Lernzettel: Introduction aux fonctions et intérêts

📋 Plan du Cours

1. Fonctions affines et pourcentages
2. Fonctions quadratiques et discriminant
3. Dérivées et optimisation
4. Identités remarquables et intérêts

📖 1. Fonctions affines et pourcentages

🔑 Notions clés & Définitions

• Fonction affine : Une fonction affine a la forme $f(x)=ax+b$ avec un coefficient directeur $a$ et une constante $b$.
• Pourcentage : Un pourcentage compare une variation à sa valeur de départ sous forme de fraction multipliée par 100.

📝 Points essentiels

• Si $a>0$, la fonction affine est croissante et si $a<0$ elle est décroissante.
• Pour $y=2x+b$ passant par $(1,4)$, on remplace et on obtient $4=2\times1+b$ donc $b=2$.
• Le taux d’augmentation de 80 € à 92 € vaut $(92-80)/80=12/80=0,15$ soit 15 %.

💡 Astuce mémo

Coefficient directeur $a$: signe = sens ( + croît, − décroît ).

📖 2. Fonctions quadratiques et discriminant

🔑 Notions clés & Définitions

• Fonction polynomiale degré 2 : Une fonction quadratique s’écrit $f(x)=ax^2+bx+c$ et représente une parabole.
• Discriminant : Le discriminant d’une quadratique est $\Delta=b^2-4ac$, qui décide du nombre de solutions réelles.

📝 Points essentiels

• Si $a>0$, la parabole est tournée vers le haut et si $a<0$, elle est tournée vers le bas.
• $\Delta<0$ implique aucune solution, $\Delta=0$ implique une seule solution, et $\Delta>0$ implique deux solutions.

📖 3. Dérivées et optimisation

🔑 Notions clés & Définitions

• Dérivée d’une fonction : La dérivée $f'(x)$ mesure la variation instantanée et sert à repérer les extrema quand on résout $f'(x)=0$.
• Optimisation d’une quadratique : Pour optimiser une fonction quadratique, on calcule sa dérivée puis on cherche les valeurs où $f'(x)=0$ avant de conclure.

📝 Points essentiels

• Pour $f(x)=ax+b$, on a $(ax+b)'=a$, et pour $ax^2+bx+c$, on a $(ax^2+bx+c)'=2ax+b$.
• Pour $f(x)=-x^2+6x-4$, le maximum est atteint pour $x=-\dfrac{b}{2a}= -\dfrac{6}{2\times(-1)}=3$.
• La valeur optimale est obtenue en remplaçant $x=3$ dans $f(x)=-x^2+6x-4$.

💡 Astuce mémo

Extremum quadratique: $x=-\dfrac{b}{2a}$ (avant de lire la valeur).

📖 4. Identités remarquables et intérêts

🔑 Notions clés & Définitions

• Identités remarquables : Des expressions comme $(a+b)^2$ et $(a-b)^2$ se développent en termes carrés et produits pour simplifier des calculs.
• Intérêts simples : Les intérêts simples suivent $C_n=C_0(1+nt)$ où $t$ est le taux et $n$ le nombre de périodes.
• Intérêts composés : Les intérêts composés suivent $C_n=C_0(1+t)^n$ où le facteur $1+t$ s’applique à chaque période.

📝 Points essentiels

• $(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$, $(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$, et $a^2-b^2=(a-b)(a+b)$.
• En intérêts simples, la formule $C_n=C_0(1+nt)$ multiplie $C_0$ par une expression linéaire en $n$.
• En intérêts composés, la formule $C_n=C_0(1+t)^n$ multiplie $C_0$ par une puissance de $(1+t)$.

💡 Astuce mémo

Carré de somme/différence: même début $a^2$, produit $\pm2ab$, puis $+b^2$.

⚠️ Pièges & confusions fréquents

1. Confondre le signe de $a$ dans une fonction affine (croissante si $a>0$) avec le signe de $a$ dans une quadratique (parabole vers le haut si $a>0$).
2. Utiliser un mauvais discriminant: il faut $\Delta=b^2-4ac$, pas $b^2-4a-bc$ ni une autre variante.
3. Chercher des solutions avec $\Delta$ alors que le résultat demandé concerne le nombre de solutions réelles (interpréter correctement $\Delta<0$, $\Delta=0$, $\Delta>0$).
4. Appliquer la formule de l’extremum avec une erreur de signe: $x=-\dfrac{b}{2a}$, pas $x=\dfrac{b}{2a}$.
5. Calculer un pourcentage comme $(92-80)/92 au lieu de$(92-80)/80, qui correspond à la valeur de départ.
6. Développer $(a-b)^2$ comme $(a+b)^2$ en oubliant que le terme $2ab$ change de signe.
7. Mélanger intérêts simples et composés: $1+nt$ (simples) n’est pas $(1+t)^n$ (composés).

✅ Checklist Examen

1. Savoir identifier $f(x)=ax+b$ comme fonction affine et donner le sens de variation selon le signe de $a$.
2. Savoir trouver $b$ dans $y=2x+b$ en utilisant le point donné, comme pour $(1,4)$.
3. Savoir calculer un pourcentage d’augmentation: $(valeur\ finale-valeur\ initiale)/valeur\ initiale$ et convertir en décimal.
4. Savoir décrire la forme d’une quadratique $ax^2+bx+c$ selon le signe de $a$ (parabole vers le haut/bas).
5. Savoir calculer le discriminant $\Delta=b^2-4ac$ et conclure: 0, 1 ou 2 solutions réelles.
6. Savoir interpréter correctement $\Delta<0$, $\Delta=0$ et $\Delta>0$ sans confondre les cas.
7. Savoir calculer une dérivée des formes données: $(ax+b)'=a$ et $(ax^2+bx+c)'=2ax+b$.
8. Savoir résoudre $f'(x)=0$ ou utiliser $x=-\dfrac{b}{2a}$ pour trouver l’abscisse de l’extremum d’une quadratique.
9. Savoir lire le résultat d’optimisation en remplaçant l’abscisse trouvée dans la fonction donnée.
10. Savoir développer $(a+b)^2$, $(a-b)^2$ et $a^2-b^2$ à l’aide des identités remarquables.
11. Savoir appliquer la formule des intérêts simples $C_n=C_0(1+nt)$ et celle des intérêts composés $C_n=C_0(1+t)^n$.