📝 Points essentiels

• La courbe représentative de f est notée Cf et rassemble les points (x ; f(x)) pour x parcourant D.
• Pour tracer Cf, il faut connaître le domaine D et calculer les ordonnées f(x) pour les abscisses choisies.

💡 Astuce mémo

Cf : comme f, elle contient exactement les points qu’on obtient en remplaçant x par les valeurs du domaine.

📖 4. Construction d’une courbe

🔑 Notions clés & Définitions

• Tableau de valeurs : Tableau qui liste des valeurs de x du domaine et leurs images f(x) pour faciliter le placement des points.
• Point de coordonnées (x ; f(x)) : Point à placer sur le graphique dont l’abscisse est x et l’ordonnée est le calcul f(x).

📝 Points essentiels

• Pour f(x)=5x/(x^2+1) sur [−3;2], on complète un tableau avec les x choisis puis on calcule chaque f(x) avant de placer les points.
• Le point (10 ; 0,5) n’est pas sur la courbe car f(10)=0,495 et diffère de 0,5.
• La construction « à main levée » se fait en reliant les points placés, en respectant la forme générale obtenue.

💡 Astuce mémo

Tableau → points → courbe.

📖 5. Variations graphiques

🔑 Notions clés & Définitions

• Fonction croissante : Variation où, quand x augmente, les valeurs de f(x) augmentent sur un intervalle observé.
• Fonction décroissante : Variation où, quand x augmente, les valeurs de f(x) diminuent sur un intervalle observé.

📝 Points essentiels

• Décrire les variations d’une fonction consiste à indiquer sur quels intervalles elle est croissante puis sur quels intervalles elle est décroissante.
• Sur l’exemple étudié, la fonction semble décroissante sur [−4 ; −2,1], croissante sur [−2,1 ; 0], décroissante sur [0 ; 4,1], puis croissante sur [4,1 ; 5].
• L’approche reste graphique dans l’exemple : on observe les intervalles sans démonstration formelle.

💡 Astuce mémo

Croissante = ça monte, décroissante = ça descend.

📖 6. Tableau de variations

🔑 Notions clés & Définitions

• Tableau synthétique : Tableau qui regroupe l’information essentielle sur les variations sans refaire toute la courbe.

📝 Points essentiels

• Le tableau de variations résume les intervalles où la fonction augmente ou diminue.
• Dans l’exemple, le tableau indique des valeurs de f(−4), f(−2,1), f(0), f(4,1) et f(5) ainsi que les sens des variations entre ces abscisses.

💡 Astuce mémo

Tableau = lecture rapide des montées/descentes + valeurs repères.

📖 7. Maximum et minimum

🔑 Notions clés & Définitions

• Extremum : Valeur remarquable d’une fonction sur un intervalle, correspondant soit à un maximum soit à un minimum.
• Maximum d’une fonction : Plus grande valeur prise par la fonction sur un intervalle donné.
• Minimum d’une fonction : Plus petite valeur prise par la fonction sur un intervalle donné.

📝 Points essentiels

• À partir de la courbe ou du tableau de variations, on détermine les éventuels extrémums d’une fonction sur un intervalle.
• Sur l’exemple précédent, la fonction admet pour maximum 5 sur [−2 ; 4].
• Sur le même exemple, la fonction admet pour minimum −4 sur [−4 ; 0].

💡 Astuce mémo

Max = plus haut, Min = plus bas sur l’intervalle.

⚠️ Pièges & confusions fréquents

1. Confondre image et antécédent : l’image est le résultat f(x), l’antécédent est un x qui résout f(x)=y.
2. Penser qu’un antécédent existe toujours : pour y donné, l’équation f(x)=y peut avoir zéro, une ou plusieurs solutions.
3. Traiter le domaine comme une idée vague : il correspond exactement aux valeurs de x pour lesquelles l’expression est calculable.
4. Croire que deux valeurs proches donnent le même point : (10 ; 0,5) n’appartient pas à la courbe car f(10)=0,495.
5. Lire les variations sans distinguer intervalles : croissante/décroissante doit être indiqué sur des intervalles précis.
6. Confondre extrémum et valeur en un point isolé : maximum/minimum se rapportent à une valeur sur un intervalle.
7. Oublier que l’exemple de variations et de construction est présenté comme graphique, donc basé sur l’observation du tracé.

✅ Checklist Examen

1. Énoncer ce que signifie une fonction f en termes d’association de x à f(x) et de caractère unique de l’image de x.
2. Savoir donner l’image d’un nombre x en calculant f(x) à partir de l’expression littérale.
3. Savoir trouver les antécédents d’un y en résolvant f(x)=y.
4. Savoir expliquer pourquoi une valeur peut être interdite (dénominateur nul) et en déduire l’ensemble de définition Df.
5. Écrire la caractérisation de la courbe représentative Cf comme l’ensemble des points (x ; f(x)) pour x dans D.
6. Construire une courbe sur un intervalle à partir d’un tableau de valeurs : choisir x, calculer f(x), placer les points, puis relier.
7. Décrire des variations graphiquement en indiquant les intervalles où la fonction est croissante puis décroissante.
8. Interpréter un tableau de variations : repérer le sens des variations et les valeurs repères f aux abscisses données.
9. Déterminer un maximum ou un minimum à partir de la courbe ou du tableau sur un intervalle donné.
10. Appliquer les valeurs de l’exemple : maximum 5 sur [−2 ; 4] et minimum −4 sur [−4 ; 0].