Lernzettel: Introduction aux Diviseurs et Fractions

📋 Plan du Cours

1. Division euclidienne
2. Diviseurs et multiples
3. Nombres premiers et facteurs premiers
4. Diviseurs communs et PGCD
5. Fractions irréductibles

📖 1. Division euclidienne

🔑 Notions clés & Définitions

• Division euclidienne : La division euclidienne de a par b (b≠0) consiste à trouver un quotient q et un reste r tels que a = b×q + r avec 0 ≤ r ≤ |b|.
• Quotient : Le quotient est le nombre q associé à la division euclidienne, tel que a = b×q + r.
• Reste : Le reste est le nombre r associé à la division euclidienne, borné par 0 ≤ r ≤ |b|.

📝 Points essentiels

• La condition de la division euclidienne impose 0 ≤ r ≤ |b| et a = b×q + r.
• Dans l’exemple 75 = 6×12 + 3, le quotient vaut 12 et le reste vaut 3.
• Le cas b≠0 est obligatoire pour définir la division euclidienne.

💡 Astuce mémo

Pense à l’inégalité : le reste r tient toujours dans la “taille” de b, avec 0 ≤ r ≤ |b|.

📖 2. Diviseurs et multiples

🔑 Notions clés & Définitions

• Diviseur : Un diviseur de a est un entier b tel qu’on puisse écrire a = b×q pour un certain entier q.
• Multiple : Un multiple de a est un entier obtenu en multipliant a par un autre entier.
• Divisibilité : La divisibilité de a par b signifie qu’il existe un entier q tel que a = b×q.

📝 Points essentiels

• Si le reste r de la division euclidienne de a par b est nul, alors a = b×q et b divise a.
• Quand b divise a, on dit que a est divisible par b et que a est un multiple de b.
• Dans 456 = 38×12, 38 est un diviseur de 456 et 456 est un multiple de 38.

💡 Astuce mémo

Reste nul ⇒ divisible : si r = 0, alors a s’écrit comme b×q.

📖 3. Nombres premiers et facteurs premiers

🔑 Notions clés & Définitions

• Nombre premier : Un nombre premier est un entier naturel qui admet exactement deux diviseurs distincts : 1 et lui-même.
• Décomposition en facteurs premiers : La décomposition en facteurs premiers d’un entier est son écriture comme produit de facteurs tous premiers.
• Facteurs premiers : Les facteurs premiers sont les nombres premiers qui apparaissent dans la décomposition en produit d’un entier.

📝 Points essentiels

• 0 n’est pas premier car il possède une infinité de diviseurs.
• 1 n’est pas premier car il n’a qu’un seul diviseur, lui-même.
• 2 est le seul nombre premier pair, car tout nombre pair est divisible par 2.
• Une décomposition en facteurs premiers peut toujours être obtenue sous forme de produit de plusieurs facteurs premiers.

💡 Astuce mémo

Premier = exactement deux diviseurs : 1 et le nombre ; donc 0 et 1 sont exclus.

📖 4. Diviseurs communs et PGCD

🔑 Notions clés & Définitions

• Diviseur commun : Un diviseur commun à deux entiers est un entier qui divise chacun d’eux.
• Plus grand commun diviseur : Le plus grand commun diviseur de deux entiers est le plus grand entier qui divise les deux nombres.
• Produit des facteurs communs : Le PGCD s’obtient en multipliant les facteurs premiers communs en prenant pour chacun la plus petite puissance.

📝 Points essentiels

• Les diviseurs communs de 12 et 18 sont 1, 2, 3 et 6, donc le PGCD vaut 6.
• Pour 12 et 18, la fleuriste peut faire 6 bouquets, avec 2 roses rouges et 3 roses blanches par bouquet.
• Si 588 = 2^2×3×7^2 et 420 = 2^2×3×5×7, alors le PGCD est 2^2×3×7 = 84.

💡 Astuce mémo

PGCD = “mêmes facteurs” × “puissance minimale” : tu gardes ce qui est partagé le plus petit.

📖 5. Fractions irréductibles

🔑 Notions clés & Définitions

• Fraction irréductible : Une fraction est irréductible lorsque le numérateur et le dénominateur n’ont pas de diviseur commun autre que 1.
• Simplifier une fraction : Simplifier une fraction consiste à la réduire en divisant numérateur et dénominateur par des facteurs communs.

📝 Points essentiels

• La fraction 15/21 n’est pas irréductible car 15 et 21 ont 3 comme diviseur commun.
• La fraction 15/21 se simplifie en 5/7 après séparation des facteurs 3×5 et 3×7.
• Pour 18/24, on obtient 18/24 = (2×3×3)/(2×2×2×3) puis 18/24 = 3/4.

💡 Astuce mémo

Irréductible = plus aucun facteur commun : tout “coupe” doit disparaître du numérateur et du dénominateur.

⚠️ Pièges & confusions fréquents

1. Confondre la borne du reste : r vérifie 0 ≤ r ≤ |b|, pas seulement 0 ≤ r ≤ b.
2. Croire qu’un multiple est “obligatoirement plus grand” : un multiple peut être égal à a si le multiplicateur vaut 1.
3. Penser que 1 est premier : 1 n’a qu’un diviseur, donc ce n’est pas un nombre premier.
4. Oublier que 0 n’est pas premier, car il admet une infinité de diviseurs.
5. Dire qu’une fraction est irréductible sans vérifier le diviseur commun du numérateur et du dénominateur.
6. Simplifier sans décomposer : réduire correctement demande d’identifier les facteurs communs (souvent via la décomposition).

✅ Checklist Examen

1. Écrire la condition complète de la division euclidienne a = b×q + r avec 0 ≤ r ≤ |b| quand b≠0.
2. Déterminer quotient q et reste r à partir d’une écriture du type a = b×q + r.
3. Conclure que b divise a lorsque le reste de la division euclidienne de a par b est nul.
4. Identifier diviseur et multiple sur un exemple du type a = b×q.
5. Définir un nombre premier et exclure 0 et 1 avec la raison donnée.
6. Reconnaître que 2 est le seul nombre premier pair.
7. Savoir que tout entier admet une décomposition en facteurs premiers (admise dans le cours).
8. Définir un diviseur commun et donner la liste des diviseurs communs d’un exemple.
9. Calculer le PGCD en multipliant les facteurs premiers communs avec la plus petite puissance.
10. Appliquer le lien PGCD → “composition identique” dans l’exemple 12 roses et 18 roses.
11. Définir une fraction irréductible à partir de l’absence de diviseur commun > 1.
12. Décider si une fraction est irréductible en utilisant la présence/absence d’un facteur commun.
13. Simplifier une fraction en décomposant numérateur et dénominateur en facteurs premiers et en annulant les facteurs communs.