Lernzettel: Introduction aux fonctions et équations fondamentales

📋 Plan du Cours

1. Fonctions de référence
2. Fonctions du second degré
3. Suites numériques
4. Équations du second degré
5. Trigonométrie circulaire
6. Fonctions sinus et cosinus
7. Dérivation
8. Probabilités conditionnelles
9. Produit scalaire
10. Applications de la dérivation
11. Fonction exponentielle
12. Variables aléatoires

📖 1. Fonctions de référence

🔑 Notions clés & Définitions

• Fonction monotone : Une fonction est dite croissante ou décroissante selon que la valeur de sortie ne diminue jamais ou ne progresse jamais quand l’abscisse augmente.
• Fonction carré : La fonction $x\mapsto x^2$ associe à chaque réel son carré.
• Racine carrée : La racine carrée de $a\ge 0$ est l’unique nombre positif $\sqrt a$ dont le carré vaut $a$.
• Fonction inverse : La fonction $x\mapsto \frac1x$ est définie sur $\mathbb R^*$ et associe à chaque réel non nul son inverse.
• Valeur absolue : La valeur absolue $|x|$ vaut $-x$ si $x<0$ et $x$ si $x\ge 0$.

📝 Points essentiels

• La fonction carré $x^2$ est décroissante sur $(-\infty,0]$ puis croissante sur $[0,+\infty)$.
• La racine carrée $\sqrt x$ est strictement croissante sur $\mathbb R^+$.
• La fonction inverse $\frac1x$ est décroissante sur $(-\infty,0)$ et décroissante sur $(0,+\infty)$ avec des comportements distincts autour de 0.
• La valeur absolue $|x|$ est minimale et vaut 0 pour $x=0$, puis elle augmente quand $|x|$ grandit.

📖 2. Fonctions du second degré

🔑 Notions clés & Définitions

• Fonction polynôme du second degré : Une fonction du second degré s’écrit $f(x)=ax^2+bx+c$ avec $a\ne 0$.
• Axe de symétrie : L’axe de symétrie d’une parabole $y=f(x)$ a pour équation $x=-\frac{b}{2a}$.
• Sommet : Le sommet est le point correspondant à l’extremum d’une fonction du second degré, situé sur l’axe de symétrie.
• Forme canonique : La forme canonique d’un trinôme est $a(x-\alpha)^2+\beta$, avec $a\ne 0$.
• Racines d’un polynôme du second degré : Les racines d’un trinôme $ax^2+bx+c$ sont les solutions de $ax^2+bx+c=0$.

📝 Points essentiels

• La courbe d’un polynôme du second degré est une parabole.
• Le sommet a pour abscisse $\alpha=-\frac{b}{2a}$.
• La forme factorisée est $a(x-x_1)(x-x_2)$ et permet de voir directement les racines.
• La forme canonique $a(x-\alpha)^2+\beta$ fait apparaître l’abscisse de l’extrémum et la valeur $\beta=f(\alpha)$.

📖 3. Suites numériques

🔑 Notions clés & Définitions

• Suite : Une suite associe à chaque rang $n$ (dans $\mathbb N$ ou une partie) un réel $u_n$.
• Suite arithmétique : Une suite est arithmétique s’il existe une raison $r$ telle que $u_{n+1}=u_n+r$ pour tout $n$.
• Suite géométrique : Une suite est géométrique s’il existe une raison $q\ne 0$ telle que $v_{n+1}=qv_n$ pour tout $n$.
• Somme des n premiers termes (arithmétique) : La somme $\sum_{k=1}^{n}u_k$ d’une suite arithmétique se calcule avec une formule en fonction du nombre de termes et de $u_1,u_n$.
• Somme des n premiers termes (géométrique) : La somme des termes d’une suite géométrique dépend du premier terme et de la raison via une formule avec $1-q$ au dénominateur.

📝 Points essentiels

• Une suite est croissante si pour tout $n$, $u_{n+1}>u_n$, et décroissante si pour tout $n$, $u_{n+1}\le u_n$.
• Pour une suite arithmétique de premier terme $u_0$ et de raison $r$, on a $u_n=u_0+nr$.
• Pour une suite arithmétique, $u$ est strictement croissante, décroissante, ou constante selon que $r$ est strictement positive, strictement négative, ou nulle.
• Pour une suite géométrique de premier terme $v_0$ et de raison $q$, on a $v_n=v_0q^n$.
• La somme des $n+1$ premiers termes $\sum_{k=0}^{n}v_k$ d’une géométrique de raison $q\ne 0,1$ vaut $\frac{v_0(1-q^{n+1})}{1-q}$.

📖 4. Équations du second degré

🔑 Notions clés & Définitions

• Trinôme du second degré : Un trinôme du second degré est une fonction $x\mapsto ax^2+bx+c$ avec $a\ne 0$.
• Discriminant : Le discriminant d’un trinôme $ax^2+bx+c$ est le nombre $\Delta=b^2-4ac$.
• Racines : Les racines d’un trinôme sont les solutions de l’équation $ax^2+bx+c=0$.
• Forme factorisée (selon $\Delta$) : La forme factorisée d’un trinôme existe quand $\Delta>0$ et s’écrit $a(x-x_1)(x-x_2)$ avec les racines explicites.
• Signe du trinôme : Le signe d’un trinôme dépend du signe de $a$ et de la position par rapport aux racines quand elles existent.

📝 Points essentiels

• Si $\Delta>0$, les racines sont $x_1=\frac{-b-\sqrt\Delta}{2a}$ et $x_2=\frac{-b+\sqrt\Delta}{2a}$.
• Si $\Delta=0$, le trinôme admet une unique racine double $x_1=\frac{-b}{2a}$.
• Si $\Delta<0$, le trinôme n’a pas de racines réelles.
• Si $\Delta>0$, le trinôme a le signe de $a$ à l’extérieur des racines et le signe de $-a$ à l’intérieur des racines.
• Le trinôme est strictement du signe de $a$ quand $\Delta<0$.

📖 5. Trigonométrie circulaire

🔑 Notions clés & Définitions

• Mesure en radian : La mesure en radian d’un angle est la longueur d’arc interceptée par l’angle sur un cercle de rayon 1.
• Conversion degrés-radians : La conversion donne le lien entre degrés et radian grâce à la relation $360^\circ=2\pi$.
• Angle orienté : Un angle orienté a une mesure positive ou négative selon qu’il est tourné dans le sens direct ou indirect.
• Cercle trigonométrique : Le cercle trigonométrique est le cercle de centre $O$ et rayon 1 orienté dans le sens direct.
• Mesure multiple de $2\pi$ : Deux angles qui diffèrent d’un multiple de $2\pi$ correspondent au même angle orienté.

📝 Points essentiels

• Sur un cercle trigonométrique, la droite $x=1$ correspond à un unique point du cercle par enroulement.
• Si un angle orienté vaut $\alpha$, alors $\alpha+2k\pi$ est aussi une mesure de cet angle pour tout $k\in\mathbb Z$.
• La mesure en radian utilise un cercle de rayon 1 et relie directement la longueur d’arc à l’angle.
• Les mesures en degrés et en radian sont proportionnelles via $360^\circ=2\pi$.
• Le sens direct correspond à une mesure positive d’angle orienté.

📖 6. Fonctions sinus et cosinus

🔑 Notions clés & Définitions

• Fonction sinus : La fonction sinus associe à tout réel $x$ la valeur $\sin x$.
• Fonction cosinus : La fonction cosinus associe à tout réel $x$ la valeur $\cos x$.
• Fonction paire : Une fonction est paire si pour tout $x$ de son domaine, $f(-x)=f(x)$.
• Fonction impaire : Une fonction est impaire si pour tout $x$ de son domaine, $f(-x)=-f(x)$.
• Période $2\pi$ : Les fonctions $\sin$ et $\cos$ sont périodiques de période $2\pi$, donc elles se répètent après un tour complet.

📝 Points essentiels

• $\sin$ est impaire et vérifie $\sin(-x)=-\sin x$ pour tout $x$ de son domaine.
• $\cos$ est paire et vérifie $\cos(-x)=\cos x$ pour tout $x$ de son domaine.
• Les fonctions sinus et cosinus sont périodiques de période $2\pi$ : $\sin(x+2\pi)=\sin x$ et $\cos(x+2\pi)=\cos x$.
• Les courbes de $\sin$ et $\cos$ sont des sinusoïdes.
• La valeur remarquable $\cos\frac{\pi}{6}=\frac{\sqrt3}{2}$ et $\sin\frac{\pi}{6}=\frac12$ figure dans la liste donnée.

📖 7. Dérivation

🔑 Notions clés & Définitions

• Taux d’accroissement : Le taux d’accroissement en $a$ mesure la pente moyenne entre $(a,f(a))$ et $(a+h,f(a+h))$ via $\frac{f(a+h)-f(a)}{h}$."
• Nombre dérivé : Le nombre dérivé $f'(a)$ est la limite du taux d’accroissement quand $h$ tend vers 0, si elle existe.
• Tangente : La tangente à la courbe de $f$ au point d’abscisse $a$ est la droite passant par $(a,f(a))$ et de pente $f'(a)$.
• Fonction dérivée : La fonction dérivée $f'$ associe à chaque $x$ le nombre dérivé $f'(x)$ lorsque $f$ est dérivable sur l’ensemble considéré.
• Dérivée des fonctions usuelles : On connaît des formules de dérivation pour $\sqrt x$, $\frac1x$, et $x^n$ (avec $n\in\mathbb Z$ non nul).

📝 Points essentiels

• Si $f$ est dérivable en $a$, alors $f'(a)$ est la pente de la tangente à la courbe en $(a,f(a))$.
• L’équation de la tangente en $a$ est $y=f'(a)(x-a)+f(a)$.
• Sur $\mathbb R^*$, la dérivée de $x\mapsto \frac1x$ vaut $x\mapsto -\frac{1}{x^2}$.
• Sur $]0,+\infty[,\ \frac{d}{dx}(\sqrt x)=\frac{1}{2\sqrt x}$.
• Les règles de calcul donnent notamment $(u+v)'=u'+v'$ et $(uv)'=u'v+v'u$.

📖 8. Probabilités conditionnelles

🔑 Notions clés & Définitions

• Probabilité conditionnelle : Une probabilité conditionnelle mesure la probabilité d’un événement sachant qu’un autre événement est réalisé.
• Indépendance : Deux événements sont indépendants si le fait de réaliser l’un ne change pas la probabilité de l’autre.
• Probabilités totales : Les probabilités totales relient une probabilité à la somme des probabilités conditionnelles pondérées par une partition.

📖 9. Produit scalaire

🔑 Notions clés & Définitions

• Produit scalaire : Le produit scalaire de deux vecteurs est un réel défini par la norme et le cosinus de l’angle, et vaut 0 si l’un des vecteurs est nul.
• Orthogonalité : Deux vecteurs non nuls sont orthogonaux si et seulement si leur produit scalaire vaut 0.
• Expression cartésienne : Pour $\vec u(x,y)$ et $\vec v(x',y')$, le produit scalaire vaut $xx'+yy'$.
• Vecteurs colinéaires : Deux vecteurs colinéaires ont un produit scalaire égal à $\|\vec u\|\|\vec v\|$ ou à son opposé selon le sens.
• Projecté orthogonal : Le produit scalaire peut s’écrire comme la norme de $\vec u$ fois le produit par le projeté orthogonal de $\vec v$ sur la direction de $\vec u$.

📝 Points essentiels

• Pour des vecteurs non nuls, $\vec u\cdot\vec v=0$ équivaut à $\vec u\perp\vec v$.
• Si $\vec u(x,y)$ et $\vec v(x',y')$, alors $\vec u\cdot\vec v=xx'+yy'$.
• Pour des vecteurs colinéaires de même sens, $\vec u\cdot\vec v=\|\vec u\|\|\vec v\|$, et de sens opposé, c’est $-\|\vec u\|\|\vec v\|$.
• Pour des points $A,B,C$, on a $\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}=AB\cdot AC\cos\widehat{BAC}$.
• Le produit scalaire permet aussi d’exprimer les puissances via $(\vec u+\vec v)^2=\vec u^2+2\vec u\cdot\vec v+\vec v^2$.

📖 10. Applications de la dérivation

📖 11. Fonction exponentielle

🔑 Notions clés & Définitions

• Fonction exponentielle : La fonction exponentielle $\exp(x)$ est l’unique fonction dérivable sur $\mathbb R$ vérifiant $f'(x)=f(x)$ et $f(0)=1$."
• Propriété $\exp(x+y)$ : La fonction exponentielle transforme une somme d’arguments en produit de valeurs : $\exp(x+y)=\exp(x)\exp(y)$.
• Propriété inverse : Pour tout réel $x$, $\exp(-x)$ s’écrit comme l’inverse de $\exp(x)$.
• Nombre $e$ : Le nombre $e$ est introduit comme constante liée à la fonction exponentielle via $\exp(1)$.
• Suite géométrique associée : La suite $u_n=e^{na}$ est géométrique pour tout réel $a$.

📝 Points essentiels

• La notation $\exp(x)$ est utilisée et $\exp(0)=1$.
• Pour tous réels $x$ et $y$, $\exp(x+y)=\exp(x)\exp(y)$.
• Pour tout réel $x$, $\exp(x)\exp(-x)=1$.
• Une écriture $e^{na}$ correspond à une suite géométrique quand $n$ varie.

📖 12. Variables aléatoires

🔑 Notions clés & Définitions

• Variable aléatoire : Une variable aléatoire associe un réel à chaque issue d’une expérience aléatoire.
• Loi de probabilité : La loi de probabilité décrit comment les valeurs possibles d’une variable aléatoire sont réparties.
• Espérance : L’espérance résume la valeur moyenne d’une variable aléatoire pondérée par ses probabilités.

⚠️ Pièges & confusions fréquents

1. Confondre fonction paire et paire/impair : $x^2$ est paire et non impaire, tandis que $x^3$ est impaire et non paire.
2. Se tromper sur l’axe de symétrie : $x=-\frac{b}{2a}$, pas $\frac{b}{2a}$.
3. Mauvais signe avec le discriminant : $\Delta<0$ implique absence de racines réelles, donc le signe ne change pas.
4. Utiliser une formule de tangente sans vérifier la dérivabilité en $a : la pente doit être$f'(a)$.
5. Penser que le produit scalaire vaut forcément 0 quand les vecteurs sont “perpendiculaires par intuition” : il faut bien utiliser le critère $\vec u\cdot\vec v=0$ (avec vecteurs non nuls).
6. Oublier les conditions de domaine des dérivées : $\sqrt x$ et ses formules demandent $x>0$ et $\frac1x$ demande $x\ne 0$.
7. Prendre une période différente : pour $\sin$ et $\cos$, la période est $2\pi$, pas $\pi$.

✅ Checklist Examen

1. Donner la signification et la conséquence graphique d’une fonction croissante/décroissante et d’une fonction constante.
2. Reconnaître la fonction carré, la fonction inverse et la valeur absolue et énoncer leurs variations (sur les intervalles indiqués).
3. Pour $f(x)=ax^2+bx+c$, calculer l’axe de symétrie $x=-\frac{b}{2a}$ et identifier la place du sommet.
4. Exprimer les racines comme solutions de $ax^2+bx+c=0$ et utiliser la forme factorisée/canonique pour relier $\alpha$ et $\beta$ à $a,b,c$.
5. Définir une suite et distinguer croissante/décroissante/constante à l’aide de la relation entre $u_{n+1}$ et $u_n$.
6. Pour une suite arithmétique, écrire $u_{n+1}=u_n+r$, puis utiliser $u_n=u_0+nr$ et la correspondance signe de $r$ avec les variations.
7. Pour une suite géométrique, écrire $v_{n+1}=qv_n$, puis utiliser $v_n=v_0q^n$ et la forme de somme $\sum_{k=0}^{n}v_k$.
8. Calculer le discriminant $\Delta=b^2-4ac$ d’un trinôme et déterminer le nombre de racines selon le signe de $\Delta$.
9. Écrire les racines quand $\Delta>0$ ou la racine double quand $\Delta=0$ en utilisant $\frac{-b\pm\sqrt\Delta}{2a}$ ou $\frac{-b}{2a}$.
10. Déterminer le signe d’un trinôme selon $a$ et $\Delta$ (extérieur/intérieur quand $\Delta>0$, signe constant quand $\Delta\le 0$).
11. Convertir/relier les degrés et les radians via $360^\circ=2\pi$ et manipuler les angles orientés avec $\alpha+2k\pi$.
12. Déterminer si $\sin$ est paire/impair et si $\cos$ est paire/impair, puis utiliser les symétries correspondantes.
13. Utiliser la périodicité $2\pi$ pour transformer une valeur de $\sin$ ou $\cos$.
14. Définir le taux d’accroissement et donner la signification du nombre dérivé $f'(a)$ comme limite en $h\to 0$.